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Lineares & exponentielles Wachstum

mathemagazin9:29 35.034 Aufrufe veröffentlicht Auf YouTube

Das Wichtigste aus dem Video

Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.

Transkriptautomatisch erstellt · 50 Zeilen
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  1. hi und herzlich willkommen im mathemagazin Thema in diesem Video lineares und exponentielles Wachstum schauen wir uns die beiden Fälle mal an
  2. worum geht's denn da überhaupt und zwar gehen wir das Ganze mit einem Beispiel an es geht um Taschengeld und um die Vermehrung die Zunahme von Taschengeld
  3. und zwar täglich wir haben hier auf der einen Seite um uns mal ein Überblick zu verschaffen alles was mit rot ist ist
  4. lineares Wachstum und alles was hier mit lila ist ist exponentielles Wachstum so wo sind jetzt hier die Unterschiede wir schauen mal in diese Tabelle hier rein
  5. und zwar haben wir hier die Tage Start also Tag 0 Tag 1 2 3 und so weiter bis z.B Tag 10 und wir starten auf beiden Seiten mit
  6. 30 € und jetzt beim linearen Wachstum bekommen wir jeden Tag 3 € mehr dazu und beim exponentiellen Wachstum vergrößert sich unser Wert
  7. jeden Tag um 10% wie schaut das dann hier aus beim linearen Wachstum wir starten mit 30 € 3
  8. € dazu dann haben wir am ersten Tag 33 € am zweiten Tag 36 also von 33 wieder 3 dazu dann wieder drei dazu wir haben am dritt Tag 39 wenn wir das so
  9. weitermachchen haben wir irgendwann am 10 Tag 60 €. schauen wir uns das ganze mal beim exponentiellen Wachstum an wir haben hier immer + 10% das heißt wir
  10. haben einen Faktor von 1,1 Faktor 1 ist ja wir bleiben gleich und 1,1 heißt es kommen 10% dazu und wie rechnet man das jetzt wir starten wieder
  11. mit unseren 30€ an Tag 0 am ersten Tag haben wir dann 30 € Mal 1,1 das hier ist sozusagen unser Ausgangswert unser Grundwert können wir
  12. auch sagen mal 1,1 das da hinten sind die 10% sind wir bei 33 € wenn wir mal 1 genommen hätten werden wir wieder genau
  13. bei 30 € und mal 1,1 Faktor größer als 1 heißt wir werden mehr so und jetzt fängt an sich zu unterscheiden weil um auf unser Geld an
  14. Tag 2 zu kommen nehmen wir jetzt die 33 € und rechnen die wieder mal den Faktor 1,1 und dann kommen wir auf 36,3 € an Tag 3 nehmen wir die 36,3 €
  15. also jetzt ist das hier unser Ausgangswert und wieder mal 1,1 kommen auf 39,9 und wenn wir das bis zur Tag 10 durchspielen kommen wir auf
  16. 77,8 €. wir haben also insgesamt mehr Euro wenn wir es mit dem exponentiellen machen an Tag 10 gut wir haben auch an
  17. Tag 3 schon ein bisschen mehr das sind d nur 90 Cent hier unterscheidet sich nicht stark aber hier hinten ist vielleicht auch noch mal gut anzuschauen
  18. hier sind wir noch gleich hier sind wir dann 0,3 größer beim exponentiellen hier sind wir 0,9 größer also 90 Cent und bei Tag 10 sind wir dann schon
  19. 17,8 € größer weil das der Unterschied zwischen 60 und 77,8 ist also es wird hier immer schneller immer mehr und genau das ist der Unterschied zwischen
  20. linearem Wachstum und exponentiellen linear geht immer gleich und exponentiell wird immer schneller immer mehr und das sehen wir auch wenn wir uns
  21. das ganze mal in ein Diagramm in ein Koordinatensystem einzeichnen wir haben hier die T und hier unsere Euro jetzt gehört ja zu
  22. jedem Tag ein Betrag wir starten dann Tag n0 jeweils mit 30 € Tag 1 33 ich habe jetzt mal nur ungefähr eingezeichnet jetzt nicht alles
  23. maßstabsgetreu Tag 2 und jetzt sehen wir wenn wir das weiter uns anschauen wir gehen hier immer einen Tag rüber 3 € hoch ein Tag
  24. rüber 3 € hoch ein Tag rüber 3 € hoch ein Tag rüber 3 hoch also dieser konstante Zuwachs man nennt den auch D seht hier oben ist immer 3 und dadurch
  25. durch dieses Zickzack nach oben ergibt sich hier eine gerade Linie nach oben beim exponentiellen ist das so wir starten mit 30 Mal 1,1 sind 33 und jetzt
  26. ist ja von hier wieder mal 1,1 und dadurch ergibt sich eine Kurve nach oben und die wird immer steiler und immer steiler und immer steiler weil
  27. irgendwann nehmen wir von einem Wert da oben mal 1,1 und das ist natürlich direkt größer wie wenn wir von dem 1,1 nehmen und so wirkt sich das Ganze aus
  28. am besten versteht man das wenn man das einfach durchspielt so und jetzt noch zu paar mathematischen Themen und zwar diesen
  29. konstanten Wachstum oder dieses konstante Wachstum D kann man bere indem man zwei benachbarte Werte voneinander subtrahiert den Wert rechts minus den
  30. Wert links z.B 33- 30 dann ist genau der Unterschied 3 oder wir können auch die nehmen 36- 33 wir können noch 39- 36 also zwei benachbarte Werte voneinander
  31. abziehen und immer den rechts minus den Links wir spielen hier mal durch in der mathematischen schreib heißt dann t + 1- oder bestand das große B ist Bestand
  32. t + 1- Bestand von T so jetzt wenn wir hier 0 einsetzen haben wir Bestand beim Zeitpunkt 1 also beim Tag 1
  33. bestand vom Tag 0 oder ich habe zwei eingesetzt hier unten dann ist es bestand vom Tag 3- bestand vom Tag 2 also standmt 3-
  34. 2 39 - 36 ist 3 dieser Unterschied beim exponentiellen Wachstum haben wir unseren Wachstumsfaktor
  35. a und den können wir berechnen dem wir zwei benachbarte Werte durcheinander Teilen auch hier wieder den rechts minus den Links und da können wir jetzt ich
  36. habe es gleiche Beispiel gemacht für T2 einsetzen dann haben wir oben den Bestand bei Zeitpunkt 3 durch dieses + 1 hier unten bestand bei 2 dann haben wir
  37. 39,9 36,2 ist gleich oder muss natürlich unser Wachstumsfaktor 1,1 sein weil das hier wenn wir das mit mal darüber
  38. bringen würden 1,1 mal unseren Bestand vom Vortag muss ja der Bestand am nächsten Tag sein wir können auch noch ausrechnen wie ist es denn irgendwann in
  39. der Zukunft also wenn wir hier haben wollen Bestand von 100 wir machen beim linearen Bestand von 0 Plus an dem Tag an dem wir es haben
  40. wollen mal diesen konstanten Zuwachs also 30 plus und dann kommt ja 100 mal die 3 einfach drauf wenn wir es am Tag 100 haben wollen
  41. 330 und beim exponentiellen da ist es natürlich eine Multiplikation und zwar Wachstumsfaktor hoch wie oft oder an welchem Tag wir es
  42. haben wollen wir starten wieder mit 30 also B zum Zeitpunkt 0 und dann 1,1 hoch 100 und dann sehen wir wir kommen schon bei 413
  43. raus also wir sehen bei Tag 100 weicht jetzt noch viel stärker ab als bei Tag 10 wir können natürlich auch negatives Wachstum haben also wenn etwas kleiner
  44. wird wenn ihr Geld abgeben müsst von eurem Taschengeld dann haben wir natürlich unser D beim linearen Wachstum klein als
  45. 0 wir haben hier immer größer als 0 also + 3 das wären dann z.B immer -3 also d= -3 wä negatives Wachstum man das auch
  46. lineare Abnahme weil es dann so runtergehen würde und beim exponentiellen Wachstum haben wir dann ein eine exponentielle Abnahme wenn
  47. unser Wachstumsfaktor a zwischen 0 und ein liegt mit dem 10 % liegt der jetzt bei
  48. 1,1 das ist also größer als ein und wenn er zwischen 0 und 1 liegt z. 0,5 dann halbieren wir uns immer und dann spricht man von einer exponentiellen Abnahme so
  49. das war's von mir zu dem Thema ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen und jetzt viel Spaß beim Verstehen
  50. ciao

Zum Nachlesen

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