Zerfallsgesetz

Grundidee und Grundgleichung

Das Zerfallsgesetz beschreibt die exponentielle Abnahme einer Größe mit der Zeit. In der Kernphysik gibt es an, wie viele Atomkerne eines einzigen Radionuklids in einer radioaktiven Substanzprobe zum Zeitpunkt t noch nicht zerfallen sind. Die Anzahl der verbleibenden Kerne lautet:

N(t) = N₀ · e^(−λt)

Dabei ist N₀ die Anzahl der Atomkerne zu Beginn bei t = 0. N(t) bezeichnet die nach der Zeit t noch vorhandene Anzahl. λ ist die Zerfallskonstante des betreffenden Radionuklids. Sie beschreibt, wie schnell der Zerfall abläuft. Die Gleichung zeigt, dass die Anzahl der Kerne nicht gleichmäßig, sondern exponentiell abnimmt.

Herleitung aus der Aktivität

Für ein radioaktives Präparat mit anfänglich N₀ Atomkernen gilt für die Aktivität A, also die Zerfallsrate:

A = −dN/dt und A = λ · N.

Daraus folgt:

−λ · N = dN/dt

und nach Trennung der Variablen:

−λ · dt = (1/N) · dN.

Durch Integration von t = 0 bis t sowie von N₀ bis N erhält man:

−λt = ln(N) − ln(N₀) = ln(N/N₀).

Nach dem Übergang von der natürlichen Logarithmusfunktion zur Exponentialfunktion ergibt sich:

e^(−λt) = N/N₀

und damit:

N(t) = N₀ · e^(−λt).

Nach der Zeit t sind von den N₀ Ausgangskernen also noch N(t) Kerne übrig.

Mittlere Lebensdauer und Halbwertszeit

Die Zerfallskonstante λ (Lambda) ist der Kehrwert der mittleren Lebensdauer τ (Tau):

τ = 1/λ.

Die mittlere Lebensdauer ist die Zeit, nach der sich die Zahl der Atome um den Faktor e = 2,71828… verringert hat. Die Halbwertszeit T₁/₂ unterscheidet sich von τ nur durch den konstanten Faktor ln 2:

T₁/₂ = τ · ln 2 = ln 2/λ ≈ 0,693 · τ.

Das Zerfallsgesetz kann deshalb auch mit der Halbwertszeit geschrieben werden als:

N(t) = N₀ · e^((−ln 2/T₁/₂) · t).

Da e^(−ln 2) = 1/2 gilt, folgt außerdem die besonders anschauliche Form:

N(t) = N₀ · (1/2)^(t/T₁/₂).

Diese Darstellung zeigt, dass sich die Stoffmenge nach Ablauf jeder Halbwertszeit jeweils halbiert.