Erweiterte reelle Zahl

Begriff und Zweck

Erweiterte reelle Zahlen entstehen, indem man zu den reellen Zahlen neue Symbole für unendliche Elemente hinzufügt. Diese uneigentlichen Punkte sind keine gewöhnlichen reellen Zahlen, sondern zusätzliche Grenzpunkte. Man unterscheidet zwei Erweiterungen: die affin erweiterten reellen Zahlen mit zwei vorzeichenbehafteten Punkten +∞ und -∞ sowie die projektiv erweiterten reellen Zahlen mit einem einzigen vorzeichenlosen Punkt ∞.

Ohne Zusatz wird in der Literatur mit „erweiterte reelle Zahlen“ meist die affine Erweiterung gemeint; der Artikel verwendet den Begriff als Oberbegriff für beide Arten. Wichtig sind diese Erweiterungen vor allem, weil man bestimmte divergente Folgen wie konvergente Folgen behandeln kann: Zum Beispiel soll die Folge x_n = n gegen +∞ konvergieren. Die Erweiterungen sind daher zunächst topologisch motiviert. Die gewöhnliche Arithmetik der reellen Zahlen lässt sich aber nicht vollständig auf unendliche Werte übertragen.

Definition und Topologie

Die reellen Zahlen bilden mit ihrer üblichen Topologie einen lokalkompakten Raum. Durch das Hinzufügen uneigentlicher Punkte erhält man einen kompakten Raum.

Bei der affinen Erweiterung ergänzt man R um zwei Elemente +∞ und -∞: \overline{R} := R ∪ {+∞, -∞}. Diese beiden Symbole bezeichnen zunächst einfach Nicht-Elemente der reellen Zahlen. Bei der projektiven Erweiterung betrachtet man die Einpunktkompaktifizierung \widehat{R} := R ∪ {∞}; dafür findet man auch die Bezeichnung R*.

In beiden Fällen bleiben alle in R offenen Mengen auch in der Erweiterung offen. Zusätzlich legt man Umgebungen der neuen Punkte fest. Im affinen Fall sind für jedes a ∈ R die Mengen [-∞, a[ := {x ∈ R | x < a} ∪ {-∞} Umgebungen von -∞ und ]a, +∞] := {x ∈ R | x > a} ∪ {+∞} Umgebungen von +∞. Dadurch konvergiert x_n = n gegen +∞, denn für jedes a liegen fast alle Folgenglieder in ]a, +∞].

Im projektiven Fall ist für jede positive reelle Zahl r das Komplement von [-r, r] eine Umgebung von ∞. Allgemeiner ist für jede kompakte Teilmenge K ⊂ R das Komplement \widehat{R} \ K eine Umgebung von ∞. Dadurch konvergiert etwa x_n = (-1)^n n gegen ∞, weil |x_n| für fast alle n größer als jedes vorgegebene r > 0 ist.

Ordnung und gemeinsame Eigenschaften

Die affine Erweiterung ist streng total geordnet: Für alle reellen a gilt -∞ < a und a < +∞, außerdem -∞ < +∞. Deshalb sind auch Intervallschreibweisen wie ]a,b[, [a,b[, ]a,b] und [a,b] sinnvoll, wenn a = -∞ oder b = +∞ ist. Die Topologie von \overline{R} ist zugleich die von dieser Ordnung bestimmte Ordnungstopologie.

Topologisch ist \overline{R} einem abgeschlossenen Intervall gleichwertig. Ein Homöomorphismus f: \overline{R} → [-1,1] ist gegeben durch f(x) = x/(1+|x|) für x ∈ R, f(-∞) = -1 und f(+∞) = +1. Deshalb schreibt man anschaulich auch [-∞,+∞]. Die Standardmetrik der reellen Zahlen kann jedoch nicht zu einer passenden Metrik auf \overline{R} fortgesetzt werden.

Die projektive Erweiterung \widehat{R} ist homöomorph zur Kreislinie S^1 = {(x,y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 = 1}. Ein Beispiel ist g: S^1 → \widehat{R} mit g(x,y) = x/(1-y) für (x,y) ≠ (0,1) und g(0,1) = ∞. Deshalb lässt sich \widehat{R} nicht in mit der Topologie verträglicher Weise total ordnen; ∞ bleibt gewöhnlich mit endlichen Zahlen unvergleichbar. Man kann \widehat{R} auch als aus \overline{R} entstanden ansehen, indem -∞ und +∞ zusammengeklebt werden.

Beide Erweiterungen sind kompakt, und R liegt in ihnen dicht. Daher besitzt jede Zahlenfolge eine konvergente Teilfolge, eventuell gegen einen uneigentlichen Punkt. Nicht jede divergente Folge wird aber konvergent: x_n = (-1)^n bleibt auch in den erweiterten reellen Zahlen divergent.

Rechnen mit Unendlichkeiten

Die Grundrechenarten können nur teilweise auf erweiterte reelle Zahlen übertragen werden. Nach dem Permanenzprinzip sollen alte Rechenregeln möglichst erhalten bleiben, aber ein vollständig geordneter Körper kann so nicht entstehen. Deshalb bleiben manche Ausdrücke undefiniert.

Für A = \overline{R} oder A = \widehat{R} möchte man Werte für a+b, -a, a-b, a·b, a^{-1} und a/b definieren, soweit dies sinnvoll möglich ist. Durch stetige Fortsetzung erhält man einige Regeln. Im affinen Fall gilt zum Beispiel -(±∞) = ∓∞, ±∞ + a = ±∞ für endliches a, ∞ + ∞ = ∞, -∞ - ∞ = -∞ und (±∞)^{-1} = 0. Außerdem ist a/(±∞) = 0 für endliches a. In der projektiven Erweiterung gilt -∞ = ∞, ∞ + a = ∞ für endliches a, ∞^{-1} = 0 und a/0 = ∞ für 0 ≠ a ≠ ∞.

Einige Ausdrücke können nicht sinnvoll definiert werden. In \overline{R} sind dies unter anderem ∞ - ∞, 0·∞, ∞/∞ und a/0. In \widehat{R} sind unter anderem ∞ + ∞, 0·∞, ∞/∞ und 0/0 undefiniert. Der Grund ist nicht nur fehlende Stetigkeit, sondern auch ein Widerspruch zu den üblichen Rechenregeln. Beispielsweise würde aus x/x = 1 und 2x/x = 2 für unendliches x zugleich ∞/∞ = 1 und ∞/∞ = 2 folgen.

In einigen Gebieten, besonders in der Maßtheorie, wird trotzdem 0·∞ = 0 vereinbart, weil Formulierungen dadurch kürzer werden. Dann muss man aber darauf achten, nicht zugleich mit dem Kehrwert von unendlich wie gewöhnlich zu rechnen.

Potenzen und Funktionen

Auch das Potenzieren wird nur teilweise fortgesetzt. Schon im Reellen ist a^b nur definiert, wenn a > 0 und b beliebig ist, oder wenn a < 0 und b ∈ Z, oder wenn a = 0 und b ≥ 0. Im affinen Fall kann man manche Grenzwerte stetig ergänzen.

Beispiele sind: a^{+∞} = +∞ für 1 < a ≤ +∞, aber a^{+∞} = 0 für -1 < a < 1; bei a = 1 oder -∞ ≤ a ≤ -1 bleibt der Wert undefiniert. Weiter gilt a^{-∞} = 0 für 1 < a ≤ +∞ oder -∞ ≤ a < -1, und a^{-∞} = +∞ für 0 ≤ a < 1. Für (+∞)^a gilt +∞ bei 0 < a ≤ +∞, 0 bei -∞ ≤ a < 0 und undefiniert bei a = 0. Für (-∞)^n gilt (-1)^n∞ für positive ganze n, 1 für n = 0 und 0 für negative ganze n.

Unabhängig von Stetigkeit kann man konsistent, aber unstetig, 1^{±∞} = (±∞)^0 = 1 setzen. Im Zusammenhang mit Grenzwerten gelten 1^∞, ∞^0 und auch 0^0 dennoch als unbestimmte Ausdrücke, weil dort Stetigkeit entscheidend ist.

Einige Standardfunktionen lassen sich stetig ins Unendliche fortsetzen, etwa |±∞| = +∞, arctan(±∞) := ±π/2 sowie e^{+∞} := +∞ und e^{-∞} := 0. In \widehat{R} ist e^∞ jedoch nicht definiert. Eine Funktion f: Ω → \overline{R} mit nichtleerer Menge Ω heißt in der Maßtheorie numerisch. Funktionen, die ±∞ als Werte annehmen dürfen, heißen erweiterte Funktionen.

Gleichungen und komplexe Zahlen

Beim Lösen von Gleichungen mit unendlichen Werten muss man vorsichtig sein, weil zusätzliche Lösungen entstehen oder bekannte Umformungen ungültig werden können. Die Gleichung a + x = b hat für endliche a und b stets genau eine Lösung. Dagegen hat ∞ + x = 0 keine Lösung, während ∞ + x = ∞ unendlich viele Lösungen haben kann.

Weitere Beispiele zeigen den Unterschied: x = -x hat in R die Lösung 0 und zusätzlich in \widehat{R} die Lösung ∞. Die Gleichung x = 2x hat in R die Lösung 0, zusätzlich in \overline{R} die Lösungen +∞ und -∞ und in \widehat{R} die Lösung ∞. Die Gleichung x = x·x hat in R die Lösungen 0 und 1, zusätzlich in \overline{R} die Lösung +∞ und in \widehat{R} die Lösung ∞.

Gewöhnliche Kürzungsregeln gelten nur eingeschränkt. Aus a+c = b+c folgt nur dann sicher a = b, wenn c endlich ist. Die Kürzung bei der Multiplikation ist schon im Endlichen nur für c ≠ 0 gültig und versagt ebenfalls für unendliches c. Deshalb ist etwa x = x·x nicht äquivalent zu 0 = x·x - x, denn die zweite Gleichung hat keine unendliche Lösung, weil für x = +∞ die rechte Seite nicht definiert ist.

Für komplexe Zahlen betrachtet man vor allem die Einpunktkompaktifizierung \widehat{C} := C ∪ {∞}, die zur Sphäre S^2 homöomorph ist und Riemannsche Zahlenkugel heißt. Die Rechenregeln der Grundrechenarten entsprechen im Wesentlichen denen der Einpunktkompaktifizierung von R.