Energie-Impuls-Tensor

Bedeutung und Grundaufbau

Der Energie-Impuls-Tensor beschreibt die Dichte und den Fluss von Energie und Masse in der Raumzeit. Er ist ein Tensor zweiter Stufe und kann daher als 4×4-Matrix dargestellt werden. In der Relativitäts- und Feldtheorie ist er besonders wichtig: Nach den einsteinschen Feldgleichungen bestimmt er die Krümmung der Raumzeit und wirkt damit als Ursache beziehungsweise Quelle der Gravitation.

In allgemeiner Form lautet er:

(T_{\alpha\beta})=\begin{pmatrix}w&S_x/c&S_y/c&S_z/c\\S_x/c&G_{xx}&G_{xy}&G_{xz}\\S_y/c&G_{yx}&G_{yy}&G_{yz}\\S_z/c&G_{zx}&G_{zy}&G_{zz}\end{pmatrix}.

Dabei ist w die Energiedichte, also Energie pro Volumen. Bei kleinen Geschwindigkeiten wird sie überwiegend durch die Massendichte bestimmt. Auch masselose Photonen tragen aufgrund ihrer Energie E=h\cdot\nu zur Energiedichte bei. (S_x,S_y,S_z) ist die Energiestromdichte, also Energiedichte multipliziert mit einer Geschwindigkeit, und c die Lichtgeschwindigkeit.

Die Größen G_{ik} beschreiben den räumlichen Impulstransport. Bei elektromagnetischer Strahlung sind sie das Negative des maxwellschen Spannungstensors. Die Diagonalterme geben unter anderem den Druck des elektromagnetischen Strahlungsfeldes an, während die Nichtdiagonalterme Scherspannungen beschreiben. In der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie ist der Energie-Impuls-Tensor ein Vierertensor zweiter Stufe.

Raumzeitliche Komponenten und Erhaltung

Zur geometrischen Deutung werden im Artikel Planck-Einheiten verwendet. Dabei ist die Lichtgeschwindigkeit auf c=1 normiert; wegen E=mc^2 können Masse und Energie miteinander identifiziert werden.

• T^{00} ist die Energie- beziehungsweise Massendichte. Sie beschreibt den Energie- oder Massenfluss in zeitartiger Richtung durch ein raumartiges 3D-Volumenelement.
• T^{i0} mit i=1,\dotsc,3 beschreibt den räumlichen Energie- oder Massenfluss in der räumlichen i-Richtung.
• T^{0k} mit k=1,\dotsc,3 ist die Impulsdichte. Sie beschreibt den Fluss der k-ten Impulskomponente in zeitartiger Richtung.
• T^{ik} mit i,k=1,\dotsc,3 ist die Impulsstromdichte: Der Impuls der k-ten Komponente wird in räumlicher i-Richtung transportiert.

Die Symmetrie T^{\alpha\beta}=T^{\beta\alpha} bedeutet erstens, dass Massenstromdichte beziehungsweise Energiestromdichte und Impulsdichte übereinstimmen. Dies folgt aus dem Schwerpunktsatz. Zweitens sind die Scherspannungen symmetrisch: Der Transport der k-ten Impulskomponente in i-Richtung ist gleich groß wie der Transport der i-ten Komponente in k-Richtung. Dies ist eine Folge der Drehimpulserhaltung.

Für den vollständigen Energie-Impuls-Tensor aller beteiligten Felder gilt die Bilanzgleichung

\nabla_\alpha T^{\alpha\beta}=0.

Betrachtet man nur ein Feld, das mit anderen Feldern wechselwirkt, lautet sie

\nabla_\alpha T^{\alpha\beta}=f^\beta,

wobei f^\beta die Viererkraftdichte, also den Viererimpulsaustausch mit anderen Feldern pro 4D-Volumenelement, bezeichnet. Die Komponenten mit \beta=1,\dotsc,3 sind die Impulsbilanz, die Komponente \beta=0 die Energiebilanz beziehungsweise Massenbilanz. Mit einer geeigneten Volumenform lässt sich aus dem Tensor außerdem der zu einem 3D-Volumenelement gehörige Energie-Impuls-Vierervektor berechnen.

Elektromagnetisches Feld in verschiedenen Einheiten

Im Heaviside-Lorentz-Einheitensystem lautet der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes:

(T^{\alpha\beta})=\begin{pmatrix}\tfrac12(E^2+B^2)&(\vec E\times\vec B)^T\\\vec E\times\vec B&\tfrac12(E^2+B^2)\delta_{ik}-E_iE_k-B_iB_k\end{pmatrix}.

Dabei bezeichnet E die elektrische Feldstärke, B die magnetische Flussdichte und \delta_{ik} das Kronecker-Delta. Die Komponente T_{00} ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes. Der Poynting-Vektor \vec S=\vec E\times\vec B beschreibt dessen Energiestromdichte und Impulsdichte. Der räumliche Block \tfrac12(E^2+B^2)\delta_{ik}-E_iE_k-B_iB_k ist das Negative des Spannungstensors. Seine Diagonalterme stehen für den Strahlungsdruck, die Nichtdiagonalterme für Scherspannungen. Die Darstellung ist eine 4\times4-Matrix. Im Gauß-Einheitensystem kommt zusätzlich der Faktor \tfrac1{4\pi} hinzu.

In SI-Einheiten enthält der Tensor die Konstanten \varepsilon_0, die elektrische Feldkonstante, und \mu_0, die magnetische Feldkonstante:

(T^{\alpha\beta})=\begin{pmatrix}\tfrac12(\varepsilon_0E^2+B^2/\mu_0)&c\varepsilon_0(\vec E\times\vec B)^T\\c\varepsilon_0\vec E\times\vec B&\tfrac12(\varepsilon_0E^2+B^2/\mu_0)\delta_{ik}-\varepsilon_0E_iE_k-B_iB_k/\mu_0\end{pmatrix}.

Der Poynting-Vektor ist dann \vec S=c^2\varepsilon_0\vec E\times\vec B. Der maxwellsche Spannungstensor lautet

\sigma_{ij}=\varepsilon_0E_iE_j+B_iB_j/\mu_0-\tfrac12(\varepsilon_0E^2+B^2/\mu_0)\delta_{ij}.

Zur Umrechnung in das Heaviside-Lorentz-System mit c=1 werden die Konstanten \varepsilon_0, \mu_0 und c weggelassen.

Relativistische Form und elektromagnetische Bilanz

In relativistischer 4D-Notation wird der elektromagnetische Energie-Impuls-Tensor durch

T^{\alpha\beta}=F^{\alpha\gamma}F_{\gamma}^{\;\;\beta}-\tfrac14g^{\alpha\beta}F_{\mu\nu}F^{\nu\mu}

definiert. Der Feldstärketensor bei c=1 ist

(F_{\alpha\beta})=\begin{pmatrix}0&E_1&E_2&E_3\\-E_1&0&-B_3&B_2\\-E_2&B_3&0&-B_1\\-E_3&-B_2&B_1&0\end{pmatrix}.

Der metrische Tensor der speziellen Relativitätstheorie ist g=\operatorname{diag}(-1,1,1,1); mit ihm werden Indizes hoch- und heruntergezogen.

In 3D-Notation ist \vec S=\vec E\times\vec H der Poynting-Vektor, \rho die elektrische Ladungsdichte und \vec\jmath die elektrische Stromdichte. Aus den Maxwell-Gleichungen folgen:

\frac{\partial}{\partial t}[\tfrac12(E^2+B^2)]+\operatorname{div}\vec S=\vec\jmath\cdot\vec E.

Dies ist die lokale Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes, bekannt als Satz von Poynting. Die rechte Seite ist die Leistungsdichte des Feldes am Materiefeld.

Für den Impuls gilt

\frac{\partial}{\partial t}S_k+\frac{\partial}{\partial x_i}[\tfrac12(E^2+B^2)\delta_{ik}-E_iE_k-B_iB_k]=(\vec\jmath\times\vec B+\rho\vec E)_k, k=1,\dotsc,3.

Die rechte Seite ist die lorentzsche Kraftdichte am geladenen Materiefeld. Beide Gleichungen lassen sich relativistisch zusammenfassen:

\frac{\partial}{\partial x^\alpha}T_{\;\;\beta}^{\alpha}=j^\alpha F_{\alpha\beta}, \beta=0,\dotsc,3,

wobei (j^\alpha)=(\rho,\vec\jmath) den Viererstrom bezeichnet. j^\alpha F_{\alpha\beta} ist die lorentzsche Viererkraftdichte beziehungsweise der Viererimpulsübertrag pro 4D-Volumenelement.

Gravitation und ideales Fluid

In der allgemeinen Relativitätstheorie bildet der Energie-Impuls-Tensor von Materie und Strahlung die rechte Seite der einsteinschen Feldgleichungen. Er ist damit der Quellterm der Raumzeitkrümmung. Anders als in der Newtonschen Gravitationstheorie wirkt nicht nur die Massendichte T^{00}, sondern wirken alle Komponenten des Tensors als Gravitationsquellen. Bei moderaten Drücken, Scherspannungen und Geschwindigkeiten fällt dieser Unterschied in Laborexperimenten kaum auf, weil die Massendichte meist um viele Größenordnungen größer ist als die übrigen Komponenten.

Für die Hydrodynamik, also die Beschreibung von Flüssigkeiten und Gasen, lautet der kontravariante Energie-Impuls-Tensor

T^{\alpha\beta}=(\rho+P/c^2)u^\alpha u^\beta-Pg^{\alpha\beta}.

Dabei ist u^\alpha die Vierergeschwindigkeit, P der isotrope Druck im lokalen Inertialsystem eines frei fallenden Beobachters, \rho die Massendichte in diesem System, g^{\alpha\beta} der metrische Tensor der allgemeinen Relativitätstheorie und c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. Die Formel gilt für ein ideales Gas oder eine ideale Flüssigkeit. Vorausgesetzt wird, dass der Druck im Ruhesystem jedes Teilchens isotrop ist. Wärmeleitung und Viskosität werden vernachlässigt und können mit dieser Darstellung nicht beschrieben werden.

In der Kosmologie werden Galaxien als Elemente einer idealen kosmischen Flüssigkeit betrachtet. Im Ruhesystem einer mitbewegten Galaxie gilt u^\alpha=(c,0,0,0). Dieses System ist zugleich das eines frei fallenden Beobachters; dort kann der metrische Tensor durch denjenigen der speziellen Relativitätstheorie \eta^{\alpha\beta} ersetzt werden. Der Tensor vereinfacht sich zu

(T^{\alpha\beta})=\begin{pmatrix}\rho c^2&0&0&0\\0&P&0&0\\0&0&P&0\\0&0&0&P\end{pmatrix}.

Verschwindet zusätzlich der Druck P, bleibt nur die Energiedichte e=\rho c^2:

(T^{\alpha\beta})=\begin{pmatrix}\rho c^2&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}.

Diese vereinfachte Darstellung gilt im Allgemeinen nur an einem Punkt der Raumzeit. Für größere Bereiche muss der allgemeine metrische Tensor der Raumzeit verwendet werden.