Elektrische Flussdichte

Grundidee und Bedeutung

Die elektrische Flussdichte \vec{D} ist eine physikalische Größe der Elektrostatik und Elektrodynamik. Sie beschreibt, wie stark ein elektrisches Feld auf einer Metallfläche eine Oberflächenladungsdichte \sigma influenzieren kann; ihr Betrag wird dieser Oberflächenladungsdichte gleichgesetzt. Anschaulich kann man sie als Dichte der elektrischen Feldlinien bezogen auf eine Fläche verstehen.

Sie unterscheidet sich von der elektrischen Feldstärke \vec{E}: Die elektrische Feldstärke ist über die Kraftwirkung auf eine Probeladung definiert, während die elektrische Flussdichte den Zusammenhang mit Flächenladung und elektrischem Fluss beschreibt. \vec{D} ist eine vektorielle, also gerichtete Größe. Die Flächenladungsdichte \sigma ist dagegen skalar, obwohl beide dieselbe SI-Einheit haben: Coulomb pro Quadratmeter (\mathrm{C/m^2}), auch \mathrm{A \cdot s \cdot m^{-2}}. Die Richtung von \vec{D} ergibt sich aus dem Oberflächennormalenvektor der metallischen Testfläche, wenn diese so ausgerichtet ist, dass die maximale Flächenladungsdichte influenziert wird.

Bezeichnungen

Das International Electrotechnical Vocabulary (IEV) verwendet die Bezeichnung „elektrische Flussdichte“ beziehungsweise auf Englisch „electric flux density“. Andere Bezeichnungen kommen vor, gelten aber fachsprachlich nicht als bevorzugt: „Verschiebung“ und „Verschiebungsdichte“ werden vom IEV als veraltet abgelehnt. „Elektrische Erregung“ wird dort nicht erwähnt. Ebenfalls im Artikel genannt werden „dielektrische Verschiebung“, „Verschiebungsdichte“ und „Verschiebungsflussdichte“ als alternative Benennungen.

Elektrischer Fluss

Der elektrische Fluss \Psi, der durch eine beliebige Fläche A hindurchtritt, ist das Flächenintegral der elektrischen Flussdichte \vec{D}. Dabei zählt nur der Anteil von \vec{D}, der senkrecht, also normal, zur Fläche steht. Mathematisch wird dies mit dem Skalarprodukt geschrieben:

\Psi = \int_A \vec{D} \cdot \mathrm{d}\vec{A}

Für eine geschlossene Fläche gilt: Der elektrische Fluss durch diese Fläche ist gleich der elektrischen Ladung, die von der Fläche eingeschlossen wird. Mit der Ladungsdichte \rho im Volumen V und der Gesamtladung Q lautet die Beziehung:

\oint_A \vec{D} \cdot \mathrm{d}\vec{A} = \int_V \rho\,\mathrm{d}V = Q

Die zeitliche Änderung der elektrischen Flussdichte tritt außerdem als maxwellscher Verschiebungsstrom im erweiterten ampèreschen Gesetz auf.

Bezug zur Feldstärke

Die elektrische Flussdichte hängt mit der elektrischen Feldstärke \vec{E}, der Polarisation \vec{P} und der elektrischen Feldkonstante \varepsilon_0 zusammen. Die Polarisation beschreibt den Beitrag eines Materials zum elektrischen Verhalten. Allgemein gilt:

\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}

Im Vakuum gibt es keine Polarisation. Dann vereinfacht sich der Zusammenhang zu:

\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E}

In einem linearen, isotropen Dielektrikum kommt die relative Permittivität \varepsilon_r hinzu. „Linear“ bedeutet hier, dass \vec{D} proportional zu \vec{E} ist; „isotrop“ bedeutet, dass die Richtung im Material keine Rolle spielt. Dann gilt:

\vec{D} = \varepsilon_r \varepsilon_0 \vec{E}

In einem anisotropen Medium, wie es für Einkristalle typisch ist, muss \vec{D} nicht mehr in dieselbe Richtung zeigen wie \vec{E}. Wenn beide Größen trotzdem linear zusammenhängen, kann der Proportionalitätsfaktor als Tensor 2. Stufe dargestellt werden:

\vec{D}=\begin{pmatrix}\varepsilon_{11}&\varepsilon_{12}&\varepsilon_{13}\\\varepsilon_{21}&\varepsilon_{22}&\varepsilon_{23}\\\varepsilon_{31}&\varepsilon_{32}&\varepsilon_{33}\end{pmatrix}\varepsilon_0\vec{E}

Eine Folge eines solchen Zusammenhangs ist die Doppelbrechung. Nichtlineares Verhalten zwischen elektrischem Feld und elektrischem Fluss tritt zum Beispiel bei Ferroelektrika auf. Diese behalten nach dem Anlegen eines starken Feldes einen Teil ihrer Polarisation. Weitere Beispiele gibt es in der nichtlinearen Optik.

Plattenkondensator

Ein wichtiges Beispiel ist der Plattenkondensator mit parallelen Platten. Dort zeigt die elektrische Flussdichte in Richtung der Flächennormale der Kondensatorplatten. Ihr Betrag ist die Ladungsmenge Q des Kondensators geteilt durch die Plattenfläche A:

|\vec{D}| = \frac{Q}{A}

Dabei ist Q die Ladungsmenge eines Plattenkondensators und A die Fläche seiner Platten. Da die Flächenladungsdichte \sigma gleich \frac{Q}{A} ist und die elektrische Feldstärke E proportional zur Flächenladungsdichte ist, kann man für ein Medium mit relativer Permittivität \varepsilon_r auch schreiben:

|\vec{D}| = \varepsilon_r\,\varepsilon_0\,|\vec{E}|