Feldlinie

Grundidee und Bedeutung

Eine Feldlinie oder Kraftlinie ist eine gedachte oder gezeichnete, meist gekrümmte Linie, die veranschaulicht, welche Kraft ein physikalisches Feld auf einen Probekörper ausübt. Die Tangente an eine Feldlinie zeigt in jedem Berührungspunkt die Richtung der Kraft beziehungsweise der Feldstärke an. Die Dichte der Feldlinien beschreibt die Stärke des Feldes: Je mehr Feldlinien durch eine quer zu ihnen orientierte Einheitsfläche treten, desto größer ist der Betrag der Feldstärke. Dabei bezieht sich die Dichte auf den dreidimensionalen Raum und nicht bloß auf die scheinbare Dichte in einer zweidimensionalen Zeichnung.

Feldlinien sind vor allem ein qualitatives Darstellungs- und Verständigungsmittel. Sie machen Richtung, räumlichen Verlauf und relative Stärke eines Feldes anschaulich, stellen das Feld aber nicht als aus einzelnen Linien zusammengesetzt dar. Durch jeden Punkt im Raum verläuft immer nur eine Feldlinie. Überlagern sich mehrere Felder, entsteht ein neues Gesamtfeld; dessen Feldlinien zeigen die Richtung der resultierenden Kraft.

Beispiele und Sichtbarmachung

Gravitationsfeldlinien stellen die Schwerkraft auf eine Probemasse dar. Im Erdschwerefeld sind sie praktisch gerade Linien, nämlich Lotlinien oder Vertikalen. Diese können beispielsweise mit einem Schnurlot sichtbar gemacht werden.

Elektrische Feldlinien veranschaulichen die Coulombkraft auf elektrische Probeladungen. Sie beginnen auf positiven Ladungen und enden auf negativen Ladungen oder jeweils in der Unendlichkeit. Ihre Richtung entspricht der Kraftwirkung auf eine positive Probeladung.

Magnetische Feldlinien der magnetischen Flussdichte zeigen die Richtung der magnetischen Kraft auf Magnetpole. Ihre Orientierung ist so festgelegt, dass sie am Nordpol eines Magneten aus diesem austreten und am Südpol in ihn eintreten. Allgemein zeigen sie in die Richtung, in die der Nordpol einer frei drehbaren Kompassnadel weist. Magnetische Dipole, zum Beispiel Kompassnadeln, richten sich entlang der Feldlinien aus: Der eine Pol erfährt eine Kraft in Feldrichtung, der andere eine Kraft in entgegengesetzter Richtung. Die häufige Darstellung geschlossener Magnetfeldlinien gilt in vielen idealisierten und symmetrischen Fällen, etwa beim idealen Stabmagneten oder bei der idealen Spule, aber nicht im allgemeinsten Fall.

Die Gestalt und Dichte von Feldlinien können durch Demonstrationsexperimente sichtbar gemacht werden. Eisenfeilspäne auf Papier werden durch das Magnetfeld magnetisiert. Sie lagern sich aneinander an und bilden Ketten entlang der magnetischen Feldlinien. In einem elektrischen Feld können sich Grießkörner in einer zähen dielektrischen Flüssigkeit, beispielsweise Rizinusöl, ähnlich ausrichten. Die Körner werden elektrisch polarisiert und ordnen sich deshalb entlang der elektrischen Feldlinien an.

Wichtige Eigenschaften und Orientierung

Quellenfelder, etwa elektrische Felder von Ladungen oder Gravitationsfelder, besitzen Feldlinien, die von einem Punkt ausgehen oder in einem Punkt enden. Wirbelfelder, beispielsweise die magnetische Flussdichte oder elektrische Felder, die durch sich ändernde Magnetfelder induziert werden, haben dagegen keinen Anfang und kein Ende. Im theoretischen Idealbild sind die Feldlinien eines reinen Wirbelfeldes geschlossene Schleifen, die sich nicht kreuzen.

Zur anschaulichen Beschreibung des Linienverlaufs gilt die Eselsbrücke: Feldlinien „wollen“ möglichst kurz sein, stoßen sich aber gegenseitig ab. Sind die Feldlinien in einem Gebiet gerade und parallel und besitzen sie eine konstante Dichte, liegt ein homogenes Feld vor. Andernfalls ist das Feld inhomogen. Ändern sich Verlauf und Dichte im Laufe der Zeit nicht, heißt das Feld stationär.

Die Orientierung richtet sich nach der Feldstärke. Beim Magnetfeld zeigen die Linien in die Richtung, in die der Nordpol eines Elementarmagneten oder Minikompasses zeigt. In der Umgebung eines Permanentmagneten verlaufen sie daher vom Nord- zum Südpol. Beim elektrischen Feld zeigen sie in die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung; in einem elektrostatischen Feld verlaufen sie folglich von der positiven zur negativen Ladung.

Warum Felder durch Linien dargestellt werden

Am Beispiel einer geladenen Kugel werden verschiedene Darstellungen eines Feldes verglichen. Eine Möglichkeit ist eine Farbsättigungsdarstellung: Ein schwächer werdendes Feld wird durch eine geringere Farbsättigung angezeigt. Ihr Vorteil besteht darin, dass die gesamte Fläche lückenlos bedeckt ist. Dadurch stellt sich zum Beispiel nicht die Frage, ob zwischen den eingezeichneten Kraftlinien noch eine Kraft vorhanden ist. Nachteilig ist, dass die Kraftrichtung – die Richtung der stärksten Änderung der Farbsättigung – nur schwer zu erkennen ist. Auch die genaue räumliche Form, etwa eine radialsymmetrische Gestalt oder ein Linksdrall, lässt sich damit nicht sicher bestimmen.

Feldlinienbilder zeigen solche Feinheiten deutlicher. Sie führen jedoch zu anderen Missverständnissen: Man könnte fragen, ob nur die gezeichneten Linien existieren, ob zwischen ihnen weitere Linien liegen, ob außerhalb des Bildes feldfreie Stellen vorhanden sind oder ob ein geladenes Teilchen beim Überqueren der Linien abwechselnd unterschiedlich starke Kräfte spürt. Feldlinien sind daher eine anschauliche Auswahl zur Darstellung des Feldes und keine einzelnen Kraftbahnen.

Ob das Feld einer geladenen Kugel der mittleren oder einer Darstellung mit Linksdrall entspricht, lässt sich experimentell oder durch besondere Regeln entscheiden. Eine wichtige Regel lautet, dass Feldlinien an leitenden Flächen immer senkrecht enden. Für die geladene Kugel ist die mittlere Darstellung richtig. Die Frage, ob ein Teilchen angezogen oder abgestoßen wird, kann die Farbsättigungsdarstellung nicht beantworten. Bei Feldlinienbildern lässt sich dies durch Pfeilspitzen an den Linien darstellen.

Weitere Vorteile der Liniendarstellung sind ihre Eignung für die graphische Lösung von Differentialgleichungen, etwa als Richtungsfeld, sowie ihre einfache zeichnerische und drucktechnische Reproduzierbarkeit. Letztere war historisch sicherlich der wichtigste Grund für ihre Durchsetzung.

Mathematischer Hintergrund

Mathematisch ist eine Feldlinie ein Pfad entlang eines Vektorfeldes auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit, beispielsweise entlang des elektrischen Feldes im Ortsraum. Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt der Mannigfaltigkeit einen Tangentialvektor zu. Damit der Begriff der Feldliniendichte sinnvoll verwendet werden kann, müssen Feldlinien jedoch Abstände zueinander haben. Deshalb dient das Konzept hauptsächlich der qualitativen Veranschaulichung.

Typische Vektorfelder der Elektrodynamik können nach dem Zerlegungssatz in einen Gradientenfeldanteil und einen Wirbelfeldanteil zerlegt werden. Die Feldlinien eines Gradientenfeldes verlaufen zwischen Senken und Quellen. Beim Wirbelfeld bilden sie geschlossene Schleifen, die sich nicht kreuzen.

Im elektrischen Feld werden Feldlinien im Punkt r formal durch

d⃗s × E⃗(r) = 0

beschrieben. Dabei ist d⃗s die infinitesimale Fortsetzung der durch den Punkt r verlaufenden Feldlinie. Wegen der Definition des Kreuzprodukts erfüllen diese Gleichung alle Vektoren, die in diesem Punkt parallel zu den Feldlinien sind. Im zweidimensionalen Fall mit dz = E_z = 0 ergibt sich:

dy E_x − dx E_y = 0 ⇔ dy/dx = E_y/E_x.

Das Feldlinienbild veranschaulicht außerdem den Gaußschen Integralsatz. Alle Feldlinien des Feldes E⃗, die in einem Gebiet V beginnen, das durch den Rand S begrenzt ist, enden entweder ebenfalls in V oder durchstoßen den Rand. Daher gilt:

∫_V div E⃗ dV = ∮_S E⃗ · n⃗ dS.

In Worten bedeutet dies: Die gesamte Quellenstärke eines Vektorfeldes in einem Gebiet ist gleich dem Fluss durch dessen Randfläche. Für kugelsymmetrische Probleme folgt daraus unmittelbar:

|E⃗(r)| ∝ 1/(4πr²).

Die Feldlinien verteilen sich dabei auf die Kugeloberfläche mit Radius r. Diese Proportionalität tritt beispielsweise im Gravitationsgesetz und im Coulomb-Gesetz auf.