Schriftliche Multiplikation

Grundidee und Zweck

Die schriftliche Multiplikation ist ein schriftliches Rechenverfahren beziehungsweise ein Algorithmus. Mit ihm kann man zwei mehrstellige Zahlen ohne technische Hilfsmittel multiplizieren. Der Artikel beschreibt zunächst die Anwendung auf natürliche Zahlen und anschließend die Erweiterung auf rationale Zahlen mit endlich vielen Dezimalstellen.

Das im Dezimalsystem übliche Verfahren ersetzt die Multiplikation zweier mehrstelliger Zahlen durch mehrere einfachere Rechenschritte. Eine der Zahlen wird in eine Summe zerlegt, deren Summanden höchstens eine von 0 verschiedene Ziffer besitzen. Jeder Summand wird einzeln mit der anderen Zahl multipliziert. Anschließend werden alle entstehenden Teilergebnisse addiert.

Neben diesem Verfahren gibt es weitere Verfahren zur schriftlichen Multiplikation, zum Beispiel die Vedische Multiplikation und die Russische Bauernmultiplikation. Das beschriebene Verfahren ist jedoch das in den meisten Staaten für das Dezimalsystem übliche.

Ablauf des Verfahrens

Als Eingaben dienen zwei natürliche Zahlen in Ziffernschreibweise. Eine der Zahlen wird in ihre einzelnen Ziffern zerlegt. Für jede Ziffer wird das Produkt aus dieser Ziffer und der anderen Zahl berechnet. Danach wird das Teilprodukt entsprechend der Stellenposition mit Nullen ergänzt: Die letzte Ziffer erhält keine Null, jede weiter links stehende Ziffer eine Null mehr. Die Summe aller Teilergebnisse ist das Endergebnis, also das Produkt der beiden Eingaben.

Die Nullen werden beim Aufschreiben häufig weggelassen, um Schreibarbeit zu sparen. Ihre Wirkung entsteht durch die Position, an der die Teilergebnisse untereinander stehen. Dabei hilft üblicherweise Karopapier, weil die Ziffern dadurch an den richtigen Stellen ausgerichtet werden.

Falls eine Teilmultiplikation zu schwierig ist, kann auch sie erneut als schriftliche Multiplikation ausgeführt werden, indem die andere Zahl in ihre Ziffern zerlegt wird. Die dabei entstehenden Einzelschritte lassen sich dann mithilfe des kleinen Einmaleins berechnen. Die Reihenfolge, in der die Zwischenergebnisse entstehen, ist beliebig; sie verändert das Endergebnis nicht. Das Verfahren funktioniert sowohl im Dezimalsystem mit den Ziffern 0 bis 9 als auch in jedem anderen Stellenwertsystem.

Beispiel mit 8642 und 9731

Die Zahl 9731 wird in ihre Stellenwerte zerlegt:

9731 = 9000 + 700 + 30 + 1

Daher kann das Produkt 8642 · 9731 in folgende Teilprodukte aufgeteilt werden:

8642 · 9000

• 8642 · 700
• 8642 · 30
• 8642 · 1

Die Summe dieser vier Teilprodukte ergibt das Gesamtprodukt. In der verkürzten schriftlichen Darstellung werden die Nullen nicht unbedingt ausgeschrieben. Stattdessen werden die Zeilen so untereinander angeordnet, dass jede Ziffer die richtige Stellenposition erhält. Die Teilprodukte werden mithilfe des kleinen Einmaleins und der Addition berechnet und anschließend addiert. Damit ist die Multiplikation vollständig durchgeführt.

Dezimalstellen und Vorzeichen

Hat mindestens einer der Faktoren Nachkommastellen, wird zunächst so gerechnet, als wären beide Faktoren ganze Zahlen. Danach setzt man das Komma im Ergebnis so, dass die Anzahl der Nachkommastellen des Ergebnisses der Summe der Nachkommastellen beider Faktoren entspricht.

Hat mindestens ein Faktor ein negatives Vorzeichen, werden zuerst die Beträge multipliziert. Anschließend wird das Vorzeichen des Ergebnisses mithilfe der Vorzeichenregeln bestimmt.

Mathematische Begründung

Die Grundlage des Verfahrens ist die Stellenwertzerlegung. Eine natürliche n-stellige Dezimalzahl a mit den Ziffern aₙ₋₁aₙ₋₂ … a₁a₀ lässt sich als Summe ihrer Ziffern, multipliziert mit den jeweiligen Zehnerpotenzen, schreiben:

a = aₙ₋₁ · 10ⁿ⁻¹ + aₙ₋₂ · 10ⁿ⁻² + … + a₁ · 10¹ + a₀ · 10⁰

Kurz lautet die Darstellung:

a = ∑ᵢ₌₀ⁿ⁻¹ aᵢ · 10ⁱ

Für eine m-stellige Zahl b gilt entsprechend:

b = ∑ⱼ₌₀ᵐ⁻¹ bⱼ · 10ʲ

Damit wird die Multiplikation zweier mehrstelliger Zahlen zu

a · b = (∑ᵢ₌₀ⁿ⁻¹ aᵢ · 10ⁱ) · (∑ⱼ₌₀ᵐ⁻¹ bⱼ · 10ʲ).

Beim Ausmultiplizieren entstehen Produkte jeder Ziffer von a mit jeder Ziffer von b. Jedes dieser Produkte wird mit der passenden Zehnerpotenz versehen. Fasst man die Produkte der Ziffern mit ihren Stellenwerten als Elemente zweier Vektoren auf, kann man die Multiplikation als Summe der Elemente ihres dyadischen Produkts verstehen. Dieses dyadische Produkt wird als Matrix dargestellt.

Das schriftliche Verfahren berechnet alle Elemente dieser Matrix und addiert sie spaltenweise. Die Spaltensummen entsprechen den Produkten der gesamten Zahl a mit den einzelnen Stellenwertanteilen von b:

(aₙ₋₁ · 10ⁿ⁻¹ + … + a₀ · 10⁰) · (bₘ₋₁ · 10ᵐ⁻¹),

(aₙ₋₁ · 10ⁿ⁻¹ + … + a₀ · 10⁰) · (bₘ₋₂ · 10ᵐ⁻²),

…,

(aₙ₋₁ · 10ⁿ⁻¹ + … + a₀ · 10⁰) · (b₁ · 10¹),

(aₙ₋₁ · 10ⁿ⁻¹ + … + a₀ · 10⁰) · (b₀ · 10⁰).

Diese Spaltensummen werden notiert und anschließend schriftlich addiert. Ihre Summe ist das Gesamtergebnis der Multiplikation.