Eigenmode

Grundidee und Bedeutung

Eigenmoden oder Normalmoden sind spezielle Bewegungen eines schwingungsfähigen Systems. Nach einer Anregung und dem anschließenden Sich-selbst-Überlassen schwingen bei einer Eigenmode alle Komponenten mit derselben Frequenz. Diese Frequenz heißt Eigenfrequenz; die zugehörige Bewegung wird auch Eigenschwingung genannt. Bei kleinen Amplituden handelt es sich um ungedämpfte harmonische Schwingungen.

Jede mögliche Bewegung des Systems lässt sich als Überlagerung verschiedener Eigenmoden darstellen. Die Anzahl der verschiedenen Eigenmoden entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade, also der unabhängig möglichen Bewegungen des Systems. Auch eine gleichförmige Bewegung des gesamten Systems wird als Eigenmode betrachtet; sie besitzt die Frequenz Null.

Welche Eigenmoden und Eigenfrequenzen auftreten, hängt vom Aufbau des Systems und von den Wechselwirkungen seiner Bestandteile ab. Bei einer Saite eines Musikinstruments bestimmen insbesondere Länge, Material und mechanische Spannung die Eigenfrequenzen.

Mathematische Beschreibung

Für ein System mit f Freiheitsgraden wird die Lagrangefunktion zunächst durch die Massenmatrix und das Potential beschrieben:

L(q₁,…,q_f, q̇₁,…,q̇_f) = ½ Σᵢⱼ mᵢⱼ(q) q̇ᵢq̇ⱼ − U(q).

In der Näherung bis zur zweiten Ordnung um die Gleichgewichtslage q⁰ setzt man x = q − q⁰. Mit Tᵢⱼ = Tⱼᵢ = mᵢⱼ(q⁰) und Vᵢⱼ = Vⱼᵢ = ∂²U/∂qᵢ∂qⱼ|q⁰ ergibt sich

L = ½ Σᵢⱼ (Tᵢⱼ ẋᵢẋⱼ − Vᵢⱼxᵢxⱼ).

Die Bewegungsgleichungen lauten in Matrixform T ẍ = −Vx. Dabei sind T und V f×f-Matrizen und x ein f-dimensionaler Vektor. Die Matrix T ist positiv definit, weil die kinetische Energie immer größer als Null ist. Für ein stabiles oder indifferentes Gleichgewicht muss V positiv semidefinit sein. Deshalb sind die Eigenwerte der beteiligten Matrizen nichtnegativ.

Mit dem Ansatz x(t) = A exp(−iωt) erhält man das verallgemeinerte Eigenwertproblem

(V − ω²T)A = 0.

Eine nichttriviale Lösung existiert nur, wenn det(V − ω²T) = 0 gilt. Dieses charakteristische Polynom hat den Grad f in ω² und besitzt daher f Nullstellen. Wegen der Symmetrie von T und V sind die Eigenwerte reell; wegen der positiven (Semi-)Definitheit sind sie nichtnegativ. Negative oder komplexe Nullstellen würden zu einem Imaginärteil von ω und damit zu einer divergierenden Lösung führen, was einem stabilen Gleichgewicht widerspräche.

Die positiven Wurzeln der Nullstellen von P⁽ᶠ⁾(ω²) = det(V − ω²T) sind die Eigenfrequenzen ω_k. Ein System mit f Freiheitsgraden besitzt maximal f Eigenfrequenzen. Die zugehörigen Eigenvektoren A⁽ᵏ⁾ erfüllen (V − ω_k²T)A⁽ᵏ⁾ = 0. Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist ebenfalls ein Eigenvektor; deshalb können Eigenvektoren normiert und mit einer komplexen Konstanten c_k multipliziert werden.

Bei mehrfach auftretenden, also entarteten Eigenfrequenzen hat die Gleichung nicht vollen Rang; einige Komponenten der zugehörigen Eigenvektoren können dann frei gewählt werden. Hat V den Eigenwert Null, liegt ein indifferentes Gleichgewicht vor. Die entsprechende Eigenfrequenz ist Null, und es gilt ẍ = 0: Die Lösung ist eine gleichförmige Bewegung.

Die allgemeine Bewegung ist eine Superposition der Eigenschwingungen und gegebenenfalls einer gleichförmigen Bewegung:

x(t) = Σₖ,ωₖ≠0 Re(c_k A⁽ᵏ⁾ exp(−iω_kt)) + Σₖ,ωₖ=0 A⁽ᵏ⁾(x_k⁰ + C_kt).

Für jeden Freiheitsgrad gibt es entweder zwei reelle oder einen komplexen freien Parameter. Insgesamt entstehen 2f Konstanten, die durch Anfangsbedingungen festgelegt werden.

Normalkoordinaten

Normalkoordinaten sind Koordinaten, die direkt den Eigenmoden entsprechen. Sie werden durch Q = a⁻¹x definiert, wobei a = (Aᵢ⁽ᵏ⁾) die Matrix der Eigenvektoren ist.

Durch geeignete Normierung erfüllen die Eigenvektoren die Orthonormalitätsrelation aᵀTa = 1. Die Matrix a diagonalisiert sowohl T als auch V. Mit λ = (ω_k²δ_kl) gilt Va = Taλ.

Die Koordinatentransformation x = aQ entkoppelt die Bewegungsgleichungen. Die Lagrangefunktion wird zu

L = ½(ẋᵀTẋ − xᵀVx) = ½(Q̇ᵀQ̇ − QᵀλQ) = ½ Σ_k(Q̇_k² − ω_k²Q_k²).

Damit verhält sich jede Normalkoordinate unabhängig wie eine eigene harmonische Schwingung. Für eine nichtverschwindende Eigenfrequenz gilt Q_k = Re(c_k exp(−iω_kt)).

Beispiele aus Mechanik und Molekülphysik

Beim Federpendel ist eine Masse m an einer Feder mit Federkonstante D befestigt und kann sich nur in einer Dimension bewegen. Es gibt daher einen Freiheitsgrad. Für das System gilt V = D und T = m. Die Eigenwertgleichung lautet

(D − ω²m)A = 0.

Aus D − ω²m = 0 folgt ω² = D/m. Der Eigenvektor kann als A = 1 gewählt werden. Die Bewegung ist

x(t) = Re(c exp(−i√(D/m)t)).

Ein Kohlendioxid-Molekül wird in erster Näherung als drei Massen modelliert: zwei äußere identische Sauerstoffmassen m_O und eine mittlere Kohlenstoffmasse m_C. Die beiden gleichartigen Bindungen besitzen die Federkonstante D. Betrachtet werden nur Bewegungen entlang der Molekülachse, also Valenzschwingungen; Deformationsschwingungen werden nicht berücksichtigt. Das System hat drei Freiheitsgrade.

Die drei Nullstellen der Determinante liegen bei

ω₁² = 0, ω₂² = D/m_O, ω₃² = (D/m_O)(1 + 2m_O/m_C).

Die Eigenvektoren sind

A⁽¹⁾ = (1, 1, 1)ᵀ, A⁽²⁾ = (1, 0, −1)ᵀ, A⁽³⁾ = (1, −2m_O/m_C, 1)ᵀ.

Die erste Eigenschwingung ist die Translation des gesamten Moleküls. In der zweiten schwingen die beiden äußeren Sauerstoffatome gegenläufig, während das Kohlenstoffatom ruht. In der dritten schwingen die beiden äußeren Atome gleichförmig und das mittlere Atom gegenläufig.

Eine schwingende Saite besitzt unendlich viele Freiheitsgrade und entsprechend unendlich viele Eigenfrequenzen. Ihre Auslenkung u(x,t) erfüllt die Wellengleichung ∂²u/∂x² − (1/c_k²)∂²u/∂t² = 0. Für eine Saite der Länge L mit fest eingespannten Enden gilt u(0,t) = u(L,t) = 0. Daraus folgt k = πn/L mit n ∈ ℕ. Weil die Phasengeschwindigkeit c_k = √(S/ρ) konstant ist, ergeben sich die Eigenfrequenzen

ω_n = √(S/ρ) · πn/L.

Die allgemeine Lösung ist die Superposition aller Eigenschwingungen.

Moleküle, Quantenmechanik und technische Anwendungen

Ein N-atomiges Molekül besitzt 3N Freiheitsgrade. Davon entfallen 3 auf Translationen. Bei einem linearen Molekül gibt es 2, bei einem gewinkelten Molekül 3 Rotationsfreiheitsgrade. Es verbleiben daher 3N−5 beziehungsweise 3N−6 Vibrationsfreiheitsgrade, die Eigenfrequenzen ungleich Null entsprechen. Die Symmetrien dieser Molekülschwingungen lassen sich mit gruppentheoretischen Charaktertafeln beschreiben. Die Normalschwingungen einer entarteten, von Null verschiedenen Eigenfrequenz bilden eine Basis für eine irreduzible Darstellung der Punktgruppe des Moleküls. Beim beschriebenen CO₂-Modell sind die zwei zusätzlich möglichen Normalschwingungen transversale Schwingungen in den beiden nicht betrachteten Raumrichtungen.

In der Quantenmechanik wird der Zustand durch einen Zustandsvektor |ψ(t)⟩ beschrieben. Er erfüllt die Schrödingergleichung H|ψ(t)⟩ = iℏ ∂|ψ(t)⟩/∂t. Für einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator lautet die formale Lösung |ψ(t)⟩ = exp(−iHt/ℏ)|ψ(0)⟩. Da H ein vollständiges System von Energieeigenzuständen |n⟩ mit H|n⟩ = E_n|n⟩ besitzt, kann der Zustand als

|ψ(t)⟩ = Σ_n exp(−iE_nt/ℏ)|n⟩⟨n|ψ(0)⟩

geschrieben werden. Die quantenmechanischen Eigenfrequenzen ω_n = E_n/ℏ beschreiben dabei keine Schwingung im Ortsraum, sondern eine Rotation im Hilbertraum.

Technische und alltägliche Beispiele zeigen die Bedeutung von Eigenmoden: Eine angeschlagene Glocke schwingt mit ihren Eigenfrequenzen; durch Dämpfung klingt die Schwingung ab, wobei höhere Frequenzen schneller gedämpft werden als tiefere. Eine Stimmgabel ist so konstruiert, dass neben der tiefsten Eigenfrequenz kaum weitere Eigenschwingungen angeregt werden. In Gebäuden können Basstöne Raummoden anregen, wenn ihre Frequenz zu einer Eigenfrequenz des Raums passt. Trommeln besitzen mehrere Eigenfrequenzen. Bei Lautsprechern verschlechtern Partialschwingungen der Membran die Wiedergabequalität.