Vielfaches

Grundidee

Ein Vielfaches ist ein Begriff aus der Arithmetik. Er beschreibt vor allem eine Beziehung zwischen ganzen Zahlen, also Zahlen aus \mathbb{Z} wie \dotsc, -1, 0, 1, 2, \dotsc. Eine Zahl ist ein Vielfaches einer anderen Zahl, wenn sie durch Multiplikation dieser Zahl mit einer ganzen Zahl entstehen kann.

Der Begriff ist wichtig in der Bruchrechnung und in der Zahlentheorie, besonders beim kleinsten gemeinsamen Vielfachen von zwei oder mehreren ganzen Zahlen. Außerdem lässt sich die Idee auf beliebige abelsche Gruppen verallgemeinern. Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe, in der die Verknüpfung kommutativ ist, bei Addition also zum Beispiel a+b=b+a gilt.

Vielfaches ganzer Zahlen

Eine ganze Zahl a \in \mathbb{Z} heißt Vielfaches einer Zahl b \in \mathbb{Z}, wenn es eine ganze Zahl k \in \mathbb{Z} gibt, sodass a = k \cdot b ist.

In diesem Fall ist b ein Teiler von a. Das bedeutet: a lässt sich ohne Rest durch b teilen, sofern die übliche Teilbarkeit gemeint ist.

Von einem echten Vielfachen spricht man, wenn |k|>1 gilt. Der Betrag |k| gibt den Abstand von k zur Null an, unabhängig vom Vorzeichen.

Analog wird der Begriff Vielfaches auch für rationale Zahlen und reelle Zahlen a und b definiert.

Beispiele

Typische Beispiele für Vielfache sind:

• 6, 9 und -15 sind echte Vielfache von 3.
• 6 ist auch ein echtes Vielfaches von 2.
• 0 ist ein Vielfaches von jeder Zahl.

Verallgemeinerung auf abelsche Gruppen

In einer abelschen Gruppe (A,+) kann man den Begriff des Vielfachen ebenfalls definieren. Zu jedem Element a \in A gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus \mu_a \colon \mathbb{Z} \to A, der durch \mu_a(1)=a festgelegt ist. Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen Gruppen, die die Gruppenstruktur erhält.

Für diesen Homomorphismus gilt: \mu_a(0)=0, \mu_a(2)=\mu_a(1)+\mu_a(1)=a+a, und \mu_a(-n)=-\mu_a(n) für alle n \in \mathbb{N}.

Man setzt dann n \cdot a := \mu_a(n) für n \in \mathbb{Z} und a \in A. Dieses Element n \cdot a nennt man ein Vielfaches, genauer das n-Fache von a, in der abelschen Gruppe A.