Doppelverhältnis

Grundidee und Bedeutung

Das Doppelverhältnis ist in der Geometrie das Verhältnis zweier Teilverhältnisse. Teilen zwei Punkte S und T eine Strecke [AB] jeweils in die Teilstrecken [AS], [SB] beziehungsweise [AT], [TB], so ist das affine Doppelverhältnis

(A,B;S,T) = (|AS|/|SB|) : (|AT|/|TB|).

Seine besondere Bedeutung liegt darin, dass es bei Zentralprojektionen invariant bleibt, also seinen Wert nicht verändert. Das einfachere Teilverhältnis ist zwar unter Parallelprojektionen invariant, aber nicht unter Zentralprojektionen. Das Doppelverhältnis wird deshalb besonders in der analytischen und projektiven Geometrie als Invariante verwendet. In der Darstellenden Geometrie dient es außerdem zur Rekonstruktion ebener Figuren, oft ohne numerische Rechnung.

Eine wichtige Verallgemeinerung betrifft vier Punkte auf einer projektiven Geraden, also einer affinen Geraden, der ein Fernpunkt hinzugefügt wurde. Hat das Doppelverhältnis den Wert −1, so liegt eine harmonische Teilung vor: A, B, S und T liegen dann harmonisch.

Affines Doppelverhältnis

Eine Gerade im affinen Raum ℝⁿ kann mit zwei fest gewählten Vektoren u⃗ und v⃗ parametrisiert werden durch

g: x⃗ = u⃗ + x v⃗, x ∈ ℝ.

Für vier Punkte A, B, S, T dieser Geraden seien a, b, s, t ihre Parameter. Das affine Doppelverhältnis ist definiert als

(A,B;S,T)ₐ := (A,B;S) : (A,B;T) = ((s−a)/(b−s)) : ((t−a)/(b−t)).

Liegen beide Teilpunkte S und T zwischen A und B oder liegen beide außerhalb, ist das Doppelverhältnis positiv. Liegt einer der beiden Punkte innerhalb und der andere außerhalb der Strecke, ist es negativ.

Für a = 0 und b = 1 vereinfacht sich die Formel zu

(A,B;S,T)ₐ = (s/(1−s)) : (t/(1−t)).

Der harmonische Fall ist durch (A,B;S,T) = −1 gekennzeichnet. Dann gilt zusätzlich ½(1/s + 1/t) = 1; das harmonische Mittel der Zahlen s und t ist also 1.

Beispiel und harmonische Teilung

Nimmt man A und B mit den Parametern a = 0 und b = 1, so erhält man für s = 1/3 und t = 3/4 das Doppelverhältnis

(A,B;S,T) = 1/6.

Im harmonischen Fall erfüllen die Parameter s und t die Gleichung ½(1/s + 1/t) = 1. Die Bezeichnung „harmonisch“ bezieht sich dabei auf vier Punkte A, B, S, T, deren Doppelverhältnis −1 ist. Das Doppelverhältnis lässt sich aus der bloßen Lage der vier Punkte meist weniger anschaulich abschätzen als ein einzelnes Teilverhältnis und hat daher vor allem theoretische Bedeutung.

Projektive Gerade und allgemeine Definition

Eine projektive Gerade P¹K über einem Körper K ist die Menge der eindimensionalen Unterräume eines zweidimensionalen K-Vektorraums. Nach der Wahl einer Basis u⃗, v⃗ werden ihre Punkte durch homogene Koordinaten (x:y) mit (x,y) ≠ (0,0) beschrieben. Dabei gilt

(x:y) = (λx:λy) für alle λ ∈ K mit λ ≠ 0.

Die projektive Gerade kann mit K ∪ {∞} identifiziert werden: (x:1) entspricht dem Punkt x und (1:0) dem Fernpunkt ∞.

Für vier Punkte A, B, S, T mit homogenen Koordinaten (a₁:a₂), (b₁:b₂), (s₁:s₂), (t₁:t₂) ist das Doppelverhältnis definiert durch

(A,B;S,T) := [det((s₁,a₁),(s₂,a₂)) / det((b₁,s₁),(b₂,s₂))] : [det((t₁,a₁),(t₂,a₂)) / det((b₁,t₁),(b₂,t₂))]

= [(s₁a₂−s₂a₁)/(b₁s₂−b₂s₁)] : [(t₁a₂−t₂a₁)/(b₁t₂−b₂t₁)].

Sind alle vier Punkte vom Fernpunkt ∞ verschieden, können ihre zweiten homogenen Koordinaten gleich 1 gewählt werden. Dann entsteht die affine Formel

(A,B;S,T) = ((s₁−a₁)/(b₁−s₁)) : ((t₁−a₁)/(b₁−t₁)).

Das Doppelverhältnis ist unabhängig von einem Basiswechsel. Beim Vertauschen von A und B oder von S und T wird sein Kehrwert gebildet: (B,A;S,T) = 1/(A,B;S,T) und (A,B;T,S) = 1/(A,B;S,T). Außerdem gilt (B,A;T,S) = (A,B;S,T) sowie (S,T;A,B) = (A,B;S,T).

Invarianz und geometrische Anwendungen

Projektive Kollineationen sind in einer projektiven Koordinatenebene die durch lineare Abbildungen erzeugten Kollineationen. Vier kollineare Punkte können so koordiniert werden, dass A = (1:0), B = (0:1), C = (1:1) und D = (x:1) gilt. Dann ist (A,B;C,D) = x, und eine lineare Abbildung lässt den Faktor x invariant. Deshalb bleibt das Doppelverhältnis unter jeder projektiven Abbildung erhalten; diese Invarianz gilt insbesondere bei Zentralprojektionen.

Wegen dieser Eigenschaft kann man das Doppelverhältnis auch für vier kopunktale Geraden einer Ebene definieren, also für vier Geraden, die durch denselben Punkt Z gehen. Man schneidet die vier Geraden mit einer weiteren Geraden; das Doppelverhältnis der vier Schnittpunkte ist das Doppelverhältnis der vier kopunktalen Geraden. Mit Winkeln lässt es sich schreiben als

(A,B;C,D) = [sin(CZA)/sin(CZB)] : [sin(DZA)/sin(DZB)] = [sin(α+β)/sin β] : [sin(α+β+γ)/sin(β+γ)].

Dabei kürzen sich alle Seitenlängen heraus.

Im projektiven Raum kann das Doppelverhältnis aus den projektiven Koordinaten vier kollinearer Punkte berechnet werden und ist unabhängig vom gewählten Koordinatensystem. Umgekehrt können projektive Koordinaten als Doppelverhältnisse aufgefasst werden. Die Invarianz gilt als kennzeichnendes Merkmal der projektiven Geometrie. Eine Verallgemeinerung ist das Tripelverhältnis.

Bezug zum hyperbolischen Abstand

Die reelle projektive Gerade ist der Rand im Unendlichen der hyperbolischen Ebene. Für zwei Punkte A und B der hyperbolischen Ebene sei γ die eindeutig bestimmte Geodätische durch A und B; ihre Endpunkte im Unendlichen heißen x und y. Cₓ und Cᵧ seien die durch A beziehungsweise B verlaufenden Horosphären mit den Mittelpunkten x beziehungsweise y. Die Mittelpunkte der beiden zu Cₓ und Cᵧ tangentialen Horosphären seien z und t. Dann ergibt sich der hyperbolische Abstand aus dem Doppelverhältnis:

d_hyp(A,B) = log(x,y;z,t).

Umgekehrt lässt sich das Doppelverhältnis aus dem hyperbolischen Abstand rekonstruieren:

(x,y;z,t) = lim₍A,B,A′,B′₎→₍x,y,z,t₎ exp{½[d_hyp(A,B) + d_hyp(A′,B′) − d_hyp(A,B′) − d_hyp(B,A′)]}.

Die Konvergenz A → x, B → y, A′ → z, B′ → t erfolgt entlang einer Geodätischen. Diese Beziehung ermöglicht eine direkte Verallgemeinerung des Doppelverhältnisses auf 4-Tupel von Punkten im Unendlichen eines beliebigen CAT(−1)-Raumes, insbesondere einer Hadamard-Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung.