Direktes Produkt

Grundidee und Gruppen

Ein direktes Produkt ist eine mathematische Struktur, die aus vorhandenen Strukturen mithilfe ihres kartesischen Produkts gebildet wird. Bei algebraischen Strukturen X_i besteht es aus Tupeln von Elementen der einzelnen Strukturen; die Verknüpfungen werden komponentenweise ausgeführt. Wichtige Fälle sind Gruppen, Ringe, Vektorräume, Moduln und topologische Räume.

Bei Gruppen unterscheidet man das äußere direkte Produkt, bei dem aus mehreren Gruppen eine neue Gruppe konstruiert wird, vom inneren direkten Produkt von Untergruppen einer gegebenen Gruppe. Die Darstellung beschreibt das äußere direkte Produkt. Wird die Gruppenverknüpfung additiv geschrieben, wie häufig bei kommutativen Gruppen, heißt das entsprechende Konstrukt meist direkte Summe.

Direktes Produkt zweier und endlich vieler Gruppen

Für Gruppen (G_1,*) und (G_2,\star) wird auf G_1\times G_2 definiert:

(x_1,x_2)\odot(y_1,y_2):=(x_1*y_1,x_2\star y_2).

Man verknüpft also jeweils die ersten und die zweiten Komponenten. Das Ergebnis ist wieder eine Gruppe; meist schreibt man dafür einfach G_1\times G_2. Sind e_1,e_2 die neutralen Elemente, dann sind G_1'=G_1\times\{e_2\} und G_2'=\{e_1\}\times G_2 isomorphe Untergruppen zu G_1 beziehungsweise G_2. Ihre Elemente kommutieren miteinander, auch wenn die ursprünglichen Gruppen nicht abelsch sind. Jedes (x_1,x_2) besitzt eindeutig die Darstellung (x_1,e_2)\odot(e_1,x_2); außerdem sind beide Untergruppen Normalteiler. Eine Verallgemeinerung des direkten Produkts zweier Gruppen ist das semidirekte Produkt.

Für G_1,\ldots,G_n lautet die Verknüpfung

(x_1,\ldots,x_n)\odot(y_1,\ldots,y_n):=(x_1*_1y_1,\ldots,x_n*_ny_n).

Auch dies ist eine Gruppe. Zu jedem Faktor G_i gehört ein isomorpher Normalteiler aus Tupeln der Form (e_1,\ldots,e_{i-1},x_i,e_{i+1},\ldots,e_n). Die Elemente verschiedener solcher Untergruppen kommutieren, und jedes Element lässt sich eindeutig als Produkt x=\prod g_i' darstellen.

Beispiel: \mathbb Z_2\times\mathbb Z_3 hat die sechs Elemente (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2); addiert wird komponentenweise. Jede endliche abelsche Gruppe ist entweder zyklisch oder isomorph zu einem direkten Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. Diese Faktoren sind bis auf ihre Reihenfolge eindeutig bestimmt.

Unendliche Produkte und direkte Summen

Für eine unendliche Familie \{G_i\mid i\in I\} ist das direkte Produkt \prod_{i\in I}G_i das gesamte kartesische Produkt mit

(x_i)_{i\in I}\odot(y_i)_{i\in I}:=(x_i*_iy_i)_{i\in I}.

Die direkte Summe ist im Allgemeinen eine echte Untergruppe davon. Sie enthält genau die Tupel, die nur an endlich vielen Stellen vom neutralen Element abweichen. Gleichwertig ist: Für (x_i)_{i\in I} ist J=\{i\in I\mid x_i\ne e_i\} endlich. Ebenso liegt jedes Element der direkten Summe im Kern aller bis auf endlich viele kanonische Projektionen \pi_i. Bei nur endlich vielen nichttrivialen Faktoren stimmen direkte Summe und direktes Produkt überein.

Für Ringe werden Addition und Multiplikation ebenfalls komponentenweise definiert. Das Ergebnis ist wieder ein Ring, aber kein Integritätsring mehr, weil es Nullteiler enthält; auch hier unterscheiden sich bei unendlich vielen Faktoren Produkt und Summe.

Für Vektorräume über demselben Körper K oder R-Moduln über demselben kommutativen Ring R mit Eins verwendet man komponentenweise Addition und Skalarmultiplikation beziehungsweise Multiplikation mit Ringelementen. Der entstehende Vektorraum heißt Produktraum. Bei endlich vielen Faktoren gilt \prod_{i=1}^{n}V_i=\bigoplus_{i=1}^{n}V_i. Bei unendlich vielen enthält die Summe nur Tupel mit endlich vielen von null verschiedenen Komponenten. So ist \prod_{i=1}^{\infty}\mathbb Q der überabzählbare Raum aller rationalen Zahlenfolgen, während \bigoplus_{i=1}^{\infty}\mathbb Q nur die abzählbaren abbrechenden rationalen Zahlenfolgen enthält.

Produkte topologischer Räume

Auch für topologische Räume \{X_i\mid i\in I\} beginnt man mit dem kartesischen Produkt \prod_{i\in I}X_i, muss aber zusätzlich eine Topologie festlegen. Für endlich viele Räume X_1,\ldots,X_n ist die Produkttopologie die kleinste Topologie, welche alle offenen Quader

\mathcal B=\{U_1\times\ldots\times U_n\mid U_i\text{ offen in }X_i\}

enthält. Diese Menge \mathcal B bildet eine Basis der Produkttopologie. Wählt man auf \mathbb R die gewöhnliche, von offenen Intervallen erzeugte Topologie, so ist die dadurch auf \mathbb R^n entstehende Produkttopologie genau die gewöhnliche Topologie des euklidischen Raumes \mathbb R^n.