Direkte Summe

Grundidee und Notation

Die direkte Summe ist eine mathematische Konstruktion, mit der mehrere Vektorräume, abelsche Gruppen oder Moduln zu einem neuen Objekt zusammengefasst werden. Man unterscheidet die äußere (externe) und die innere (interne) direkte Summe. Beide werden mit dem Verknüpfungszeichen ⊕ geschrieben, dem eingekreisten Pluszeichen (Unicode U+2295; für einen mehrstelligen Operator U+2A01).

Bei endlich vielen Vektorräumen stimmen äußere direkte Summe und direktes Produkt überein. Die Unterscheidung wird erst bei einer unendlichen Indexmenge wichtig. Für endlich viele Summanden gilt außerdem: Die Dimension der direkten Summe ist gleich der Summe der Dimensionen der Summanden.

Äußere direkte Summe

Sei K ein Körper und (Vᵢ)ᵢ∈I eine Familie von K-Vektorräumen. Die äußere direkte Summe ist definiert durch

⊕ᵢ∈I Vᵢ := { (vᵢ)ᵢ∈I ∈ ∏ᵢ∈I Vᵢ | vᵢ = 0 für fast alle i ∈ I }.

Sie besteht also aus den Tupeln des direkten Produkts, bei denen höchstens endlich viele Einträge vom jeweiligen Nullelement verschieden sind. „Für fast alle“ bedeutet hier, dass nur endlich viele Vektoren vᵢ nicht null sein dürfen. Die äußere direkte Summe ist der Standardvertreter des in der Kategorientheorie nur bis auf Isomorphie bestimmten Koprodukts von abelschen Gruppen oder Moduln und damit auch von Vektorräumen.

Für zwei Vektorräume lautet die Definition beispielsweise:

V₁ ⊕ V₂ = { (v₁,v₂) | v₁ ∈ V₁, v₂ ∈ V₂ } = V₁ × V₂.

Die direkte Summe ist damit ein Vektorraum, dessen Elemente Tupel sind und dessen Addition sowie Skalarmultiplikation komponentenweise erfolgen.

Innere direkte Summe

Seien (Uᵢ)ᵢ∈I Untervektorräume eines Vektorraums V. V heißt innere direkte Summe dieser Untervektorräume, wenn jeder Vektor v ∈ V auf genau eine Weise als Summe von Vektoren aus den Uᵢ dargestellt werden kann. Dabei dürfen nur endlich viele Summanden von null verschieden sein, und aus jedem Untervektorraum wird höchstens ein Vektor ausgewählt:

V = ⊕ᵢ∈I Uᵢ.

Im endlichen Fall schreibt man V = U₁ ⊕ … ⊕ Uₙ. Die Eindeutigkeit der Darstellung ist der entscheidende Unterschied zu einer gewöhnlichen Summe von Untervektorräumen. Eine Summe V = ∑ᵢ∈I Uᵢ ist genau dann direkt, wenn für jedes j ∈ I gilt:

Uⱼ ∩ ∑ᵢ∈I{j} Uᵢ = {0}.

Das bedeutet: Jeder Untervektorraum hat mit der Summe aller übrigen Untervektorräume nur den Nullvektor gemeinsam.

Im Spezialfall U₁ ⊕ U₂ = V heißen U₁ und U₂ zueinander komplementär. Es gilt genau dann

U₁ ⊕ U₂ = V ⇔ (U₁ + U₂ = V) ∧ (U₁ ∩ U₂ = {0}).

Ein Untervektorraum U₁ ⊆ V heißt direkter Summand von V, wenn es einen komplementären Untervektorraum U₂ gibt, sodass U₁ ⊕ U₂ = V gilt.

Zusammenhang zwischen äußerer und innerer Summe

Eine äußere Summe von Unterräumen kann immer gebildet werden; eine gewöhnliche innere Summe von Unterräumen ist dagegen meist nicht direkt, weil die eindeutige Darstellung fehlen kann.

Der Zusammenhang lässt sich über Einbettungen herstellen. Für jedes j ∈ I wird Vⱼ in die äußere direkte Summe ⊕ᵢ Vᵢ abgebildet, indem ein Element x ∈ Vⱼ an der j-ten Stelle steht und an allen anderen Stellen der Nullvektor:

fⱼ(x) = (vᵢ)ᵢ∈I mit vⱼ = x und vᵢ = 0 für i ≠ j.

Die Bilder dieser Einbettungen bilden in der äußeren direkten Summe eine innere direkte Summe. Daher ist die innere direkte Summe der eingebetteten Räume isomorph zur äußeren direkten Summe.

Direkte Summe von Darstellungen

Seien (ρ₁,Vρ₁) und (ρ₂,Vρ₂) Darstellungen der Gruppen G₁ beziehungsweise G₂. Ihre direkte Summe ist die Darstellung

ρ₁ ⊕ ρ₂ : G₁ × G₂ → GL(Vρ₁ ⊕ Vρ₂),

definiert durch

(ρ₁ ⊕ ρ₂)(s₁,s₂)(v₁,v₂) = (ρ₁(s₁)v₁, ρ₂(s₂)v₂).

Die beiden Darstellungen wirken also jeweils auf ihrer eigenen Komponente. Dadurch entsteht wieder eine lineare Darstellung. Sind ρ₁ und ρ₂ Darstellungen derselben Gruppe G, fasst man G als diagonale Untergruppe von G × G auf und schreibt ebenfalls ρ₁ ⊕ ρ₂ als Darstellung von G.

Ein Beispiel verwendet

ρ₁ : ℤ/2ℤ → GL₂(ℂ), ρ₁(1̄) = ((0, −i),(i, 0)),

sowie

ρ₂ : ℤ/3ℤ → GL₃(ℂ), ρ₂(1̄) = ((1, 0, e^(2πi/3)), (0, e^(2πi/3), 0), (0, 0, e^(4πi/3))).

Dann ist ρ₁ ⊕ ρ₂ eine lineare Darstellung von ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ in ℂ² ⊕ ℂ³ = ℂ⁵. Für k ∈ ℤ/2ℤ und l ∈ ℤ/3ℤ lautet sie als Blockmatrix:

(ρ₁ ⊕ ρ₂)(k,l) = ((ρ₁(k), 0),(0, ρ₂(l))).

Für das Paar (1̄,1̄) ergibt sich die 5×5-Matrix

((0, −i, 0, 0, 0), (i, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, e^(2πi/3)), (0, 0, 0, e^(2πi/3), 0), (0, 0, 0, 0, e^(4πi/3))).