Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
Coulombsches Gesetz
Das coulombsche Gesetz oder Coulomb-Gesetz ist die Basis der Elektrostatik. Es beschreibt die zwischen zwei Punktladungen wirkende Kraft. Es gilt auch für …
Inhalt5 Abschnitte
Grundprinzip und Coulomb-Kraft
Das coulombsche Gesetz ist eine Grundlage der Elektrostatik. Es beschreibt die Kraft zwischen zwei Punktladungen sowie zwischen räumlich getrennten, kugelsymmetrisch verteilten Ladungen. Der Betrag der Kraft ist proportional zum Produkt der Ladungsmengen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands. Die Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Ladungsmittelpunkte.
Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab, Ladungen mit unterschiedlichen Vorzeichen ziehen sich an. Im Internationalen Einheitensystem und im Vakuum lautet die skalare Formel:
F = (1/(4π ε₀)) · (q₁ q₂/r²).
Dabei sind q₁ und q₂ die Ladungsmengen, r der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten und ε₀ die elektrische Feldkonstante. Die Kraft nimmt daher bei wachsendem Abstand quadratisch ab. Bei mehr als zwei Ladungen werden die einzelnen Kräfte nach dem Superpositionsprinzip addiert. Das Gesetz bildet außerdem eine Grundlage der elektrischen Influenz.
Vektorform, elektrisches Feld und Superposition
Für eine Probeladung q₁ im Feld einer Ladung q₂ kann die Coulomb-Kraft als Vektor geschrieben werden:
F⃗₁₂(r⃗₁) = (q₁q₂/(4π ε₀)) · e⃗₁₂/|r⃗₁ − r⃗₂|².
F⃗₁₂ ist die Kraft auf q₁, r⃗₁ und r⃗₂ sind die Ortsvektoren der beiden Ladungsmittelpunkte. Der Einheitsvektor e⃗₁₂ zeigt von q₂ entlang der Verbindungslinie in Richtung q₁. Bei gleichnamigen Ladungen zeigt die Kraft in dieselbe Richtung wie dieser Einheitsvektor, bei ungleichnamigen Ladungen in die entgegengesetzte Richtung.
Mit e⃗₁₂ = (r⃗₁ − r⃗₂)/|r⃗₁ − r⃗₂| erhält man auch:
F⃗₁₂(r⃗₁) = (q₁q₂/(4π ε₀)) · (r⃗₁ − r⃗₂)/|r⃗₁ − r⃗₂|³.
Liegt der Ursprung bei q₂, vereinfacht sich die Formel zu F⃗₁₂(r⃗₁) = q₁ · [q₂/(4π ε₀|r⃗₁|³)] r⃗₁. Das elektrische Feld der Zentralladung q₂ ist dann E⃗(r⃗) = [q₂/(4π ε₀r³)] r⃗.
Für mehrere diskrete Ladungen qⱼ ergibt sich die Gesamtkraft durch Vektoraddition:
F⃗₁(r⃗₁) = q₁(1/(4π ε₀)) Σⱼ₍>₁₎ qⱼ (r⃗₁ − r⃗ⱼ)/|r⃗₁ − r⃗ⱼ|³.
Bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung mit Ladungsdichte ρ(r⃗′) wird die Summe durch ein Volumenintegral ersetzt:
F⃗₁(r⃗) = q₁(1/(4π ε₀)) ∫ ρ(r⃗′) [(r⃗ − r⃗′)/|r⃗ − r⃗′|³] d³r⃗′.
Die Formel für eine Punktladung ist ein Spezialfall dieser allgemeineren Beschreibung.
Coulomb-Konstante und CGS-Systeme
Der Faktor k_C = 1/(4π ε₀) = (1/(4π)) μ₀c² wird Coulomb-Konstante genannt. Im SI beträgt ihr Wert 8.9875517862(14) · 10⁹ N·m²·C⁻², ungefähr 10⁻⁷ c² N·A⁻². Die relative Unsicherheit beträgt 1.5 · 10⁻¹⁰. Dabei steht μ₀ für die magnetische Feldkonstante und c für die Lichtgeschwindigkeit. Da μ₀ fast genau 4π · 10⁻⁷ N/A² beträgt, ist k_C fast genau 10⁻⁷c² N/A²; die relative Abweichung von μ₀ beträgt etwa 2 · 10⁻¹⁰. Bis zur Neudefinition der SI-Einheiten im Jahr 2019 galt dieser Wert exakt.
In Gaußschen Einheiten und anderen CGS-Einheiten wird das coulombsche Gesetz zur Definition der elektrischen Ladung verwendet: Eine Ladungseinheit übt auf eine zweite Ladung im Abstand von 1 cm die Kraft 1 dyn aus. Im CGS-ESU gilt μ₀ = 4π/c² und damit k_C = 1. Im CGS-EMU gilt μ₀ = 4π und damit k_C = c².
Coulomb-Potential und elektrische Energie
Solange sich das Magnetfeld nicht zeitlich ändert, ist das elektrische Feld wirbelfrei. Deshalb hängt die Energiedifferenz beim Transport einer Ladung von Punkt A zu Punkt B nicht vom konkret zurückgelegten Weg ab. Das elektrische Feld und die elektrische Kraft können dann durch ein Potential beschrieben werden.
Für eine einzelne Punktladung Q lautet das Coulomb-Potential:
Φ(r⃗) = −∫ E⃗ · ds⃗ = (1/(4π ε₀)) · Q/|r⃗| + C.
C ist eine beliebige Integrationskonstante und wird typischerweise gleich null gesetzt, sodass das Potential im Unendlichen verschwindet. Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten ist der Spannungsabfall U. Das Coulomb-Potential gilt exakt nur für ruhende Ladungen. Bei bewegten Punktladungen treten zusätzlich Magnetfelder auf; dann wird das Coulomb-Potential durch das Liénard-Wiechert-Potential ersetzt.
Die potentielle elektrische Energie einer Ladung q im Feld von Q ist:
W_pot(r⃗) = −∫ F⃗ · ds⃗ = −q∫ E⃗ · ds⃗ = qΦ(r⃗) = (1/(4π ε₀)) · qQ/|r⃗| + C.
Auch hier wird die Randbedingung meist so gewählt, dass die potentielle Energie im Unendlichen null ist, also C = 0.
Coulomb-Kraft in einem Medium
Das coulombsche Gesetz lässt sich auf Ladungen in homogenen, isotropen und linearen Medien erweitern. Das umgebende Material muss dafür näherungsweise elektrisch neutral sein, den Raum zwischen und um die Ladungen gleichmäßig ausfüllen, eine richtungsunabhängige Polarisierbarkeit besitzen und eine Polarisierung zeigen, die proportional zum erzeugten elektrischen Feld ist. Wegen der Homogenität wird der atomare Charakter der Materie im Vergleich zum Abstand der Ladungen vernachlässigt.
Unter diesen Voraussetzungen bleibt die Formel erhalten, aber ε₀ wird durch die Permittivität ε = ε₀ εᵣ ersetzt:
F = (1/(4π ε)) · (q₁q₂/r²).
εᵣ ist die relative Permittivität. Bei isotropen Medien ist sie eine Materialkonstante, die die Polarisierbarkeit des Mediums berücksichtigt. Sie kann durch Messungen oder theoretische Überlegungen bestimmt werden. Im Vakuum gilt εᵣ = 1.
