Bohr-sommerfeldsches Atommodell

Kernidee und Bedeutung

Das bohr-sommerfeldsche Atommodell, auch sommerfeldsches Atommodell oder Sommerfeld-Erweiterung genannt, ist eine physikalische Beschreibung angenommener Elektronenbahnen im Atom. Arnold Sommerfeld schlug es 1915/16 als Verfeinerung des bohrschen Atommodells von 1913 vor. Es gehört zu den älteren Quantentheorien vor der modernen Quantenmechanik und wurde 1925/26 durch ein quantenmechanisches Modell ersetzt, das nicht mehr von bestimmten Elektronenbahnen ausgeht.

Das Modell nimmt an, dass Elektronen den Atomkern auf wohldefinierten Bahnen umlaufen. Diese Bahnen ergeben sich zunächst aus der klassischen Mechanik, ähnlich wie Planetenbahnen. Zusätzlich werden Quantisierungsbedingungen eingeführt. Dadurch sind nicht alle klassisch möglichen Bahnen erlaubt, sondern nur bestimmte ausgewählte Bahnen. Auch Erhaltungsgrößen wie Energie und Drehimpuls können nicht beliebige, sondern nur diskrete Werte annehmen; sie sind also gequantelt.

Wichtig war das Modell, weil es gegenüber dem bohrschen Modell mehrere Verbesserungen brachte: Es konnte die Feinstruktur des Wasserstoffspektrums berechenbar machen, lieferte drei räumliche Quantenzahlen mit ihren Wertebereichen und ermöglichte erstmals eine wenigstens qualitative physikalische Erklärung des Periodensystems. Außerdem erklärte es die Richtungsquantelung: Nicht nur der Betrag des Drehimpulses ist gequantelt, sondern auch seine Komponente entlang einer gewählten z-Achse.

Bahnen und Grenzen des Modells

Im bohrschen Modell sind die möglichen Elektronenbahnen Kreise. Sommerfeld führte zusätzlich Ellipsenbahnen ein. Dabei befindet sich der Atomkern in einem der beiden Brennpunkte der Ellipse, wie bei Planetenbahnen nach den keplerschen Gesetzen. Das Elektron soll sich auf diesen Bahnen stabil bewegen, ohne elektromagnetische Wellen abzustrahlen, obwohl die klassische elektromagnetische Theorie eine solche Abstrahlung erwarten würde.

Die Analogie zu einem Planetensystem liegt nahe, weil die Coulombkraft des Atomkerns und die Gravitation der Sonne beide die Form F ∼ 1/r² haben. Das bohr-sommerfeldsche Modell kann daher als keplersches Planetensystem im Kleinen verstanden werden.

Wenn die spezielle Relativitätstheorie berücksichtigt wird, sind die Bahnen nicht mehr exakt elliptisch. Sie haben näherungsweise die Form einer Ellipse, deren Hauptachse sich langsam dreht; dies wird als Periheldrehung beschrieben.

Trotz seiner Anschaulichkeit versagt das Modell, wie schon das bohrsche Modell, bei Berechnungen der Elektronenbewegung in Atomen mit mehr als einem Elektron. Ab 1925 zeigte die Quantenmechanik, dass die Grundannahme definierter klassischer Teilchenbahnen falsch ist. In der Quantenmechanik gibt es, etwa wegen der heisenbergschen Unschärferelation, keine genau festgelegten Elektronenbahnen mehr, sondern nur Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Quantisierungsbedingung

Eine Kreisbahn kann durch einen Radius beschrieben werden, eine Ellipse benötigt dagegen zwei Parameter, zum Beispiel große und kleine Halbachse. Deshalb braucht man für Ellipsenbahnen zwei Quantenzahlen zur Festlegung der Form und eine dritte für die Orientierung der Bahnebene im Raum.

Sommerfeld verallgemeinerte Bohrs Quantisierung. Jede Koordinate q muss eine eigene Quantenbedingung erfüllen:

∮ p dq = nh.

Dabei ist ∮ ein Phasenintegral, q eine Koordinate, p der zugehörige kanonische Impuls, n = 1, 2, … eine natürliche Zahl und h die Planck-Konstante. Das Phasenintegral ist ein Kurvenintegral, das die Fläche innerhalb der Bahn in der pq-Ebene angibt. In der Mechanik heißt diese Größe die Wirkung der Bewegung.

Im eindimensionalen Fall kann q die x-Koordinate und p der gewöhnliche Impuls sein. Dann ergibt sich aus der Bedingung zum Beispiel die Quantisierung des harmonischen Oszillators mit Energiestufen hf. Bei Bewegung in zwei oder drei Dimensionen kann q auch ein Drehwinkel α sein; der kanonisch zugehörige Impuls ist dann der Drehimpuls l. Für einen vollen Umlauf gilt:

∮ p dq = ∫₂π l dα = 2πl.

Daraus folgt wie bei Bohr die Drehimpulsquantisierung l = nh/2π.

Drei räumliche Quantenzahlen

Sommerfeld beschreibt das System in Kugelkoordinaten, also mit dem Abstand r und zwei Winkeln. Jede dieser Koordinaten unterliegt der Quantisierungsbedingung. Daraus entstehen drei Quantenzahlen: die radiale Quantenzahl nr, die azimutale Quantenzahl l und die magnetische Quantenzahl ml.

Die Hauptquantenzahl n bestimmt wie im bohrschen Modell und in den Rydberg-Formeln die Energie. Sie ergibt sich im Modell als n = nr + l beziehungsweise genauer als n = nr + l + 1.

Die azimutale Quantenzahl l heißt Nebenquantenzahl. Sie gibt den Bahndrehimpuls lℏ an, wobei ℏ die Planck-Konstante h geteilt durch 2π ist. Bei gegebenem n kann l im bohr-sommerfeldschen Modell die Werte l = 1, 2, …, n annehmen. Der größte Drehimpuls l = n gehört zur bohrschen Kreisbahn. Der Wert l = 0 wurde in diesem Modell ausgeschlossen, weil das Elektron dann auf einer Geraden hin und her schwingen würde, die durch den Kern geht.

Die spätere Quantenmechanik korrigierte diesen Wertebereich: Der Drehimpuls ist um genau eine Einheit ℏ geringer, und der richtige Wertebereich ist l = 0, 1, …, n−1. Zu l = 0 gehört in der Quantenmechanik keine lineare Bahn, sondern ein kugelsymmetrisches Orbital.

Richtungsquantelung und Spin

Die magnetische Quantenzahl ml bestimmt die Orientierung der Bahnebene gegenüber der z-Achse. Genauer gibt sie die Projektion des Drehimpulses l auf die z-Achse an. Für den Neigungswinkel α gilt:

ml = l · cos α beziehungsweise cos α = ml/l.

Ihr Wertebereich ist ml = −l, −(l−1), …, (l−1), l. Insgesamt gibt es also 2l + 1 verschiedene Werte. Damit sagt das Modell die Richtungsquantelung voraus: Der Drehimpuls kann nicht beliebige Richtungen einnehmen, sondern nur bestimmte Einstellungen relativ zur z-Achse.

Ein Elektron, das sich um den Atomkern bewegt, bildet einen magnetischen Dipol μ. Dessen Richtung steht senkrecht auf der Bahnellipse und ist parallel zum Bahndrehimpuls l. Befindet sich das Atom in einem äußeren Magnetfeld Bext, das die z-Achse festlegt, hängt die Energie des Dipols vom Einstellwinkel ab. Wegen der Richtungsquantelung spaltet sich die Energie je nach ml in 2l + 1 Werte auf. Dies beschreibt den Zeeman-Effekt.

Zusätzlich zu den drei räumlichen Quantenzahlen gibt es für jedes Elektron die magnetische Spinquantenzahl ms. Sie beschreibt die zwei Einstellmöglichkeiten des Eigendrehimpulses, also des Spins, und hat die Werte +½ oder −½, auch ↑ oder ↓. Diese Quantenzahl stammt nicht aus Sommerfelds Quantisierungsbedingungen, sondern wurde später ergänzt, um experimentelle Befunde wie die geradzahlige Aufspaltung im Stern-Gerlach-Versuch und den anomalen Zeeman-Effekt zu beschreiben.

Feinstruktur und Pauli-Verbot

Ein wichtiger Erfolg des bohr-sommerfeldschen Atommodells war die Berechnung der Feinstruktur des Wasserstoffspektrums. Damit sind kleine Aufspaltungen der Energien gemeint, die im bohrschen Modell noch nicht berechnet wurden. Sommerfeld erklärte sie, indem er die spezielle Relativitätstheorie in die Bewegungsgleichung einbezog. Die Feinstruktur wird mit der Erhöhung der trägen Masse bei steigender Geschwindigkeit begründet.

Bei gleicher Hauptquantenzahl n ist dieser relativistische Effekt umso stärker, je näher das Elektron im Perihel am Kern vorbeifliegt. Das entspricht einer größeren numerischen Exzentrizität der Ellipse und einem kleineren Bahndrehimpuls. Daher haben Bahnen mit gleicher Hauptquantenzahl, aber unterschiedlichem Bahndrehimpuls, nicht mehr exakt dasselbe Energieniveau.

Aus dem Modell ergibt sich außerdem, dass es zu jeder Hauptquantenzahl n mehrere Bahnen in bestimmter Anzahl gibt. Diese Anzahl wurde später als Anzahl der Atomorbitale zur n-ten Schale erkannt und ist wichtig für die Erklärung des Periodensystems.

Auf dieser Ordnung des Atomaufbaus aufbauend konnte Wolfgang Pauli 1925 das Pauli-Verbot formulieren: Jede Bahn, die durch die drei räumlichen Quantenzahlen bestimmt ist, kann maximal zwei Elektronen aufnehmen. Diese beiden Elektronen müssen entgegengesetzte Spinquantenzahlen haben.