Feinstruktur (Physik)

Begriff und Bedeutung

Feinstruktur bezeichnet die Zusammensetzung einer Spektrallinie aus mehreren unterscheidbaren Linien oder eines Energieniveaus aus mehreren unterscheidbaren Energiewerten. Bei geringer spektraler Auflösung oder in einer theoretischen Näherungsrechnung sind diese Bestandteile noch nicht zu erkennen.

Eine Spektrallinie entsteht durch den Übergang zwischen zwei Energieniveaus; ihre Lage im Spektrum entspricht der Energiedifferenz zwischen diesen Niveaus. Energieniveaus, die in einer Näherung einheitlich erscheinen, können sich bei genauerer Messung oder Modellbildung als Multiplett zeigen. Ein Multiplett ist eine Gruppe mehrerer Niveaus mit eng benachbarten Energien. Die Aufspaltung solcher Linien oder Niveaus wird Feinstrukturaufspaltung genannt.

Der Begriff wird vor allem für die Energieniveaus einzelner Elektronen in Atomen und Festkörpern verwendet, kommt aber analog auch in anderen Bereichen vor. In den optischen Linienspektren der Atome beträgt die Feinstrukturaufspaltung etwa 1/1000 bis 1/100.000 der typischen Wellenlänge oder Übergangsenergie. Bei Röntgenstrahlen wächst sie für die inneren Elektronen schwerer Elemente bis etwa 1/10.

Noch genauere Messungen zeigen weitere, kleinere Aufspaltungen. Die 1924 entdeckte Hyperfeinstruktur entsteht durch die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Kernmomenten. Die 1947 entdeckte Lamb-Verschiebung wird durch quantenelektrodynamische Vakuumpolarisation verursacht.

Physikalische Ursachen und Korrekturterme

Bei geringer Auflösung lassen sich Energieniveaus häufig mit dem Bohrschen Atommodell oder mit der nichtrelativistischen Quantenmechanik ohne Spin beschreiben. Eine relativistisch korrekte Berechnung mit der quantenmechanischen Dirac-Gleichung zeigt jedoch, dass diese Niveaus verschoben und teilweise aufgespalten werden. Die wichtigsten Ursachen sind die nach der Relativitätstheorie veränderte Kinematik und die Spin-Bahn-Kopplung. Bei der Spin-Bahn-Kopplung wechselwirken der Elektronenspin und das damit verbundene anomale magnetische Moment mit der Bahnbewegung.

Zur getrennten Beschreibung der Beiträge wird die Dirac-Gleichung durch eine Reihenentwicklung angenähert. Dadurch erhält man Korrekturterme zum nichtrelativistischen Hamiltonoperator H₀. Ohne die konstante Ruheenergie mₑc² des Elektrons lautet der Hamiltonoperator in erster Ordnung, unter Vernachlässigung höherer Beiträge:

H = H₀ + W_M + W_SB + W_D.

Die einzelnen Terme sind:

• W_M = −p⁴/(8mₑ³c²): relativistische Korrektur der kinetischen Energie.
• W_SB = (1/(2mₑ²c²)) s·ℓ (1/r)(dV/dr): Spin-Bahn-Kopplung.
• W_D = (ℏ²/(8mₑ²c²)) ΔV: Darwin-Term als Korrektur der potentiellen Energie; Δ ist der Laplace-Operator.

Die gesamte Energieverschiebung, die als Feinstruktur bezeichnet wird, ergibt sich aus

ΔE = E_M + E_SB + E_D.

Feinstruktur des Wasserstoffatoms

Beim Wasserstoffatom und allgemein bei jedem Atom mit nur einem Elektron lassen sich relativistische Effekte, Spin-Bahn-Wechselwirkung und Darwin-Term zu einer gemeinsamen Korrekturformel für die Energieniveaus zusammenfassen:

ΔE_FS = E_n [ (Z²α²/n) (1/(j + 1/2) − 3/(4n)) ].

Dabei ist E_n = −E_R Z²/n² die Energie eines Niveaus im Wasserstoffatom ohne Feinstruktur. E_R bezeichnet die Rydberg-Energie mit E_R ≈ 13,6 eV. Z ist die Kernladungszahl, n die Hauptquantenzahl, α die Feinstrukturkonstante und j der Gesamtdrehimpuls.

Die Formel bewirkt für jedes mögliche n und j eine Absenkung der Energie. Sie stimmt mit der Sommerfeldschen Feinstrukturformel überein. Diese wurde bereits Jahre vor der Entdeckung des Spins und der Dirac-Formel im Rahmen der halbklassischen Vorstellungen des Bohr-Sommerfeldschen Atommodells entwickelt.