Banach-Tarski-Paradoxon – einfach erklärt

Kernaussage

Das Banach-Tarski-Paradoxon, auch Satz von Banach und Tarski, ist ein mathematischer Satz über Punktmengen im Raum. Er besagt anschaulich: Eine Kugel kann in endlich viele Teile zerlegt werden, aus denen sich zwei lückenlose Kugeln zusammensetzen lassen, die jeweils denselben Durchmesser haben wie die ursprüngliche Kugel. Das wirkt paradox, weil sich das Volumen scheinbar verdoppelt, ohne dass neues Material hinzukommt.

Der Satz zeigt nicht, dass man eine physische Kugel wirklich so zerschneiden kann. Er zeigt vielmehr eine Grenze des anschaulichen Volumenbegriffs: Im mathematischen Modell des Raumes als Punktmenge gibt es Teilmengen, für die kein sinnvoller üblicher Volumenwert definiert werden kann. Das Paradoxon stammt von Stefan Banach (1892-1945) und Alfred Tarski (1901-1983), die 1924 einen Existenzbeweis gaben und zeigten, dass bei einer Kugel eine Zerlegung in nur sechs Teile genügt. Ein konstruktiver Beweis als praktische Handlungsanweisung zum tatsächlichen Zerschneiden ist dagegen unmöglich.

Volumen und nicht messbare Mengen

Die Erklärung des Paradoxons liegt darin, dass die entstehenden Kugelteile extrem kompliziert sind. Ihr Volumen ist nicht in einem geeigneten Sinn definierbar. Genauer ist es unmöglich, auf der Menge aller Teilmengen des dreidimensionalen Raumes \mathbb{R}^3 einen bewegungsinvarianten Inhalt zu definieren, der Kugeln ein Volumen zuordnet, das weder null noch unendlich ist.

Ein Inhalt ist eine Funktion, die jeder Menge aus einem bestimmten Bereich eine nicht-negative reelle Zahl oder unendlich zuordnet; diese Zahl heißt Volumen. Wichtig ist dabei die Additivität: Das Volumen der Vereinigung zweier disjunkter, also sich nicht überschneidender Mengen, soll gleich der Summe ihrer Volumina sein. Bewegungsinvariant bedeutet, dass sich das Volumen bei Drehungen, Verschiebungen und Spiegelungen nicht ändert.

Jeder mathematische Volumenbegriff, der bewegungsinvariant und additiv sein soll, muss daher eingeschränkt werden. Man definiert Volumen etwa nur für Mengen in der Borelschen σ-Algebra oder für Lebesgue-messbare Mengen. Die im Banach-Tarski-Satz verwendeten Teile gehören nicht dazu. Sie werden als sehr filigran, porös oder staubwolkenartig beschrieben. Für die Existenz solcher nicht messbarer Teilmengen im d-dimensionalen reellen Raum \mathbb{R}^d braucht man das Auswahlaxiom oder schwächere Formen davon, die nicht aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre herleitbar sind. Messbare Punktmengen verhalten sich dagegen hinsichtlich ihres Volumens additiv.

Allgemeine Form des Satzes

In allgemeiner Form gilt der Satz nicht nur für die Verdopplung einer Kugel. In Räumen mit drei oder mehr Dimensionen können sich Ausgangs- und Endkörper durch einen beliebigen Volumenfaktor unterscheiden und, bis auf gewisse Einschränkungen, auch verschiedene Gestalten haben.

Die allgemeine Formulierung lautet: Sei d \geq 3 eine ganze Zahl und seien X,Y \subset \mathbb{R}^d beschränkte Mengen mit nicht-leerem Inneren. Dann gibt es eine natürliche Zahl n, eine disjunkte Zerlegung X_1,\dots,X_n von X und zugehörige Bewegungen \beta_1,\dots,\beta_n, sodass Y die disjunkte Vereinigung der Mengen \beta_1(X_1),\dots,\beta_n(X_n) ist.

Eine Bewegung ist dabei eine geometrische Transformation wie Drehung, Verschiebung oder Spiegelung, die Abstände erhält. Der Satz sagt also: Unter den Bedingungen d \geq 3, Beschränktheit und nicht-leerem Inneren kann man eine Menge in endlich viele Teile zerlegen und diese durch Bewegungen zu einer anderen Menge zusammensetzen.

Idee des Beweises

Der Kern des Beweises beruht auf Gruppentheorie. Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung, bei der mehrere Bedingungen gelten: Die Verknüpfung zweier Elemente liegt wieder in der Gruppe, die Verknüpfung ist assoziativ, es gibt ein neutrales Element, und zu jedem Element gibt es ein inverses Element. Drehungen bilden eine nicht-kommutative Gruppe, weil die Reihenfolge von Drehungen im Allgemeinen eine Rolle spielt.

Wichtig ist die freie Gruppe F_2 mit den Erzeugern a und b. Ihre Elemente sind Wörter über dem Alphabet E:=\{a,a^{-1},b,b^{-1}\}, bei denen keine Inversen direkt nebeneinander stehen. Die Verknüpfung ist das Aneinanderhängen von Wörtern, wobei benachbarte Invers-Paare entfernt werden. Das leere Wort e ist das neutrale Element. Jedes Element von F_2 hat eine eindeutige Darstellung als gekürztes Wort.

Die freie Gruppe besitzt eine paradoxe Zerlegung. Man betrachtet die Mengen S(a), S(a^{-1}), S(b) und S(b^{-1}), also die Wörter, die links mit dem jeweiligen Symbol beginnen. Dann gilt die disjunkte Zerlegung F_2=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1}). Zugleich gelten F_2=aS(a^{-1})\cup S(a) und F_2=bS(b^{-1})\cup S(b). Diese Eigenschaft ist wesentlich für die spätere Verdopplung.

Für den geometrischen Teil braucht man Drehungen, die sich wie F_2 verhalten. Drehungen um rationale Vielfache von \pi sind ungeeignet, weil sie nur endliche Gruppen erzeugen können. Bei einem irrationalen Winkel, zum Beispiel \theta=\arccos(1/3), kann man eine Drehung a um die x-Achse und eine Drehung b um die y-Achse wählen; die dadurch erzeugte Gruppe ist isomorph zu F_2. Mithilfe des Auswahlaxioms wählt man aus jeder Bahn dieser Drehgruppe auf der Einheitssphäre S^2 einen Repräsentanten. Daraus werden Mengen A_1 bis A_4 gebildet, die fast die ganze Sphäre zerlegen und durch Drehungen so angeordnet werden können, dass daraus zwei Kopien entstehen. Verbindet man anschließend jeden Punkt der Sphäre durch einen Strahl mit dem Ursprung der Einheitskugel, erhält man eine entsprechende Zerlegung der Kugel bis auf den Ursprung.

Technische Ergänzungen

Für einen vollständigen Beweis müssen Fixpunkte von Drehungen beachtet werden. Die Bahn eines Punktes entspricht nur dann genau der Struktur des Cayley-Graphen, wenn die Gruppenoperation keine Fixpunkte hat, also wenn gm\neq m für alle g\in F_2 gilt. Bei Rotationen auf S^2 ist das fast erfüllt, aber jede Drehung hat zwei Pole als Fixpunkte.

Da die verwendete Drehgruppe H abzählbar ist und jedes g\in H genau zwei Fixpunkte hat, sind nur abzählbar viele Punkte betroffen. Es lässt sich zeigen: Wenn S^2\setminus D für eine abzählbare Menge D eine paradoxe Zerlegung besitzt, dann besitzt auch S^2 eine solche Zerlegung. Dieser Zusammenhang wird als Hausdorff-Paradoxon erwähnt.

Niedrige Dimensionen und Auswahlaxiom

Auf der Geraden und in der Ebene gilt der Satz nicht. Dort gibt es bewegungsinvariante Inhalte auf der Menge aller Teilmengen, die Linien ihre üblichen Längen und Kreisen ihre üblichen Flächeninhalte zuordnen. Diese Inhalte sind aber in der Mathematik nur begrenzt nützlich, weil sie nicht eindeutig durch die Längen von Linien oder Flächeninhalte von Kreisen festgelegt sind und keine Maße sind. Ein Maß verlangt insbesondere, dass die Vereinigung abzählbar vieler disjunkter Mengen den Summenwert der einzelnen Maße hat. Diese Eigenschaft wird häufig benötigt, weshalb man auch in einer und zwei Dimensionen meist nur bestimmte Teilmengen betrachtet, dafür aber Maße erhält. Die Nicht-Existenz eines bewegungsinvarianten Maßes auf allen Teilmengen der Geraden oder Ebene folgt unter Verwendung des Auswahlaxioms aus dem Satz von Vitali und der Existenz von Vitali-Mengen.

1990 zeigte Miklós Laczkovich einen ähnlichen Satz für manche Flächen, allerdings ohne paradoxe Volumenänderung. Zwei gleich große Flächen mit hinreichend glattem Rand sind zerlegungsgleich. In diesem Sinn ist eine Quadratur des Kreises möglich, jedoch nicht mit Zirkel und Lineal. Laczkovich schätzte die Zahl der für eine konstruktive Lösung nötigen Teile auf etwa 10^{50}, wobei die Größen der größeren Teilstücke nicht eindeutig festgelegt wurden.

Ohne eine Form des Auswahlaxioms lässt sich das Banach-Tarski-Theorem nicht beweisen. Robert M. Solovay zeigte 1970 unter der Voraussetzung einer unerreichbaren Kardinalzahl, dass es ein Modell der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre gibt, in dem alle Mengen Lebesgue-messbar sind. In diesem Modell kann sogar eine abgeschwächte Form des Auswahlaxioms gelten, das Axiom der abhängigen Auswahl (DC), das für viele Beweise der elementaren Analysis genügt. Außerdem kann erreicht werden, dass jede Teilmenge der reellen Zahlen die Baire-Eigenschaft besitzt und jede überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen eine nichtleere perfekte Teilmenge enthält; beide Aussagen widersprechen dem allgemeinen Auswahlaxiom.