Automorphismus

Grundidee und Definition

Ein Automorphismus ist in der Mathematik ein Isomorphismus eines mathematischen Objekts auf sich selbst. Das bedeutet: Ein Objekt wird so auf sich selbst abgebildet, dass seine wesentliche Struktur vollständig erhalten bleibt und die Abbildung umkehrbar ist. Automorphismen beschreiben damit die inneren Symmetrien eines mathematischen Objekts.

Ein anschauliches Beispiel ist ein gleichseitiges Dreieck. Es besitzt drei Symmetrieachsen und eine dreizählige Drehsymmetrie. Jede Spiegelung an einer Symmetrieachse ist eine Symmetrieabbildung. Führt man zwei Spiegelungen nacheinander aus, kann daraus eine Drehung um 120° entstehen. Führt man dieselbe Spiegelung zweimal aus, erhält man die identische Abbildung, also die Abbildung, die nichts verändert. Deshalb gehört auch die identische Abbildung zu den Symmetrien. Die Gesamtheit aller Symmetrieabbildungen bildet mit der Hintereinanderausführung eine Gruppe, die Symmetriegruppe.

Allgemeiner betrachtet man oft mathematische Objekte, die aus einer Grundmenge G und einer Zusatzstruktur S bestehen. Eine Bijektion f: G → G heißt dann Automorphismus von (G,S), wenn sie die Struktur erhält, also S = S_f gilt. Diese Sichtweise passt zu vielen Objekten, etwa Graphen, topologischen Räumen oder algebraischen Strukturen wie Vektorräumen.

In der Kategorientheorie wird ein Automorphismus abstrakter definiert. Ist X ein Objekt, dann heißt ein Morphismus f: X → X ein Automorphismus, wenn es einen Morphismus g: X → X gibt mit f ∘ g = id_X und g ∘ f = id_X. Ein Automorphismus ist also genau ein Isomorphismus, dessen Quelle und Ziel gleich sind, oder ein invertierbarer Endomorphismus.

Automorphismen in algebraischen Strukturen

In der Algebra besteht eine algebraische Struktur aus einer Menge A zusammen mit Verknüpfungen f_i: A^{d_i} → A. Beispiele sind Gruppen (A,), Ringe (A,(+,)) oder Vektorräume über einem Körper K.

Ein Automorphismus φ: A → A ist eine bijektive Abbildung der Menge A auf sich selbst, die zugleich ein Homomorphismus ist. Das heißt, sie ist mit allen Verknüpfungen der Struktur verträglich. Für jedes i ∈ I und alle a_1,...,a_{d_i} ∈ A gilt:

φ(f_i(a_1,...,a_{d_i})) = f_i(φ(a_1),...,φ(a_{d_i})).

Die Umkehrfunktion φ^{-1}: A → A ist dann ebenfalls ein Homomorphismus. Dadurch bleibt nicht nur die Menge erhalten, sondern auch die Art, wie ihre Elemente durch die gegebenen Verknüpfungen zusammenhängen.

Automorphismengruppe

Wenn die Automorphismen eines Objekts X eine Menge bilden, bilden sie mit der Verkettung als Verknüpfung eine Gruppe. Diese Gruppe heißt Automorphismengruppe und wird mit Aut(X) bezeichnet. Die Gruppenstruktur entsteht, weil die Hintereinanderausführung zweier Automorphismen wieder ein Automorphismus ist, weil es eine identische Abbildung gibt und weil jeder Automorphismus ein Inverses besitzt.

Ist G eine Gruppe, nennt man einen Homomorphismus G → Aut(X) eine Gruppenoperation von G auf X. Damit beschreibt man, wie die Elemente einer Gruppe als Automorphismen auf ein Objekt wirken.

Auch Funktoren übertragen Automorphismen. Ist F: C → D ein kovarianter Funktor und X ein Objekt von C, dann induziert F einen Gruppenhomomorphismus Aut(X) → Aut(F(X)). Für kontravariante Funktoren muss man zusätzlich mit der Inversion f ↦ f^{-1} verketten. Ist also eine Gruppenoperation von G auf X gegeben, erhält man auf diesem Weg eine Operation von G auf F(X).

Graphen und Vektorräume

Bei einem Graphen G = (V,E) mit Knotenmenge V und Kantenmenge E ist ein Automorphismus eine bijektive Abbildung φ: V → V, die Nachbarschaften erhält. Genau gilt für alle v_1,v_2 ∈ V:

{v_1,v_2} ∈ E ⇔ {φ(v_1),φ(v_2)} ∈ E.

Ein Automorphismus eines Graphen induziert auch einen Automorphismus des Komplementgraphen. Der Satz von Frucht besagt, dass zu jeder Gruppe Γ ein Graph G existiert, sodass Aut(G) isomorph zu Γ ist.

Ein Beispiel ist der Graph mit V = {1,2,3,4} und E = {{1,2},{3,4}}. Eine Permutation der Knoten ist genau dann ein Automorphismus, wenn nach der Umbenennung wieder derselbe Graph entsteht. Die Permutation (1 2 3 4 / 4 3 1 2) ist ein Automorphismus, weil die Kanten weiterhin zwischen 1 und 2 sowie zwischen 3 und 4 liegen. Die Permutation (1 2 3 4 / 1 3 2 4) ist kein Automorphismus, weil daraus die Kanten {1,3} und {2,4} entstehen. Die Automorphismengruppe dieses Graphen ist isomorph zur Diedergruppe der Ordnung 8; sein Komplement ist ein 4-Zyklus.

Bei Vektorräumen ist ein Automorphismus eine bijektive lineare Abbildung V → V. Für endlichdimensionale Vektorräume sind dies genau die linearen Abbildungen, deren Abbildungsmatrix bezüglich einer beliebigen Basis regulär ist. Die Automorphismengruppe eines Vektorraums wird häufig als GL(V) notiert.

Gruppen, innere Automorphismen und Beispiele

Ein Automorphismus einer Gruppe (G,∘) ist ein bijektiver Gruppenhomomorphismus der Gruppe auf sich selbst. Das bedeutet: Für eine bijektive Abbildung φ: G → G gilt φ(g ∘ h) = φ(g) ∘ φ(h) für alle g,h ∈ G.

Automorphismen erhalten strukturelle Eigenschaften von Gruppenelementen. Insbesondere bleibt die Ordnung eines Elements erhalten: ord(φ(g)) = ord(g) für alle g ∈ G. Außerdem induziert jeder Automorphismus einen Automorphismus des Zentrums und bildet Erzeugendensysteme auf Erzeugendensysteme ab.

Eine wichtige spezielle Art sind innere Automorphismen. Ist h ∈ G fest, dann ist i_h: G → G mit i_h(g) = hgh^{-1} ein Automorphismus von G; dies heißt Konjugation mit h. Automorphismen dieser Form heißen innere Automorphismen. Automorphismen, die nicht so entstehen, heißen äußere Automorphismen. Die Menge Inn(G) aller inneren Automorphismen ist nach dem Homomorphiesatz isomorph zu G/Z(G) und ist ein Normalteiler in Aut(G). Die Faktorgruppe Aut(G)/Inn(G) wird mit Out(G) bezeichnet und heißt Gruppe der äußeren Automorphismen.

Für abelsche Gruppen sind alle inneren Homomorphismen trivial, und es gilt Aut(G) = Out(G). Beispiele: Die Abbildung g ↦ g^{-1} ist genau dann ein Homomorphismus und damit ein Automorphismus, wenn G abelsch ist. Die Gruppe Z besitzt genau einen nichttrivialen Automorphismus, nämlich x ↦ -x. Die Automorphismengruppe der kleinschen Vierergruppe ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S_3. Die Automorphismengruppe von (Q,+) ist Q^* durch Multiplikation. Der Automorphismus A ↦ (A^T)^{-1} von GL_n(R) ist kein innerer Automorphismus, weil seine Einschränkung auf das Zentrum, die Untergruppe der Skalarmatrizen, nicht trivial ist. Untergruppen, die invariant unter allen Automorphismen sind, heißen charakteristische Untergruppen.

Körper, Algebren und Funktionentheorie

Ein Automorphismus eines Körpers K ist eine bijektive Abbildung φ: K → K, die Addition und Multiplikation erhält: φ(x+y) = φ(x)+φ(y) und φ(xy) = φ(x)φ(y) für alle x,y ∈ K. Ist L/K eine Körpererweiterung, dann heißen diejenigen Automorphismen φ von L, die φ(x)=x für alle x ∈ K erfüllen, K-Automorphismen von L. Sie bilden eine Gruppe, notiert Aut_K(L) oder Aut(L/K). Ein Automorphismus von L ist genau dann ein K-Automorphismus, wenn er eine K-lineare Abbildung ist.

Typische Beispiele sind die komplexe Konjugation a+bi ↦ a-bi für a,b ∈ R als R-Automorphismus von C und die Abbildung a+b√2 ↦ a-b√2 für a,b ∈ Q als einziger nichttrivialer Automorphismus von Q[√2]. Die Körper Q und R besitzen keine nichttrivialen Automorphismen und heißen deshalb starr. Ist K ein endlicher oder allgemeiner perfekter Körper der Charakteristik p>0, dann ist x ↦ x^p ein Automorphismus von K, der Frobeniusautomorphismus.

Ist L ein Körper und G ⊆ Aut(L), dann ist K = {x ∈ L | ∀ φ ∈ G: φ(x)=x} ein Unterkörper von L, der Fixkörper von G. Ist G eine endliche Untergruppe, so ist L/K eine Galoiserweiterung vom Grad [L:K] = |G|. Die Galoistheorie beschreibt weitere Zusammenhänge zwischen Körpererweiterungen und Automorphismengruppen.

Für Algebren kann man wie bei Gruppen innere Automorphismen als Konjugation mit einer Einheit definieren. Innere Automorphismen sind trivial auf dem Zentrum. Der Satz von Skolem-Noether besagt, dass für eine halbeinfache Algebra auch die Umkehrung gilt.

In der Funktionentheorie sind die Morphismen holomorphe Funktionen, und Automorphismen sind konforme Selbstabbildungen. Für die offene Einheitskreisscheibe E ist die Automorphismengruppe gegeben durch Aut(E) = {φ: E → E | φ(z)=λ (z-a)/(āz-1): λ ∈ ∂E, a ∈ E}.