Primorial

Grundidee

Das Primorial, auch Primfakultät genannt, ist in der Zahlentheorie das Produkt aller Primzahlen, die eine bestimmte Zahl nicht überschreiten. Es ist eng mit der Fakultät verwandt, verwendet aber nur Primzahlen als Faktoren. Meist wird es im Deutschen einfach als „Produkt der Primzahlen kleiner gleich n“ beschrieben.

Primzahlen sind natürliche Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Das Primorial fasst also die Primzahlen bis zu einer Grenze in einem einzigen Produkt zusammen.

Definition und Schreibweise

Für eine natürliche Zahl n ist die Primfakultät n# definiert als das Produkt aller Primzahlen p mit p ≤ n:

n# = ∏ p, wobei p prim und p ≤ n ist.

Eine zweite gebräuchliche Schreibweise ist pk#, wenn pk die k-te Primzahl ist:

pk# = ∏ von i = 1 bis k pi.

Beide Definitionen sind mathematisch unterscheidbar und in sich konsistent. Der Funktionsname allein unterscheidet sie aber nicht eindeutig. Beispiel: 7# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210 und p4# = 7# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210, weil 7 die vierte Primzahl ist.

Manchmal wird das Primorial nur für den Fall definiert, dass n selbst eine Primzahl ist; für nicht-prime n bleibt es dann undefiniert. Die Primfakultät ist dagegen auch für nicht-prime n sinnvoll: Sie hat dann denselben Wert wie bei der nächstkleineren Primzahl. Für n ≤ 1 liegt ein leeres Produkt vor; der Wert beträgt dann 1. Im praktischen Gebrauch werden Primorial und Primfakultät meist synonym verwendet.

Berechnung

Um 7# zu berechnen, bestimmt man zuerst alle Primzahlen kleiner gleich 7. Das sind 2, 3, 5 und 7. Ihr Produkt ist:

7# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210.

Für 9 gibt es nach der strengeren Auffassung kein Primorial, weil 9 keine Primzahl ist. Die Primfakultät kann man aber berechnen. Da zwischen 7 und 11 keine weitere Primzahl liegt, bleibt der Wert gleich:

7# = 8# = 9# = 10# = 210.

Wichtige Eigenschaften

Wenn p und q zwei benachbarte Primzahlen sind, dann gilt für jede natürliche Zahl n mit p ≤ n < q:

n# = p#.

Das bedeutet: Zwischen zwei benachbarten Primzahlen ändert sich der Wert der Primfakultät nicht.

Für das Primorial gilt die Abschätzung:

n# ≤ 4^n.

Außerdem gilt der Grenzwert:

lim(n → ∞) ⁿ√(n#) = e.

Für n < 10^11 sind die Werte kleiner als e. Für größere n überschreiten die Werte die Schranke e und oszillieren später unendlich oft um e.

Ist pk die k-te Primzahl, dann hat pk# genau 2^k Teiler. Zum Beispiel hat 2# zwei Teiler, 3# vier Teiler, 5# acht Teiler und 97# bereits 2^25 Teiler, weil 97 die 25. Primzahl ist.

Die Summe der Kehrwerte der Primfakultät konvergiert gegen die Konstante:

1/2 + 1/6 + 1/30 + 1/210 + … = 0,7052301717918…

Die Engel-Entwicklung dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen. Außerdem verwendet der Satz von Euklid den Ausdruck p# + 1 beim Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Werte bis 100

Die Funktionswerte zeigen, dass n# immer nur dann wächst, wenn n eine neue Primzahl erreicht. Einige wichtige Werte sind:

2# = 2 3# = 6 5# = 30 7# = 210 11# = 2.310 13# = 30.030 17# = 510.510 19# = 9.699.690 23# = 223.092.870 29# = 6.469.693.230 31# = 200.560.490.130 47# = 614.889.782.588.491.410 97# = 2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070

Für Bereiche ohne neue Primzahl bleibt der Wert gleich. So gilt zum Beispiel 7# = 8# = 9# = 10# = 210. In der Tabelle wird außerdem dieselbe Folge als pk# angegeben: Für k = 1 ist p1 = 2 und p1# = 2; für k = 25 ist p25 = 97 und p25# = 2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070.