5-Zell

Grundform und Aufbau

Das 5-Zell ist eines der sechs konvexen regulären vierdimensionalen Polytope. Es ist damit das vierdimensionale Analogon eines platonischen Körpers. Seine Begrenzungen heißen Zellen und sind fünf regelmäßige Tetraeder. Das 5-Zell besitzt 5 Ecken, 10 Kanten, 10 gleichseitige Dreiecksflächen und 5 Zellen.

Sein Schläfli-Symbol lautet \{3,3,3\}. Es bedeutet: Das Polytop ist aus Tetraedern \{3,3\} aufgebaut, und an jeder Kante grenzen drei Tetraeder aneinander. Die Eckfigur, also die Gestalt, die beim Abschneiden einer Ecke entsteht, ist ebenfalls ein Tetraeder \{3,3\}; daher treffen an jeder Ecke vier Tetraeder zusammen. An jeder Dreiecksfläche liegen zwei Tetraeder. Das duale Polytop ist ein 5-Zell in anderer Lage, also ist das 5-Zell selbstdual.

Warum eine explizite Konstruktion nötig ist

Für dreidimensionale Polyeder gilt der Eulersche Polyedersatz e-k+f=2, wobei e Ecken, k Kanten und f Flächen bezeichnet. Die vierdimensionale Fassung lautet e-k+f-z=0, wobei z die Zahl der Zellen ist. Weil diese Gleichung homogen ist, liefert sie für ein 4-Polytop nur Zahlenverhältnisse, nicht die absoluten Zahlen. Beim 5-Zell gilt e:k:f:z=1:2:2:1. Seine Existenz muss deshalb ausdrücklich konstruiert werden.

Eine Konstruktion ist eine Hyperpyramide über einem regulären Tetraeder. Ihre Ecken haben die Koordinaten

• \frac14(-1,\pm\sqrt5,\pm\sqrt5,\pm\sqrt5)^\top, mit einer geraden Anzahl von Minuszeichen in den letzten drei Koordinaten: 4 Punkte;
• (1,0,0,0)^\top: 1 Punkt.

Die ersten vier Punkte bilden in der Hyperebene x_1=-\frac14 das Basistetraeder, der letzte Punkt ist die Spitze. Alle Ecken liegen auf einer 3-Sphäre mit Radius 1; die Kantenlänge beträgt 5^{1/2}2^{-1/2}. Jede Auswahl von vier der fünf Ecken ergibt eine Zelle, jede Auswahl von drei eine Fläche und jede Auswahl von zwei eine Kante. Entlang der Diagonale zwischen Spitze und Mittelpunkt der Basis liegen die Ecken in Schichten mit 1 und 4 Ecken; die Zellen bilden entsprechend Schichten aus 4 und 1 Tetraedern.

Projektionen, Koordinatenlagen und Helix

Zur Darstellung eines 4-Polytops werden oft Projektionen in drei oder zwei Dimensionen verwendet. Bei regulären 4-Polytopen richten reguläre Koordinatenstellungen die Koordinatenachsen entlang von Hauptstrahlen zu Ecken-, Kanten-, Flächen- oder Zellmittelpunkten aus. Das 5-Zell hat dafür nicht die nötigen Symmetrien: Seine Hauptstrahlen zu einer Ecke und zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Zelle fallen zusammen; ebenso die Strahlen zu Kanten- und Flächenmittelpunkten. Die Begriffe ecken-, kanten-, flächen- und zellenzentriert beziehen sich beim 5-Zell daher auf ein gewähltes Projektions- oder Schnittbezugssystem.

Eine besonders symmetrische Konstruktion nutzt ein Petrie-Polygon und dessen Coxeter-Ebene. Ein Petrie-Polygon eines 4-Polytops ist ein räumliches Polygon, bei dem drei aufeinanderfolgende, aber keine vier Kanten zu einem Petrie-Polygon einer Zelle gehören. Für n=0,1,\ldots,4 lauten Coxeters Koordinaten \mathbf{x}_n=(a\cos n\xi_1,a\sin n\xi_1,a\cos n\xi_2,a\sin n\xi_2)^\top, mit \xi_1=2\pi/5=72^\circ, \xi_2=4\pi/5=144^\circ und a=1/\sqrt2. Auch diese Ecken liegen auf einer 3-Sphäre mit Radius 1.

In der Projektion auf die x_1x_2-Ebene erscheinen die fünf Ecken als regelmäßiges Fünfeck; ein weiteres Petrie-Polygon erscheint als Pentagramm \{5/2\}. Je vier aufeinanderfolgende Punkte bestimmen ein Tetraeder. Bei zyklischer Fortsetzung der Indizes entsteht aus fünf über Flächen verbundenen Tetraedern eine Boerdijk-Coxeter-Helix, die das 5-Zell vollständig ausfüllt.

Schnitte und Netze

Ein Schnitt mit einer dreidimensionalen Hyperebene macht die Geometrie des 5-Zells sichtbar. Die Schnittform hängt vom Abstand des Mittelpunktes zur Hyperebene und von der Koordinatenstellung ab.

In ecken- und zellenzentrierter Stellung entsteht ein sich vergrößerndes und danach wieder verschwindendes Tetraeder. Es ist der Schnitt der vier Tetraeder um eine Ecke und entspricht damit der Eckfigur. In kanten- und flächenzentrierter Stellung erscheint zunächst kurz die Ausgangskante. Danach entsteht ein Prisma mit gleichseitigen Dreiecken als Grund- und Deckfläche: Die Dreiecke wachsen, während seine Höhe abnimmt. Zum Schluss ist kurz die der Ausgangskante gegenüberliegende Dreiecksfläche sichtbar.

Ein Netz oder eine Auffaltung entsteht, indem ein 4-Polytop an geeigneten Flächen aufgeschnitten und die weiterhin über Flächen verbundenen Polyeder in dieselbe dreidimensionale Hyperebene gedreht werden. Das 5-Zell besitzt drei inkongruente, also nicht deckungsgleiche, Netze. Eines besteht aus einem Tetraeder, auf dessen vier Flächen jeweils ein weiteres Tetraeder sitzt. Ein anderes Netz ist eine Boerdijk-Coxeter-Helix aus fünf Tetraedern. Alle Netze des 5-Zells sind nicht überlappend.

Symmetrie und geometrische Größen

Die Symmetriegruppe des 5-Zells heißt [3,3,3] oder A_4 und hat die Gruppenordnung 120. Es gibt somit 120 vierdimensionale Kongruenzabbildungen, die das 5-Zell auf sich selbst abbilden: 60 Drehungen und 60 Drehspiegelungen. Die Drehungen bilden die Untergruppe [3,3,3]^+.

Ein charakteristisches Simplex ist ein Tetraeder aus einer Ecke O_0, dem Mittelpunkt O_1 einer anliegenden Kante, dem Mittelpunkt O_2 einer anliegenden Fläche und dem Mittelpunkt O_3 einer anliegenden Zelle. Es ist ein Fundamentalbereich der Symmetriegruppe: Durch deren 120 Operationen wird das ganze 5-Zell aus solchen Simplexen aufgebaut. Jede seiner Tetraederzellen besteht aus 24 charakteristischen Simplizes. Die drei zu p=q=r=3 gehörenden Diederwinkel betragen jeweils \pi/3=60^\circ; die anderen drei Diederwinkel sind rechte Winkel.

Mit \eta=\frac12\operatorname{arcsec}4\approx37^\circ45'40{,}5'' gelten \phi=\psi=\frac12\pi-\eta\approx52^\circ14'19{,}5'', \chi=2\eta\approx75^\circ31'21{,}0'' und der Diederwinkel zwischen angrenzenden Zellen \pi-2\psi\approx75^\circ31'21{,}0''. Für die halbe Kantenlänge l ist der Umkugelradius R_0=l/\sin\phi und R_0/l=2^{3/2}5^{-1/2}. Außerdem sind R_1/l=3^{1/2}5^{-1/2}, R_2/l=2\cdot15^{-1/2}, R_3/l=10^{-1/2}, S/(2l)^3=\frac5{12}\cdot2^{1/2} und C/(2l)^4=\frac1{96}\cdot5^{1/2}. Dabei ist S die Summe der dreidimensionalen Zellvolumina und C das vierdimensionale Volumen.

Einbeschriebene 5-Zellen

In das 5-Zell lässt sich keines der anderen regulären 4-Polytope einbeschreiben. Umgekehrt lässt sich das 5-Zell in ein 120-Zell einbeschreiben. Dabei können mehrere 5-Zellen zugleich die Ecken des größeren Polytops abdecken oder mehrfach überdecken; es entsteht dann ein regulär zusammengesetztes 4-Polytop mit sich kreuzenden 5-Zellen.

Ein Beispiel ist \{5,3,3\}\,[120\{3,3,3\}]\,\{3,3,5\}: In ein 120-Zell \{5,3,3\} können 120 sich kreuzende 5-Zellen eingeschrieben werden; ihre Zellen liegen in den Hyperebenen eines 600-Zells \{3,3,5\}. Das 5-Zell kommt bei drei regulär zusammengesetzten 4-Polytopen als einbeschriebenes Polytop vor.