Hyperpyramide

Begriff und Grundidee

Eine Hyperpyramide ist eine Verallgemeinerung des dreidimensionalen Pyramidenbegriffs auf n Dimensionen. Sie besteht aus einer Basis und einer Pyramidenspitze. Die Basis liegt in einer Hyperebene, also einem flachen Teilraum mit einer Dimension weniger als der gesamte Raum. Die Pyramidenspitze liegt außerhalb dieser Hyperebene. Die Verbindung der Pyramidenspitze mit allen Eckpunkten der Basis erzeugt die Hyperpyramide.

Bei einer gewöhnlichen dreidimensionalen Pyramide ist die Basis ein zweidimensionales Polygon in einer Ebene. Seine Eckpunkte werden mit einem Punkt im dreidimensionalen Raum verbunden. Bei einer n-dimensionalen Hyperpyramide wird das Polygon durch ein (n-1)-Polytop ersetzt. Ein Polytop ist ein geometrischer Körper mit endlich vielen Ecken, Kanten und höherdimensionalen Begrenzungsflächen. Dieses (n-1)-Polytop liegt in einer (n-1)-dimensionalen Hyperebene. Seine Eckpunkte werden mit einem Punkt im n-dimensionalen Raum außerhalb der Hyperebene verbunden.

Der Abstand der Pyramidenspitze von der Basis beziehungsweise von der Hyperebene, in der die Basis eingebettet ist, heißt Höhe. Damit entspricht die Höhe der bekannten Bedeutung bei einer gewöhnlichen Pyramide.

Dimensionen und Volumenformel

Die Hyperpyramide verallgemeinert bekannte Figuren und Körper auf unterschiedliche Dimensionen:

• Eine eindimensionale Hyperpyramide ist eine Strecke.
• Eine zweidimensionale Hyperpyramide ist ein Dreieck.
• Eine dreidimensionale Hyperpyramide ist die gewöhnliche Pyramide.
• Das 5-Zell ist eine vierdimensionale Hyperpyramide mit einem Tetraeder als Basis.

Das n-dimensionale Volumen einer n-dimensionalen Hyperpyramide wird mit der Formel Vₙ = A · h / n berechnet. Dabei bezeichnet Vₙ das n-dimensionale Volumen der Hyperpyramide, A das (n-1)-dimensionale Volumen ihrer Basis und h ihre Höhe. Die Basis besitzt also immer eine Dimension weniger als die Hyperpyramide selbst.

Für n = 2 ergibt die Formel die bekannte Formel für die Fläche eines Dreiecks. Für n = 3 ergibt sie die bekannte Formel für das Volumen einer gewöhnlichen Pyramide. Die Formel zeigt damit, dass das Prinzip der Pyramidenberechnung unabhängig von der konkreten Dimension erhalten bleibt: Basisvolumen und Höhe werden multipliziert und anschließend durch die Dimension n geteilt.

Vierdimensionale Beispiele

Zu den vierdimensionalen Beispielen gehören Hyperpyramiden mit unterschiedlichen dreidimensionalen Basen. Genannt werden:

• die Tetraeder-Pyramide, auch 5-Zell genannt,
• die Würfel-Pyramide,
• die Oktaeder-Pyramide,
• die Dodekaeder-Pyramide,
• die Ikosaeder-Pyramide.

Da vierdimensionale Körper nicht unmittelbar im dreidimensionalen Raum dargestellt werden können, werden Projektionen verwendet. Die Abbildungen der Beispiele sind als Schlegeldiagramme dargestellt. Bei dieser Darstellung wird die eigentlich extradimensionale Pyramidenspitze ins Zentrum platziert.

Zwischen den vierdimensionalen Hyperpyramiden bestehen außerdem Beziehungen durch Dualität. Analog zur Dualität von Würfel und Oktaeder sowie von Dodekaeder und Ikosaeder sind auch die entsprechenden Hyperpyramiden dual. Die Tetraeder-Pyramide bildet dabei eine Ausnahme: Sie ist selbst-dual, also zu sich selbst dual.