Über Kugel und Zylinder

Gegenstand und Kernaussage

„Über Kugel und Zylinder“ ist eine aus zwei Büchern bestehende Abhandlung von Archimedes aus seiner frühen Schaffenszeit. Darin bewies er erstmals, wie sich Oberfläche und Volumen einer Kugel bestimmen und mit den entsprechenden Größen eines Zylinders vergleichen lassen. Seine stereometrischen Methoden zur Untersuchung räumlicher Körper gelten als Vorläufer der modernen Integralrechnung.

Archimedes betrachtet eine Kugel mit Radius r und einen sie umschreibenden geraden Kreiszylinder. Die Grundfläche des Zylinders entspricht einem Großkreis der Kugel, also einem Kreis durch den Kugelmittelpunkt mit demselben Radius r. Die Zylinderhöhe ist gleich dem Kugeldurchmesser 2r. Für diesen Zylinder stehen sowohl die Oberflächen als auch die Volumina im Verhältnis

A_Kreiszylinder : A_Kugel = V_Kreiszylinder : V_Kugel = 3 : 2.

Die Kugel besitzt somit jeweils zwei Drittel der gesamten Oberfläche und des Volumens des umschreibenden Zylinders.

Grundlegende Sätze

Die zentrale Aussage folgt in Buch I als Korollar, also als unmittelbare Folgerung, aus den Propositionen 33 und 34.

Proposition 33 besagt: Die Oberfläche einer Kugel ist viermal so groß wie die Fläche eines größten Kugelkreises. Da ein solcher Großkreis die Fläche πr² hat, ergibt sich für die Kugeloberfläche A_K = 4πr².

Proposition 34 besagt: Das Volumen einer Kugel ist viermal so groß wie das Volumen eines Kreiskegels, dessen Grundfläche ein größter Kugelkreis und dessen Höhe der Kugelradius r ist. Das Volumen dieses Kegels beträgt 1/3 · πr² · r = 1/3 πr³. Daher folgt für die Kugel V_K = 4/3 πr³.

Zylinder und Kreiszahl

Für einen geraden Zylinder mit Radius r und Höhe h setzt sich die gesamte Oberfläche aus den beiden Kreisflächen und der Mantelfläche zusammen:

A_Z = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).

Sein Volumen ist das Produkt aus Grundfläche und Höhe:

V_Z = πr²h.

Beim umschreibenden Zylinder einer Kugel gilt h = 2r. Damit erhält man A_Z = 2πr² + 4πr² = 6πr² und V_Z = πr² · 2r = 2πr³. Der Vergleich mit A_K = 4πr² und V_K = 4/3 πr³ liefert in beiden Fällen das Verhältnis Zylinder zu Kugel von 3 : 2.

In „Die Kreismessung“, das Archimedes zwischen Buch I und Buch II von „Über Kugel und Zylinder“ schrieb, grenzte er die Kreiszahl π mithilfe eines einbeschriebenen und eines umschriebenen regelmäßigen 96-Ecks ein. Er bestimmte π als einen Wert zwischen 3 1/7 und 3 10/71 und damit erstmals auf zwei Kommastellen genau. Das 96-Eck entstand aus einem 12-Eck durch dreimalige Verdopplung der Eckenzahl.

Volumen der Kugel

Archimedes bewies, dass das Kugelvolumen zwei Drittel des Volumens des umschreibenden Zylinders beträgt. Für Radius r gilt daher

V_K = 4/3 πr³.

Sein geometrischer Beweis war komplex. Er schrieb eine Polygonhälfte in einen Halbkreis ein und ließ beide rotieren. Dadurch entstand innerhalb der Kugel eine Ansammlung von Kegelstümpfen, deren Volumen er bestimmte. Moderne Lehrbücher verwenden häufig eine vereinfachte Grenzwertberechnung; eine solche Rechnung stand Archimedes jedoch noch nicht zur Verfügung.

In seinem späteren Werk „Die Mechanische Methode“ erklärte Archimedes das Verhältnis der Volumina von Kugel, Kreiskegel und Zylinder außerdem mithilfe einer Analogie zum Hebelgesetz.

Eine weitere, manchmal als Satz des Archimedes bezeichnete Aussage lautet: Das Volumen einer Halbkugel ist gleich der Differenz zwischen dem Volumen des umgebenden Kreiszylinders und dem Volumen des darin enthaltenen Kreiskegels, wenn Zylinder und Kegel dieselbe Höhe und dieselbe Grundfläche besitzen.

Oberfläche der Kugel

Für den umschreibenden Zylinder mit Höhe h = 2r zeigte Archimedes, dass die gesamte Kugeloberfläche zwei Drittel der gesamten Zylinderoberfläche beträgt. Da A_Z = 6πr² ist, folgt A_K = 4πr². Anders ausgedrückt ist die Kugeloberfläche gleich der gesamten Zylinderoberfläche abzüglich der beiden kreisförmigen Kappen.

Die Kugeloberfläche entspricht außerdem genau der Mantelfläche eines Zylinders, dessen Grundfläche ein Großkreis der Kugel ist und dessen Höhe dem Kugeldurchmesser entspricht. Diese Mantelfläche beträgt

2πr · 2r = 4πr².

Damit zeigt sich zugleich erneut, dass die Kugeloberfläche viermal so groß ist wie die Fläche ihres Großkreises πr².

Zur Veranschaulichung werden eine Halbkugel und der sie umgebende Zylinder durch zwei sehr nahe beieinanderliegende horizontale Ebenen geschnitten. Ihr Abstand sei d, der Radius des Schnittkreises der oberen Ebene mit der Halbkugel sei x. Ein schmaler Streifen des Zylindermantels besitzt die Fläche d · 2πr. Der entsprechende Streifen auf der Halbkugel entsteht durch Drehung einer kurzen Strecke AB und besitzt näherungsweise die Fläche AB · 2πx.

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke △POP′ und △ABC folgt d/AB = x/r. Dies ist gleichbedeutend mit d · r = AB · x und daher mit

d · 2πr = AB · 2πx.

Beide schmalen Oberflächenstreifen sind somit gleich groß. Lässt man d verschwindend klein werden, nähern sich die Kugelbögen den verwendeten Strecken an. Durch Addition aller Elementarflächen erhält man gleich große Flächen für die Kugel beziehungsweise den passenden Zylindermantel.