Das Video kommt von YouTube: erst beim Abspielen verbindet sich die Seite mit YouTube (Google).
Ebenen in Parameterform / Parametergleichung aufstellen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 86 Zeilen
- in diesem Tutorial werden wir uns anschauen wie man Ebenen im Parameterform aufstellen kann bevor wir gleich die vier Situationen bzw vier
- Fälle betrachten macht es durchaus Sinn dass wir uns erst mal mit der parametergleichung bzw Parameterform ein bisschen anfreunden hier seht ihr die
- allgemeine Form einer parametergleichung die wir jetzt gleich auseinandernehmen werden und wir fangen natürlich von links nach rechts an also ganz links
- steht groß e das ist natürlich der Name dieser Ebene E dann folgt dieser Vektor x vector X ist der allgemeine Punkt oder ein allgemeiner Punkt in der Ebene und
- das ist einfach nur die Abkürzung für x1x2x3 also man will ja nicht ständig dieser hinschreiben deshalb ab mit Vektor x
- dann folgt der Vektor klein P der Vektor klein P ist das sogenannte stützvektor der Ebene welche Bedeutung erblich hat werden wir gleich sehen und dann gibt es
- noch die zwei Vektoren u und v das sind die sogenannten spannvektoren die Ebene weil sie die Ebene sozusagen aufspannen außerdem gibt es noch die zwei
- Buchstaben T und S hier das sind die sogenannten Parameter natürlich sind dieser Buchstaben nicht festgenagelt da kann alles Mögliche dafür rein und auf
- die Bedeutung dieser Parameter werde ich an dieser Stelle nicht weitergehen weil sie nicht von Bedeutung sind für diesen Tutorial allerdings wenn Bedarf ein
- Tutorial zu den Eigenschaften von Ebenen Parameter Form wo auch diese Parameter erklärt sind findet ihr ja am Ende dieses Videos im Abspann um eine Ebene
- Gleichung aufzustellen ist natürlich auch wichtig sich die Ebene bildlich vorzustellen und genau das werden wir jetzt anhand
- eine Planskizze also das kennen wir das ist die allgemeine Gleichung einer Parameterform oder eine Ebene Parameterform wenn man sich so eine
- Ebene im Raum vorstellen möchte da muss man dort anfangen wo alles anfängt in ein dreidimensionalen Raum und zwar im Koordinatenursprung hier
- unten links mit oder dargestellt über ganz Ohr steht für das englische Wort Origin und dann müssen wir uns in diesen dreidimensionalen Raum natürlich ein
- Punkt P vorstellen der verbindungsvektor zwischen o und P ist genau unser stützvektor klein P und das ist natürlich wie ihr sehen könnt
- oder kennen könnt ein Ortsvektor also ein verbindungsvektor zwischen Koordinatenursprung und irgendeinem Punkt in rau und auch wenn dieser
- kleinvektor P eigentlich ein Ortsvektor darstellt ist es trotzdem empfehlenswert sich den stützvektor immer als so eine Art Stützpunkt vorzustellen also als ein
- Punkt P was die Lage der Ebene in Raum festlegt also einfach so als in der Art Anker für die Ebene außerdem haben wir noch die zwei spannvektoren und V wie
- der Name schon sagt spannen sie sozusagen die Ebene auf also können wir uns die Ebene vereinfacht auch so vorstellen natürlich ist das nur eine
- abstrakte Darstellung eine Ebene ist im Wirklichkeit unendlich groß nachdem wir jetzt den Aufbau der parametergleichung angeschaut haben und
- uns dieser Gleichung auch bildlich vorstellen können seine Zeit mit dem ersten Fall oder erste Situation loszulegen das ist natürlich auch der
- Fall der am häufigsten bei dem Beispielaufgaben vertreten ist und zwar wenn drei Punkte gegeben sind damit ist das ganze nicht so trocken ist werden
- wir alle diese Fälle anhand vom Beispielaufgaben bearbeiten und das werde jetzt hier die passende Beispielaufgabe ich überfliege kurz die
- Aufgabenstellung gegeben sind die drei Punkte ab und C die nicht auf einer gerade liegen Stelle eine Ebenengleichung auf
- bevor wir jetzt mit Hilfe dieser drei Punkte eine Ebenengleichung aufstellen werden wir uns natürlich versuchen das Ganze bildlich vorzustellen also das
- sind drei Punkte in Raum A B und C die nicht auf einer Geraden liegen als erstes brauchen wir für unser Ebene einen stützvektor und da habt ihr die
- Qual der Wahl ihr könnt jeder dieser Punkte als stützvektor sozusagen wählen ich werde mich jetzt allerdings für Punkt A entscheiden deshalb wird jetzt
- auch mit rot hier an dieser Stelle so wie vorher markiert außerdem brauchen wir noch zwei spannvektoren an dieser Stelle müssen wir einfach die
- verbindungsvektoren einmal zwischen a und Bienen also dem Vektor a b und einmal zwischen a und c also der Vektor AC und damit hätten wir alles was wir
- brauchen um die Ebenengleichung aufzustellen und genau das machen wir jetzt auch schriftlich hier auf der linken Seite also ich fange so wie
- vorher an erstmal eben eh Vektor X ist gleich und als erstes brauchen wir einen spitzvektor dass der Ortsvektor zu a also kurz gesagt a - 00
- wir schreiben nur a als Vektor hin 2 - 3 und 1 dann nehmen wir irgendein Parameter zum Beispiel S und brauchen jetzt den ersten spannvektor da haben
- wir vorher gesagt wir nehmen na B also das bedeutet wir rechnen b-a minus 1 - 2 sind natürlich -3 dann 4-3 sind 7 und 2 - 1 ist 1 und zum Schluss noch unser
- zweiter spannvektor das wird dann der Vektor AC sein das bedeutet 10 - A 5 - 2 sind 3 2 - -3 sind 5 natürlich und -3 -1 ist -4 und das wäre dann die
- Ebenengleichung die zweite Situation entsteht wenn eine gerade und ein Punkt gegeben sind und auch hier eine kurze Aufgabenstellung
- gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A was nicht aufgelegt Stelle eine Ebenengleichung auf auch das versuchen wir uns erstmal bitte die vorzustellen
- hier ist die Gerade g als ein blaue Strich in der Landschaft und hier haben wir unser Punkt A vom Aufbau her müssen wir uns die gerade gehe ebenfalls
- vorstellen können also der erste Vektor zur Erinnerung ist wieder ein stützvektor für dieser Geraden das bezeichne ich jetzt als Punkt P und der
- Richtungsvektor der Geraden können wir uns auch hier auf der gerade mit Grün vorstellen als Richtungsvektor daraus möchten wir natürlich wieder eine
- Ebenengleichung aufstellen auch für die Ebene brauchen wir ein stützvektor und zwei spannvektoren naja bildlich hat man vielleicht ein bisschen Auswahl also man
- könnte entweder dem Punkt P als stützvektor nehmen oder den Punkt A aber im praktischen ist es besser wenn ihr immer diesen stützvektor der Geraden
- auch als stützvektor für die Ebene auswählt also wir starten P und den ersten Richtungsvektor für unser oder spannvektor für unser Ebene hätten wir
- schon durch diesen grünen Vektor u was wir noch brauchen ist ein zweiten spannvektor und ich denke mir dass jeder von euch erkennen kann dass nur der
- Vektor pa in diesem Fall Sinn machen würde also wir bilden an dieser Stelle diesen Vektor pa und damit hätten wir auch
- unser Ebene festgelegt und das mache ich jetzt natürlich auch rechnerisch auf der linken Seite also wir fangen wieder mit E Doppelpunkt Wechsel XS gleich wie
- bereits besprochen als stützvektor nehmen wir den stützvektor der Geraden dieser 1-2 und 0 also wir hatten als erstes dann 1 - 2 und 0 dann ebenfalls
- von der Geraden geklaut kommt auch noch der erste spannvektor also zwei fünf und 1 das wäre dieser grüne Vektor also 2 5 und 1 und zum Schluss müssen
- wir noch diesem Vektor pa bilden das bedeutet wir rechnen sozusagen a-p also nicht vergessen P ist hier dieser Vektor und dann können wir sie
- voneinander abziehen 2-1 ist natürlich 1 - 3 - -2 ist -1 und 1 - 0 ist ebenfalls 1 und damit hätten wir auch diese Ebenengleichung
- die dritte Situation entsteht wenn sich zwei Geraden schneiden und auch hier eine kurze Aufgabenstellung gegeben sind zwei Geraden g und h die sich schneiden
- Stelle eine ebenegleichung auf auch hier versuchen wir das ganze erstmal bildlich zu verstehen also wir haben hier zwei Geraden g&h die sich schneiden und
- natürlich werde das hier mit grau dargestellt deren Schnittpunkt vom Aufbau her müssen wir uns die geraden auch richtig vorstellen das heißt die
- Gerade g besitzt ein Stütz und ein Richtungsvektor hier mit Punkt P als Stützpunkt und Richtungsvektor u dargestellt und das gleiche hat auch
- Hitze weg davon habe ich jetzt als Kuh bezeichnet und Richtungsvektor von H als V aus diesen Überfluss an Informationen brauchen wir erstmal wieder ein Punkt
- mit dem wir einen stützvektor bilden und habt ihr die Qual der Wahl in erster Reihe könnte natürlich Essen nehmen also Schnittpunkt aber wenn ihr diesen
- Schnittpunkt noch nicht habt ist das nicht so empfehlenswert weil zur Erinnerung den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen bedeutet die gerade
- in gleichzusetzen und an kleines LGS zu lösen das Cloud zeigt stattdessen könnt ihr ein bisschen schlauer denken und eine dieser anderen zwei stützvektoren
- wählen also entweder P oder Q es ist völlig egal welche dieser beiden Vektoren ihr wählt und ich glaube die spannvektoren der Ebene sind eigentlich
- bildlich schon sehr gut erkennbar das sind natürlich die Richtungsvektoren der beiden Geraden o&v und dadurch hätten wir wieder schon unsere Ebene die ich
- jetzt aus schriftlich natürlich auf der linken Seite aufstellen werde also e Doppelpunkt Vektor x mal wieder als stützvektor entscheide ich mich
- jetzt für P also das ist der stützvektor der Geraden g entsprechend dann 1 - 2 und 0 und dann plus D mal unser erster Richtungsvektor
- das ist der Richtungsvektor der Geraden g also haben wir dann zwei fünf und 1 und dann plus s mal der Richtungsvektor von H das ist dann entsprechend 1 2 und
- -2 und das werde dann wieder die Ebenengleichung die letzte Situation entsteht wenn zwei Geraden parallel sind und auch hier eine kurze
- Aufgabenstellung gegeben sind zwei parallele Geraden g und h die nicht identisch sind Stelle eine Ebenengleichung auf auch diese zwei
- parallele geraten werden wir uns natürlich versuchen erstmal bitte vorzustellen nicht kompliziert also dass die Gerade g
- und h und natürlich auch hier der Aufbau mit Stütz und Richtungsvektor das heißt bei Geraden g wäre P unser Stützpunkt jetzt und der Richtungsvektor wäre
- dieser Vektor um und bei der Geraden h können wir uns den stützunterrichtungsvektor mit Q und erneut Vektor u vorstellen wieso erneut
- Vektor oh wenn ihr jetzt die Richtungsvektoren dieser beiden Geraden betrachtet weil die Geraden parallel sind sind diese Richtungsvektoren
- vielfache oder Koordinaten also wenn der eine 2-51 ist ist der andere minus vier zehn minus 2 also ihr merkt wenn ihr den ersten Richtungsvektor mal -2 nimmt dann
- kriegt ihr den zweite Richtung das heißt bildlich dass diese zwei Vektoren einfach in die gleiche Richtung zeigen so wie hier unten dargestellt
- okay für die Ebene brauchen wir wieder ein stützvektor in erster Reihe und da hat man wieder die Wahl man kann entweder sozusagen Punkt P oder Punkt Q
- als stützvektor oder Stützpunkt wählen ich habe mich jetzt für P entschieden also das ist der stützvektor oder OP werde die stützvektor der ersten geraten
- als erster spannvektor für unser Ebene können wir natürlich diesem Vektor u nehmen und ich beziehe mich jetzt wirklich auf den grünen
- und wir brauchen noch einen zweiten spannvektor Leben auch spannend und ich hoffe dass jeder auf die Idee kommt an dieser Stelle an diesem Vektor PQ zu
- bilden also bilden wir an dieser Stelle diesen Vektor BQ und damit können wir auch die Ebene aufspannen das ganze jetzt noch rechnerisch auf der linken
- Seite also Doppelpunkt Vektor x wir mitbekommen habt glauben wir eigentlich komplett die erste Geradengleichung mit stützunters
- Vektor das wäre dann unser P und Vektor u und das schreibe ich auch hier ab an dieser Stelle also 1 - 2 und 0 plus D mal
- und dann der erste Richtungsvektor 2-5 und 1 und dann müssen wir nur noch diesem Vektor Pack go bilden also puq das wäre so vereinfacht gesehen
- Punkt B oder der Ortsvektor zu P und das wäre der Ortsvektor zu Q wir rechnen jetzt einfach mal q-p1 minus 1 ist null drei minus minus 2
- sind entsprechend 5 und 5 - 0 sind wiederum 5 also das wäre dann die fertige Ebenengleichung zum Schluss noch ein paar Hinweise wenn
- ihr diese Ebenen vollständig verstehen wollt dann macht es durchaus Sinn dass ihr euch auch noch die Eigenschaften von Ebenen Parameterform anschaut könnt ihr
- auch die wirkliche Bedeutung dieser zwei Parameter verstehen außerdem gibt es natürlich auch noch Ebenen in andere Formen wie normale Form oder
- Koordinatenform deshalb ist es wichtig dass Sie auch die Umformungen oder Umwandlung von der einen anderen Form beherrscht einmal von Parameter in
- normalen und Koordinatenform aber natürlich auch die rückwärtssichtung von Koordinaten in normalen oder Parameter Form wenn Bedarf Tutorials zu alle diese
- Themen findet ihr gleich im Abspann und wenn euch dieses Video gefallen hat ein Like eine Dokumentar oder sogar ein Abo kostenlos und wenn es euch nicht
- gefallen hat dann könnt ihr meinen Kanal trotzdem abonnieren wer weiß vielleicht gefällt euch mein nächstes video
Zum Nachlesen
ParameterformEine Ebene wird durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren dargestellt. Jeder Punkt der Ebene wird dann in Abhängigkeit von zwei Parametern beschrieben.
LagebeziehungLagebeziehung · Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt; · die Gerade meidet die Ebene; · die Gerade ist in der Ebene enthalten.
SchnittgeradeEine Schnittgerade ist ein Begriff der Geometrie. Zwei Ebenen im dreidimensionalen euklidischen Raum, die nicht parallel zueinander sind, schneiden sich …
DreipunkteformDie Dreipunkteform oder Drei-Punkte-Form ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Ebenengleichung. In der Dreipunkteform wird eine Ebene im …