Ebenen in Parameterform / Parametergleichung aufstellen
Kochrezepte für Mathematik
https://www.youtube.com/watch?v=3oV8Cg3v1Ow

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem Tutorial werden wir uns anschauen wie man Ebenen im Parameterform aufstellen kann bevor wir gleich die vier Situationen bzw vier
0:09 Fälle betrachten macht es durchaus Sinn dass wir uns erst mal mit der parametergleichung bzw Parameterform ein bisschen anfreunden hier seht ihr die
0:19 allgemeine Form einer parametergleichung die wir jetzt gleich auseinandernehmen werden und wir fangen natürlich von links nach rechts an also ganz links
0:27 steht groß e das ist natürlich der Name dieser Ebene E dann folgt dieser Vektor x vector X ist der allgemeine Punkt oder ein allgemeiner Punkt in der Ebene und
0:38 das ist einfach nur die Abkürzung für x1x2x3 also man will ja nicht ständig dieser hinschreiben deshalb ab mit Vektor x
0:48 dann folgt der Vektor klein P der Vektor klein P ist das sogenannte stützvektor der Ebene welche Bedeutung erblich hat werden wir gleich sehen und dann gibt es
1:00 noch die zwei Vektoren u und v das sind die sogenannten spannvektoren die Ebene weil sie die Ebene sozusagen aufspannen außerdem gibt es noch die zwei
1:11 Buchstaben T und S hier das sind die sogenannten Parameter natürlich sind dieser Buchstaben nicht festgenagelt da kann alles Mögliche dafür rein und auf
1:21 die Bedeutung dieser Parameter werde ich an dieser Stelle nicht weitergehen weil sie nicht von Bedeutung sind für diesen Tutorial allerdings wenn Bedarf ein
1:31 Tutorial zu den Eigenschaften von Ebenen Parameter Form wo auch diese Parameter erklärt sind findet ihr ja am Ende dieses Videos im Abspann um eine Ebene
1:41 Gleichung aufzustellen ist natürlich auch wichtig sich die Ebene bildlich vorzustellen und genau das werden wir jetzt anhand
1:48 eine Planskizze also das kennen wir das ist die allgemeine Gleichung einer Parameterform oder eine Ebene Parameterform wenn man sich so eine
1:57 Ebene im Raum vorstellen möchte da muss man dort anfangen wo alles anfängt in ein dreidimensionalen Raum und zwar im Koordinatenursprung hier
2:07 unten links mit oder dargestellt über ganz Ohr steht für das englische Wort Origin und dann müssen wir uns in diesen dreidimensionalen Raum natürlich ein
2:16 Punkt P vorstellen der verbindungsvektor zwischen o und P ist genau unser stützvektor klein P und das ist natürlich wie ihr sehen könnt
2:27 oder kennen könnt ein Ortsvektor also ein verbindungsvektor zwischen Koordinatenursprung und irgendeinem Punkt in rau und auch wenn dieser
2:35 kleinvektor P eigentlich ein Ortsvektor darstellt ist es trotzdem empfehlenswert sich den stützvektor immer als so eine Art Stützpunkt vorzustellen also als ein
2:46 Punkt P was die Lage der Ebene in Raum festlegt also einfach so als in der Art Anker für die Ebene außerdem haben wir noch die zwei spannvektoren und V wie
2:58 der Name schon sagt spannen sie sozusagen die Ebene auf also können wir uns die Ebene vereinfacht auch so vorstellen natürlich ist das nur eine
3:08 abstrakte Darstellung eine Ebene ist im Wirklichkeit unendlich groß nachdem wir jetzt den Aufbau der parametergleichung angeschaut haben und
3:17 uns dieser Gleichung auch bildlich vorstellen können seine Zeit mit dem ersten Fall oder erste Situation loszulegen das ist natürlich auch der
3:26 Fall der am häufigsten bei dem Beispielaufgaben vertreten ist und zwar wenn drei Punkte gegeben sind damit ist das ganze nicht so trocken ist werden
3:36 wir alle diese Fälle anhand vom Beispielaufgaben bearbeiten und das werde jetzt hier die passende Beispielaufgabe ich überfliege kurz die
3:45 Aufgabenstellung gegeben sind die drei Punkte ab und C die nicht auf einer gerade liegen Stelle eine Ebenengleichung auf
3:55 bevor wir jetzt mit Hilfe dieser drei Punkte eine Ebenengleichung aufstellen werden wir uns natürlich versuchen das Ganze bildlich vorzustellen also das
4:03 sind drei Punkte in Raum A B und C die nicht auf einer Geraden liegen als erstes brauchen wir für unser Ebene einen stützvektor und da habt ihr die
4:13 Qual der Wahl ihr könnt jeder dieser Punkte als stützvektor sozusagen wählen ich werde mich jetzt allerdings für Punkt A entscheiden deshalb wird jetzt
4:21 auch mit rot hier an dieser Stelle so wie vorher markiert außerdem brauchen wir noch zwei spannvektoren an dieser Stelle müssen wir einfach die
4:30 verbindungsvektoren einmal zwischen a und Bienen also dem Vektor a b und einmal zwischen a und c also der Vektor AC und damit hätten wir alles was wir
4:41 brauchen um die Ebenengleichung aufzustellen und genau das machen wir jetzt auch schriftlich hier auf der linken Seite also ich fange so wie
4:49 vorher an erstmal eben eh Vektor X ist gleich und als erstes brauchen wir einen spitzvektor dass der Ortsvektor zu a also kurz gesagt a - 00
5:01 wir schreiben nur a als Vektor hin 2 - 3 und 1 dann nehmen wir irgendein Parameter zum Beispiel S und brauchen jetzt den ersten spannvektor da haben
5:14 wir vorher gesagt wir nehmen na B also das bedeutet wir rechnen b-a minus 1 - 2 sind natürlich -3 dann 4-3 sind 7 und 2 - 1 ist 1 und zum Schluss noch unser
5:30 zweiter spannvektor das wird dann der Vektor AC sein das bedeutet 10 - A 5 - 2 sind 3 2 - -3 sind 5 natürlich und -3 -1 ist -4 und das wäre dann die
5:47 Ebenengleichung die zweite Situation entsteht wenn eine gerade und ein Punkt gegeben sind und auch hier eine kurze Aufgabenstellung
5:57 gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A was nicht aufgelegt Stelle eine Ebenengleichung auf auch das versuchen wir uns erstmal bitte die vorzustellen
6:07 hier ist die Gerade g als ein blaue Strich in der Landschaft und hier haben wir unser Punkt A vom Aufbau her müssen wir uns die gerade gehe ebenfalls
6:18 vorstellen können also der erste Vektor zur Erinnerung ist wieder ein stützvektor für dieser Geraden das bezeichne ich jetzt als Punkt P und der
6:27 Richtungsvektor der Geraden können wir uns auch hier auf der gerade mit Grün vorstellen als Richtungsvektor daraus möchten wir natürlich wieder eine
6:36 Ebenengleichung aufstellen auch für die Ebene brauchen wir ein stützvektor und zwei spannvektoren naja bildlich hat man vielleicht ein bisschen Auswahl also man
6:48 könnte entweder dem Punkt P als stützvektor nehmen oder den Punkt A aber im praktischen ist es besser wenn ihr immer diesen stützvektor der Geraden
6:57 auch als stützvektor für die Ebene auswählt also wir starten P und den ersten Richtungsvektor für unser oder spannvektor für unser Ebene hätten wir
7:06 schon durch diesen grünen Vektor u was wir noch brauchen ist ein zweiten spannvektor und ich denke mir dass jeder von euch erkennen kann dass nur der
7:16 Vektor pa in diesem Fall Sinn machen würde also wir bilden an dieser Stelle diesen Vektor pa und damit hätten wir auch
7:24 unser Ebene festgelegt und das mache ich jetzt natürlich auch rechnerisch auf der linken Seite also wir fangen wieder mit E Doppelpunkt Wechsel XS gleich wie
7:36 bereits besprochen als stützvektor nehmen wir den stützvektor der Geraden dieser 1-2 und 0 also wir hatten als erstes dann 1 - 2 und 0 dann ebenfalls
7:49 von der Geraden geklaut kommt auch noch der erste spannvektor also zwei fünf und 1 das wäre dieser grüne Vektor also 2 5 und 1 und zum Schluss müssen
8:02 wir noch diesem Vektor pa bilden das bedeutet wir rechnen sozusagen a-p also nicht vergessen P ist hier dieser Vektor und dann können wir sie
8:15 voneinander abziehen 2-1 ist natürlich 1 - 3 - -2 ist -1 und 1 - 0 ist ebenfalls 1 und damit hätten wir auch diese Ebenengleichung
8:30 die dritte Situation entsteht wenn sich zwei Geraden schneiden und auch hier eine kurze Aufgabenstellung gegeben sind zwei Geraden g und h die sich schneiden
8:41 Stelle eine ebenegleichung auf auch hier versuchen wir das ganze erstmal bildlich zu verstehen also wir haben hier zwei Geraden g&h die sich schneiden und
8:52 natürlich werde das hier mit grau dargestellt deren Schnittpunkt vom Aufbau her müssen wir uns die geraden auch richtig vorstellen das heißt die
9:01 Gerade g besitzt ein Stütz und ein Richtungsvektor hier mit Punkt P als Stützpunkt und Richtungsvektor u dargestellt und das gleiche hat auch
9:12 Hitze weg davon habe ich jetzt als Kuh bezeichnet und Richtungsvektor von H als V aus diesen Überfluss an Informationen brauchen wir erstmal wieder ein Punkt
9:23 mit dem wir einen stützvektor bilden und habt ihr die Qual der Wahl in erster Reihe könnte natürlich Essen nehmen also Schnittpunkt aber wenn ihr diesen
9:32 Schnittpunkt noch nicht habt ist das nicht so empfehlenswert weil zur Erinnerung den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen bedeutet die gerade
9:40 in gleichzusetzen und an kleines LGS zu lösen das Cloud zeigt stattdessen könnt ihr ein bisschen schlauer denken und eine dieser anderen zwei stützvektoren
9:51 wählen also entweder P oder Q es ist völlig egal welche dieser beiden Vektoren ihr wählt und ich glaube die spannvektoren der Ebene sind eigentlich
10:01 bildlich schon sehr gut erkennbar das sind natürlich die Richtungsvektoren der beiden Geraden o&v und dadurch hätten wir wieder schon unsere Ebene die ich
10:12 jetzt aus schriftlich natürlich auf der linken Seite aufstellen werde also e Doppelpunkt Vektor x mal wieder als stützvektor entscheide ich mich
10:22 jetzt für P also das ist der stützvektor der Geraden g entsprechend dann 1 - 2 und 0 und dann plus D mal unser erster Richtungsvektor
10:35 das ist der Richtungsvektor der Geraden g also haben wir dann zwei fünf und 1 und dann plus s mal der Richtungsvektor von H das ist dann entsprechend 1 2 und
10:51 -2 und das werde dann wieder die Ebenengleichung die letzte Situation entsteht wenn zwei Geraden parallel sind und auch hier eine kurze
11:01 Aufgabenstellung gegeben sind zwei parallele Geraden g und h die nicht identisch sind Stelle eine Ebenengleichung auf auch diese zwei
11:12 parallele geraten werden wir uns natürlich versuchen erstmal bitte vorzustellen nicht kompliziert also dass die Gerade g
11:19 und h und natürlich auch hier der Aufbau mit Stütz und Richtungsvektor das heißt bei Geraden g wäre P unser Stützpunkt jetzt und der Richtungsvektor wäre
11:30 dieser Vektor um und bei der Geraden h können wir uns den stützunterrichtungsvektor mit Q und erneut Vektor u vorstellen wieso erneut
11:40 Vektor oh wenn ihr jetzt die Richtungsvektoren dieser beiden Geraden betrachtet weil die Geraden parallel sind sind diese Richtungsvektoren
11:49 vielfache oder Koordinaten also wenn der eine 2-51 ist ist der andere minus vier zehn minus 2 also ihr merkt wenn ihr den ersten Richtungsvektor mal -2 nimmt dann
12:02 kriegt ihr den zweite Richtung das heißt bildlich dass diese zwei Vektoren einfach in die gleiche Richtung zeigen so wie hier unten dargestellt
12:12 okay für die Ebene brauchen wir wieder ein stützvektor in erster Reihe und da hat man wieder die Wahl man kann entweder sozusagen Punkt P oder Punkt Q
12:23 als stützvektor oder Stützpunkt wählen ich habe mich jetzt für P entschieden also das ist der stützvektor oder OP werde die stützvektor der ersten geraten
12:33 als erster spannvektor für unser Ebene können wir natürlich diesem Vektor u nehmen und ich beziehe mich jetzt wirklich auf den grünen
12:42 und wir brauchen noch einen zweiten spannvektor Leben auch spannend und ich hoffe dass jeder auf die Idee kommt an dieser Stelle an diesem Vektor PQ zu
12:52 bilden also bilden wir an dieser Stelle diesen Vektor BQ und damit können wir auch die Ebene aufspannen das ganze jetzt noch rechnerisch auf der linken
13:02 Seite also Doppelpunkt Vektor x wir mitbekommen habt glauben wir eigentlich komplett die erste Geradengleichung mit stützunters
13:13 Vektor das wäre dann unser P und Vektor u und das schreibe ich auch hier ab an dieser Stelle also 1 - 2 und 0 plus D mal
13:27 und dann der erste Richtungsvektor 2-5 und 1 und dann müssen wir nur noch diesem Vektor Pack go bilden also puq das wäre so vereinfacht gesehen
13:39 Punkt B oder der Ortsvektor zu P und das wäre der Ortsvektor zu Q wir rechnen jetzt einfach mal q-p1 minus 1 ist null drei minus minus 2
13:51 sind entsprechend 5 und 5 - 0 sind wiederum 5 also das wäre dann die fertige Ebenengleichung zum Schluss noch ein paar Hinweise wenn
14:01 ihr diese Ebenen vollständig verstehen wollt dann macht es durchaus Sinn dass ihr euch auch noch die Eigenschaften von Ebenen Parameterform anschaut könnt ihr
14:09 auch die wirkliche Bedeutung dieser zwei Parameter verstehen außerdem gibt es natürlich auch noch Ebenen in andere Formen wie normale Form oder
14:19 Koordinatenform deshalb ist es wichtig dass Sie auch die Umformungen oder Umwandlung von der einen anderen Form beherrscht einmal von Parameter in
14:28 normalen und Koordinatenform aber natürlich auch die rückwärtssichtung von Koordinaten in normalen oder Parameter Form wenn Bedarf Tutorials zu alle diese
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