Zweitpreisauktion

Grundidee und Analyserahmen

Eine verdeckte Zweitpreisauktion ist ein Auktionsverfahren, bei dem alle Bieter genau ein Gebot abgeben, ohne die Gebote der anderen zu kennen. Den Zuschlag erhält der Höchstbietende, bezahlt wird jedoch nicht sein eigenes Gebot, sondern das zweithöchste Gebot. Nach William Vickrey wird das Verfahren auch Vickreyauktion genannt. Bei der verdeckten Erstpreisauktion gewinnt ebenfalls das höchste Gebot, der Gewinner bezahlt dort aber sein eigenes Gebot.

Im Referenzfall verkauft ein Verkäufer ein Objekt an den Bieter mit dem höchsten Gebot. Auktionen werden spieltheoretisch als Spiele mit unvollständiger Information analysiert: Mindestens ein Spieler kennt die Payoff-Funktion, also die Auszahlung, eines anderen Spielers nicht vollständig. Zum formalen Analyserahmen gehören die Bietermenge {\mathcal I}=\{1,\ldots,n\}, die möglichen Wertschätzungen \Theta_i, die Verteilung F, die möglichen Gebote {\mathcal B}_i=\mathbb R^{\geq 0} und die Payoff-Funktionen \pi_i(b_1,\ldots,b_n;v_1,\ldots,v_n).

Man unterscheidet private und interdependente Wertschätzungen. Bei privaten Wertschätzungen kennt jeder Bieter seine eigene Wertschätzung sicher; Informationen über andere Bieter verändern diese eigene Wertschätzung nicht. Bei interdependenten Wertschätzungen wird die eigene Wertschätzung mithilfe von Signalen geschätzt und kann sich ändern, wenn Informationen anderer Bieter bekannt werden.

Private Wertschätzungen: IPV-Modell und Gleichgewicht

Im IPV-Modell (independent private values, unabhängige private Wertschätzungen) wird für jeden Bieter i eine Wertschätzung v_i\in[0,\overline v] zufällig aus derselben Verteilung F gezogen. Die Wertschätzungen sind unabhängig und identisch verteilt (i.i.d.); die Dichte f=F' ist stetig und F hat vollen Support. Jeder Bieter kennt seine eigene Wertschätzung, nicht aber die der anderen. Die Bieter sind vollständig rational, risikoneutral, haben keine Budgetbeschränkung und kennen die übrigen Modellmerkmale, insbesondere F.

Die Auszahlung eines Bieters lautet bei einem eindeutigen Höchstgebot: \pi_i(v_i)=v_i-\max_{j\ne i}b_j, falls b_i>\max_{j\ne i}b_j, und 0, falls b_i<\max_{j\ne i}b_j. Bei Gleichstand kann durch Zufall entschieden werden: Jeder der h Höchstbietenden gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 1/h; praktisch kann auch eine Nummerierung der Gebote den Gleichstand auflösen.

Die zentrale Eigenschaft lautet: In einer Zweitpreisauktion ist es eine schwach dominante Strategie, genau die eigene Wertschätzung zu bieten, also b_i=v_i. Ein niedrigeres Gebot kann einen positiven Gewinn verhindern, wenn das zweithöchste Gebot zwischen dem eigenen Gebot und der Wertschätzung liegt. Ein höheres Gebot kann dagegen dazu führen, dass man das Objekt zu einem Preis oberhalb der eigenen Wertschätzung gewinnt und einen negativen Payoff erzielt. Diese Anreizkompatibilität hängt nur von privaten Wertschätzungen ab, nicht von den i.i.d.-Verteilungsannahmen.

Die Auktion ist effizient: Das Objekt erhält der Bieter mit der ex post höchsten Wertschätzung. Das wertschätzungsgemäße Bieten bildet jedoch nur eines von vielen bayesschen Nash-Gleichgewichten. Bei zwei Bietern mit gleichverteilten Wertschätzungen auf [0,1] können beispielsweise auch b_1=3 und b_2=0 ein Gleichgewicht sein. Solche Gleichgewichte sind nicht trembling-hand-perfekt und instabil, weil bereits eine geringe angenommene Wahrscheinlichkeit von Fehlern die Anreize verändert.

Für die erwarteten Kosten betrachtet man die Ordnungsstatistiken der Wertschätzungen der anderen Bieter. Das höchste Gebot der anderen Bieter sei Y_{1:n-1} mit Verteilung G und Dichte g. Im IPV-Modell gilt G=F^{n-1}. Für einen Bieter mit Wertschätzung v_i sind die erwarteten Kosten m(v_i)=G(v_i)\cdot\mathbb E(Y_{1:n-1}\mid Y_{1:n-1}<v_i). Nach dem Erlös-Äquivalenz-Theorem entsprechen diese erwarteten Kosten auch denen in der Erstpreisauktion und in einer Klasse weiterer Auktionsformate. Der erwartete Verkaufserlös ist n\cdot\mathbb E[m(V)] und entspricht dem erwarteten zweithöchsten Wert aller n Bieter, also \mathbb E(Y_{2:n}).

Erweiterungen des IPV-Falls

Bei einem Mindestpreis r bietet ein Bieter mit v_i<r optimalerweise nicht beziehungsweise null, weil kein positiver Payoff möglich ist. Für v_i\ge r bleibt wertschätzungsgemäßes Bieten schwach dominant: \beta_i(v_i)=v_i für v_i\ge r, andernfalls 0. Die erwarteten Kosten eines Bieters mit v_i\ge r sind m(v_i,r)=rG(r)+\int_r^{v_i}yg(y)\,dy.

Hat der Verkäufer selbst den Objektwert v_0, lautet sein erwarteter Erlös einschließlich des Falls ohne Verkauf n\cdot\mathbb E[m(v,r)]+F(r)^n v_0. Unter i.i.d.-verteilten Wertschätzungen und risikoneutralen Bietern ist der ex ante erlösmaximierende Mindestpreis unabhängig von der Bieterzahl und erfüllt r^*=v_0+\frac{1-F(r^*)}{f(r^*)}. Bei einer Gleichverteilung auf [0,10] gilt für v_0=0 r^*=5; bei v_0=2 beträgt der optimale Mindestpreis ungefähr r^*=6. Mindestpreise können die Effizienz vermindern, weil das Objekt trotz eines Bieters mit positiver Wertschätzung unverkauft bleiben kann. Außerdem entsteht ein Commitment- und Glaubwürdigkeitsproblem: Ex post könnte der Verkäufer trotz nicht erreichter Mindestpreisschwelle noch an den Höchstbietenden verkaufen. Engelbrecht-Wiggans (1987) und Levin und Smith (1994) zeigen, dass bei zusätzlichen Teilnahme- oder Informationskosten ein Mindestpreis den erwarteten Erlös auch senken kann.

Bei Budgetbeschränkungen kennt ein Bieter zusätzlich zu seiner Wertschätzung v_i sein Budget w_i. Die mögliche Typenmenge lautet \Theta_i^c=[0,\overline v]\times[0,\overline w] mit 0<\overline v\le\overline w. Ein Sieg mit einem Gebot über dem eigenen Budget führt zu einem Payoff von -\infty. Die schwach dominante Strategie ist daher \beta_i^c(v_i,w_i)=\min\{v_i,w_i\}.

Risikoaversion verändert im IPV-Modell die optimale Strategie der Zweitpreisauktion nicht: Wertschätzungsgemäßes Bieten bleibt schwach dominant, und der erwartete Erlös bleibt unverändert. Die Erlösäquivalenz zur Erstpreisauktion gilt aber nicht mehr, weil Risikoaversion dort die Bietstrategie verändert.

Bei asymmetrischen Bietern stammen die Wertschätzungen aus unterschiedlichen Verteilungen. Wertschätzungsgemäßes Bieten bleibt schwach dominant und effizient. Für zwei Bieter mit stetigen, streng monoton steigenden Verteilungen zeigen Hafalir und Krishna (2008), dass es ein perfekt bayessches Nash-Gleichgewicht ist. Die Erlösfolgen sind jedoch umstritten: Cantillon (2008) findet unter einer bestimmten symmetrischen Benchmark höhere aggregierte Ex-ante-Payoffs im asymmetrischen Fall; Chen und Xu (2012) zeigen, dass sich das Ergebnis bei anderen plausiblen Benchmarks umkehren kann.

Auch Zweitpreisauktionen sind kollusionsanfällig. Ein Bieterring mit R Mitgliedern gibt gemeinsam nur ein Gebot ab, sodass statt n nur n-R+1 Bieter auftreten. Dadurch kann der Verkaufspreis sinken. Das second-price pre-auction knockout (PAKT) von Graham und Marshall (1987) ist ein anreizkompatibler Algorithmus zur internen Ermittlung des höchsten Ringmitglieds. Bei gegebener Ringgröße 2\le R\le n steigt der erwartete Payoff eines Ringmitglieds, je niedriger der Mindestpreis und je größer der Ring ist.

Interdependente Wertschätzungen und Fluch des Gewinners

Im Modell interdependenter Wertschätzungen erhält jeder Bieter ein Signal S_i. Seine Wertschätzung hängt von allen Signalen ab: V_i=\nu_i(S_1,\ldots,S_n). Das IPV-Modell ist der Spezialfall V_i=S_i. Im Common-Value-Modell haben alle Bieter dieselbe, aber unbekannte Wertschätzung V_i=V=\nu(S_1,\ldots,S_n). Höhere Signale anderer Bieter dürfen die eigene Wertschätzung nicht senken, und ein höheres eigenes Signal erhöht sie strikt. Die Signale sind affiliiert: Ein höheres Signal eines anderen Bieters erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass auch das eigene Signal höher ist.

Definiert man \eta(s_i,y_{\setminus i})=\mathbb E(V_i\mid S_i=s_i,Y_{1:n-1}^{\setminus i}=y_{\setminus i}), so lautet das symmetrische Gleichgewicht nach Milgrom und Weber (1982): \beta(s_i)=\eta(s_i,s_i). Ein Bieter bietet also so, als ob das höchste Signal der anderen Bieter seinem eigenen Signal entspräche. Anders als im IPV-Fall besteht keine allgemeine Erlösäquivalenz. Unter Affiliationsannahmen ist der erwartete Erlös der Zweitpreisauktion mindestens so hoch wie in der Erstpreisauktion, aber höchstens so hoch wie in der Englischen Auktion.

Ein Beispiel nach Klemperer (1999): Die Signale werden unabhängig gleichverteilt auf [v-1/2,v+1/2] gezogen, wobei v der wahre Objektwert ist. Ein höheres Signal macht sowohl einen höheren Objektwert als auch höhere Signale anderer Bieter wahrscheinlicher. Für gleichverteilte Ziehungen aus [\underline v,\overline v] beträgt der erwartete k-höchste Wert aus n Ziehungen \underline v+[(n+1-k)/(n+1)](\overline v-\underline v). Daraus ergeben sich im Artikel die Gebots- und Erlösformeln für das Beispiel.

Der Fluch des Gewinners (winner’s curse) bezeichnet eine Wahrnehmungsverzerrung bei interdependenten Wertschätzungen. Wer gewinnt, hatte typischerweise eine besonders hohe Wertschätzungserwartung. Der eigene Sieg liefert daher Information, die den geschätzten Objektwert nach unten korrigieren sollte. Wird dieser Informationswert ignoriert, kann der Gewinner das Objekt zu teuer erwerben.

Experimente bestätigen den Effekt besonders im Common-Value-Fall. Kagel, Levin und Harstad (1995) fanden bei vier oder fünf Bietern eine nichtsignifikante Gewinnsteigerung, bei sechs oder sieben Bietern dagegen stark sinkende und durchweg negative durchschnittliche Gewinne. Avery und Kagel (1997) beobachteten bei der Wertschätzung V=S_i+S_j, dass die Gleichgewichtsgebote b_i=2s_i beziehungsweise b_j=2s_j deutlich höher waren als der tatsächlich verwendete naive Schätzer s_i+(\overline s+\underline s)/2; bei niedrigen Signalen erlitten fast alle Gewinner Verluste. Der Effekt nahm mit Erfahrung ab. Level-k-Modelle sowie das Konzept des cursed equilibrium versuchen, das Verhalten zu rationalisieren; Ivanov, Levin und Niederle (2010) fanden jedoch Ergebnisse, die Zweifel an diesen Erklärungen wecken.

Strategische Verwandtschaft und Experimente

Zwei Auktionen heißen strategisch äquivalent, wenn ihre Spieler dieselben Strategieräume besitzen und sich ihre Payoffs nur durch eine positive Skalierung und additive Konstanten unterscheiden: \pi_i''=k\pi_i'+z_i mit k>0. Dann sind auch ihre Nash-Gleichgewichte identisch.

Die Zweitpreisauktion ist bei privaten Wertschätzungen strategisch eng mit der Englischen Auktion verwandt. In beiden Formaten gewinnt im Gleichgewicht der Bieter mit der höchsten Wertschätzung und bezahlt ungefähr die zweithöchste Wertschätzung. Strategisch äquivalent sind beide Verfahren jedoch nicht allgemein. Bei interdependenten Wertschätzungen erzielt die Englische Auktion höhere erwartete Preise, weil der Bieter dort Informationen über mehrere andere Bieter erhält.

Experimente im IPV-Fall bestätigen die theoretische Äquivalenz nicht vollständig. Kagel, Harstad und Levin (1987) fanden in Zweitpreisauktionen durchschnittlich um 11 Prozent zu hohe Gebote, während Gebote in Englischen Auktionen mit der dominanten Strategie vereinbar waren. Harstad (2000) sowie Kagel und Levin (1993) beobachteten, dass sich das Überbieten durch Wiederholung kaum änderte. Als Erklärungen wurden unter anderem beschränkte Rationalität, die Freude am Sieg und ein Boshaftigkeitsmotiv vorgeschlagen. Cooper und Fang (2008) fanden Evidenz für beschränkte Rationalität und Freude am Sieg, aber gegen das Boshaftigkeitsmotiv.

Andere Studien weichen ab: Lucking-Riley (1999) fand bei einem Feldexperiment mit Magic: The Gathering-Sammelkarten keine Erlösunterschiede zwischen Zweitpreis- und Englischer Auktion. Shogren et al. (2001) beobachteten nach ausdrücklicher Information über die optimale Strategie etwa 33 Prozent zu niedrige und knapp 11 Prozent zu hohe Gebote. Bei erfahrenen Verkäufern fanden Garratt, Walker und Wooders (2004, 2012) etwa gleich viele Gebote oberhalb und unterhalb der Wertschätzung, nämlich 38 beziehungsweise 41 Prozent; dies unterschied sich deutlich von den Ergebnissen von Kagel, Harstad und Levin.

Praktische Nutzung und Verallgemeinerungen

Reine Zweitpreisauktionen sind in der Praxis selten. Sie werden vor allem bei einigen Internetplattformen für Sammlerobjekte eingesetzt; der Briefmarkenhändler Sandafayre erlaubt beispielsweise Gebote über Internetseite, Post und Telefax. Ebay verwendet keine reine Zweitpreisauktion, kommt ihr aber mit Proxy-Geboten nahe: Das System erhöht das tatsächlich berücksichtigte Gebot nur um den kleinstmöglichen Betrag bis zum vom Bieter festgelegten Höchstbetrag. Der Gewinner zahlt dadurch ungefähr das zweithöchste Gebot zuzüglich eines kleinen Betrags. Lucking-Riley (2000) fand auf 142 Auktionsseiten nur fünf reine Zweitpreisauktionen, aber 65 modifizierte Englische Auktionen mit Proxy-Geboten.

Bei der neuseeländischen Versteigerung von Frequenzblock-Lizenzen im Jahr 1990 wurden simultan mehrere Zweitpreisauktionen ohne Mindestpreise durchgeführt. Statt erwarteter 240 Millionen NZ$ wurden nur 36 Millionen erzielt. Ein Gebot von 100.000 NZ$ führte in einem Fall zu einem Preis von 6 NZ$, ein Gebot von 7.000.000 NZ$ in einem anderen zu Kosten von 5.000 NZ$. Als Ursachen gelten fehlende Mindestpreise und die Nichtberücksichtigung von Interdependenzen zwischen Lizenzen, die substitutiv oder komplementär sein können.

Die Zweitpreisauktion ist ein Spezialfall des Vickrey-Clarke-Groves-Mechanismus (VCG). Dieser wurde von William Vickrey (1961), Edward H. Clarke (1971) und Theodore Groves (1973) entwickelt und ermöglicht effiziente, anreizkompatible Allokationen bei Mehrobjektauktionen. Unter effizienten, anreizkompatiblen und individuell rationalen Mechanismen besitzt der VCG-Mechanismus den höchsten Erlös. Eine Erweiterung kann auch interdependente Wertschätzungen berücksichtigen, erfordert dann aber die Kenntnis der Wertschätzungsfunktionen \nu_i durch den Auktionator.

Die Generalized Second-Price Auction (GSP) wird insbesondere zur Vergabe von Werbeplätzen in Suchmaschinen verwendet. Werbeplätze werden nach der Höhe der Gebote vergeben; bei Pay-per-Click wird ein Werbekunde pro Klick mit dem nächsthöheren Gebot belastet. Bei m Plätzen, Klickzahlen \alpha_i, Klickwert s_{g(i)} und dem nächstniedrigeren Gebot b(i+1) lautet der Payoff des Bieters auf Position i: \alpha_i\cdot[s_{g(i)}-b(i+1)]. Anders als beim VCG-Mechanismus ist wahrheitsgemäßes Bieten hier im Allgemeinen nicht dominant; ein Gleichgewicht in dominanten Strategien existiert normalerweise nicht. Neuere Varianten berücksichtigen außerdem die Bieterseite und mögliche negative Externalitäten durch unterschiedliche Klickzahlen je nach Anzeigenposition.