Erlös-Äquivalenz-Theorem

Kernaussage und Bedeutung

Das Erlös-Äquivalenz-Theorem ist ein zentrales Ergebnis der Auktionstheorie. Es besagt: Unter bestimmten Standardbedingungen führen verschiedene Auktionsformate zum gleichen erwarteten Erlös. Dies gilt sowohl für den Verkäufer beziehungsweise Auktionator als auch für jeden einzelnen Bieter.

Das Theorem ist wichtig, weil der erwartete Erlös unter diesen Voraussetzungen nicht von den besonderen Zahlungs- und Gebotsregeln eines Auktionsformats abhängt. Entscheidend sind vielmehr die Verteilung der Wertschätzungen, die Gewinnregel und der erwartete Erlös des Bieters mit der niedrigsten möglichen Wertschätzung.

Voraussetzungen des Theorems

Es gibt n Bieter. Ihre Wertschätzungen werden als Zufallsvariablen modelliert und sind unabhängig und identisch verteilt, kurz i.i.d. Jeder Bieter ist risikoneutral: Für seine Entscheidung zählt allein der erwartete Gewinn.

Verglichen werden zwei beliebige Auktionsformate A₁ und A₂. Für beide müssen folgende Bedingungen gelten:

• In beiden Auktionen existiert ein symmetrisches Gleichgewicht. Das bedeutet, dass alle Bieter dieselbe Gebotsstrategie verwenden.
• Der Bieter mit dem höchsten Gebot gewinnt die Auktion.
• Der erwartete Erlös eines Bieters mit der niedrigsten möglichen Wertschätzung, in der Regel 0, ist in A₁ und A₂ gleich.

Sind diese Voraussetzungen erfüllt, kann jeder Bieter in beiden Auktionsformaten denselben Erlös erwarten. Daraus folgt, dass auch der erwartete Gewinn des Verkäufers beziehungsweise Auktionators in beiden Formaten identisch ist.

Modell des Beweises

Für die Auktion eines einzelnen Objekts bezeichnet β(v) die Gebotsstrategie im symmetrischen Gleichgewicht. Es gilt

β: [0, v̄] → ℝ₊,

wobei v̄ die maximale Wertschätzung ist. Die Funktion β(v) ist streng monoton steigend: Ein Bieter mit einer höheren Wertschätzung gibt ein höheres Gebot ab.

Mit m(v) werden die erwarteten Kosten bezeichnet, die einem Bieter mit der Wertschätzung v im Gleichgewicht entstehen. Für die niedrigste Wertschätzung gilt m(0) = 0.

Es wird angenommen, dass alle Bieter außer Spieler i die Gleichgewichtsstrategie β verwenden. Spieler i hat die Wertschätzung vᵢ, bietet aber gedanklich nicht unbedingt das optimale Gebot β(vᵢ), sondern ein beliebiges Gebot β(z). Y₁ bezeichnet die höchste Wertschätzung unter allen anderen Bietern.

Spieler i gewinnt genau dann, wenn β(z) > β(Y₁). Wegen der strengen Monotonie von β ist dies gleichbedeutend mit z > Y₁. Ist G(z) die Verteilungsfunktion von Y₁, dann gewinnt Spieler i mit der Wahrscheinlichkeit G(z). Sein erwarteter Gewinn lautet deshalb

Π(z, vᵢ) = G(z)vᵢ − m(z).

Der erste Term ist der erwartete Wert des gewonnenen Objekts; m(z) sind die erwarteten Kosten des gewählten Gebots.

Optimierung und Ergebnis

Zur Bestimmung des optimalen Gebots wird die Gewinnfunktion nach z maximiert. Die Bedingung erster Ordnung ist

∂Π(z, vᵢ)/∂z = G′(z)vᵢ − m′(z) = 0,

also

G′(z)vᵢ = m′(z).

Dabei wird G′(z) = g(z) als Dichtefunktion von Y₁ bezeichnet. Im Gleichgewicht wählt Spieler i gerade z = vᵢ. Daher gilt

g(vᵢ)vᵢ = m′(vᵢ).

Durch Integration von 0 bis vᵢ erhält man

m(0) + ∫₀ᵛⁱ y g(y) dy = m(vᵢ).

Da m(0) = 0 ist, lassen sich die erwarteten Kosten auch schreiben als

m(vᵢ) = G(vᵢ) · 𝔼(Y₁ | Y₁ < vᵢ).

𝔼(Y₁ | Y₁ < vᵢ) ist der bedingte Erwartungswert der höchsten fremden Wertschätzung unter der Bedingung, dass sie kleiner als die eigene Wertschätzung vᵢ ist. Die rechte Seite hängt nur von der eigenen Wertschätzung vᵢ und von der Verteilung der höchsten Wertschätzung der übrigen Bieter ab. Sie enthält keine Besonderheit des verwendeten Auktionsformats. Deshalb sind die erwarteten Kosten und damit die erwarteten Erlöse in allen Auktionsformaten, welche die Voraussetzungen erfüllen, gleich.