Zustand (Quantenmechanik)

Kernidee und physikalischer Gehalt

Ein quantenmechanischer Zustand beschreibt den Zustand eines physikalischen Systems nach den Regeln der Quantenmechanik. Er ist die genaueste physikalisch mögliche Beschreibung, legt im Allgemeinen aber nicht für jede Messung ein eindeutiges Ergebnis fest. Stattdessen gibt er für jedes mögliche Messergebnis eine Wahrscheinlichkeit P mit 0 ≤ P ≤ 1 an. Sicher ist ein Ergebnis nur im Sonderfall P = 1; dann sind alle anderen Wahrscheinlichkeiten P = 0. Ein Zustand mit dieser Eigenschaft bezüglich einer bestimmten Messgröße heißt Eigenzustand dieser Messgröße.

Bei wiederholten Messungen an gleich präparierten Systemen streuen die Ergebnisse daher im Allgemeinen. Erst durch die Messung nimmt das System für die gemessene Größe einen bestimmten Wert an und geht unstetig in den entsprechenden Eigenzustand über. Diese Zustandsreduktion beschreibt im Rahmen der Kopenhagener Interpretation den Informationszuwachs des Beobachters und keinen physikalischen Vorgang. Eine unmittelbar folgende Wiederholung derselben Messung liefert deshalb mit Sicherheit denselben Messwert.

Zwischen zwei Messungen entwickelt sich der Zustand deterministisch. Im nichtrelativistischen Fall geschieht dies gemäß der Schrödinger-Gleichung. Im relativistischen Fall gelten abhängig von Spin und Masse die Klein-Gordon-Gleichung (Spin 0), die Dirac-Gleichung (massiv, Spin ½), die Weyl-Gleichung (masselos, Spin ½), die Proca-Gleichung (massiv, Spin 1) oder die Maxwell-Gleichungen (masselos, Spin 1).

Viele Messgrößen besitzen keine gemeinsamen Eigenzustände. Sie heißen dann inkommensurabel und können in keinem Zustand gleichzeitig scharfe Werte haben, etwa Ort und Geschwindigkeit. Ein System kann daher höchstens für einen maximalen Satz untereinander kommensurabler Größen in einem gemeinsamen Eigenzustand präpariert werden. Für die übrigen Größen streuen die Messwerte; diese Unbestimmtheit wird durch die Heisenbergsche Unschärferelation ausgedrückt.

Reine Zustände, Gemische und Superposition

Ein reiner Zustand entspricht der maximal möglichen Kenntnis der beobachtbaren Eigenschaften eines Systems. Er wird durch einen Zustandsvektor oder eine Wellenfunktion beschrieben. Auch bei vollständiger Kenntnis eines reinen Zustands können Messwerte streuen, wenn der Zustand kein Eigenzustand der betrachteten Observablen ist. Diese Streuung ist eine grundlegende physikalische Eigenschaft und nicht bloß fehlendes Wissen.

Bei einer unvollständigen Präparation werden gleichartige Systeme nur für eine Auswahl kommensurabler Größen gleich präpariert. Die übrigen Größen können verschiedene Eigenzustände besitzen. Dann liegt ein statistisches Gemisch, auch Zustandsgemisch oder früher „Gemenge“ genannt, vor. Die zusätzliche Unsicherheit entsteht dadurch, dass das einzelne System in einem von mehreren reinen Zuständen vorliegen kann. Die Beiträge werden inkohärent, also ohne feste relative Phase, überlagert.

Eine kohärente Superposition ist dagegen eine normierte Linearkombination mehrerer Zustände. Für eine Messgröße, deren Eigenzustände |φ_k⟩ sind, ist jeder Zustand mit mehreren möglichen Messwerten eine Superposition dieser Eigenzustände. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird durch das Betragsquadrat der Wahrscheinlichkeitsamplitude bestimmt. Jeder Zustand kann je nach gewählter Basis sowohl als Basis- oder Eigenzustand als auch als Superpositionszustand erscheinen. Eine kohärente Superposition bleibt ein reiner Zustand und sollte nicht mit einem Zustandsgemisch verwechselt werden.

Für zwei Zustände gilt beispielsweise |ψ⟩ = c₁|ψ₁⟩ + c₂|ψ₂⟩ mit komplexen Koeffizienten c₁ und c₂ und der Normierungsbedingung ⟨ψ|ψ⟩ = 1. Die relative Phase ist physikalisch bedeutsam: Aus c₂/c₁ = |c₂/c₁|e^{iφ} folgt, dass unterschiedliche Phasen unterschiedliche physikalische Eigenschaften des Überlagerungszustands bewirken können. Auf kohärenter Superposition beruhen Interferenzerscheinungen, etwa im Doppelspaltexperiment durch konstruktive und destruktive Interferenz.

Verschränkung und zusammengesetzte Systeme

Für ein zusammengesetztes System aus zwei Teilsystemen S₁ und S₂ lautet der Zustandsraum S = S₁ ⊗ S₂. Ein separabler Zustand liegt vor, wenn beide Teilsysteme jeweils einen bestimmten Zustand besitzen: Ψ = ψ¹ ⊗ ψ² beziehungsweise |Ψ⟩ = |ψ¹⟩|ψ²⟩.

Daneben gibt es verschränkte Zustände, die sich nur als kohärente Superposition von mindestens zwei separablen Zuständen darstellen lassen, zum Beispiel Ψ = α ψ¹ ⊗ ψ² + β φ¹ ⊗ φ² mit |α|² + |β|² = 1. Sind die Zustände orthogonal, befindet sich S₁ mit den Wahrscheinlichkeiten |α|² beziehungsweise |β|² in den beiden möglichen Zuständen. Die Teilsysteme besitzen dabei keine unabhängig festgelegten Zustände, obwohl der Gesamtzustand eindeutig bestimmt sein kann.

Bei einem Energieeigenzustand des Gesamtsystems muss beispielsweise nur die Gesamtenergie festliegen. Eine Energiemessung am ersten Teilsystem kann verschiedene Werte ergeben; durch die Zustandsreduktion ist danach die Energie des zweiten Teilsystems passend festgelegt. Dabei ändert sich auch dessen Zustand, selbst wenn es durch die Messung sonst nicht beeinflusst wurde und beliebig weit entfernt ist.

Die möglichen Zustände eines Teilsystems bilden in einem verschränkten Zustand meist eine inkohärente Überlagerung. Interferenzen zwischen ihnen sind ausgeschlossen, wenn sie an verschiedene Zustände des anderen Teilsystems gekoppelt sind. In bestimmten Experimenten, etwa beim Quantenradierer, können die Unterschiede zwischen diesen Zuständen verschwinden. Dann wird die inkohärente wieder zu einer kohärenten Überlagerung, und Interferenzmuster erscheinen erneut. Bei Verschränkungen mit großen, etwa makroskopischen Systemen, sind solche quantenmechanischen Zusammenhänge durch Beobachtung nicht vom klassischen Fall einer bloßen Unkenntnis eines bereits bestimmten Zustands zu unterscheiden.

Haben S₁ die Basiszustände ψᵢ¹ und S₂ die Basiszustände ψₖ², bilden die Produkte Ψᵢ,ₖ = ψᵢ¹ ⊗ ψₖ² eine Basis des Tensorproduktraums. Bei endlichen Dimensionen N₁ und N₂ hat dieser Raum die Dimension N₁N₂. Das Tensorprodukt beschreibt auch zusätzliche Freiheitsgrade eines Systems, etwa den Orts- und den zweidimensionalen Spin-Hilbertraum eines Elektrons. Durch Quantenteleportation kann bei vorhandener Verschränkung der Zustand eines Quantensystems, beispielsweise eines Photons oder Qubits, auf ein anderes System übertragen werden.

Mathematische Beschreibung und Zustandsvektor

Meist wird ein quantenmechanischer Zustand durch einen auf den Betrag 1 normierten Zustandsvektor in einem Hilbertraum beschrieben. In einer diskreten Basis ist er eine Linearkombination von Basisvektoren; in einer kontinuierlichen Basis wird er durch eine Wellenfunktion dargestellt. Die Amplitude einer Komponente bestimmt die Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Messergebnisses: Diese Wahrscheinlichkeit ist das Betragsquadrat der Amplitude.

Die Darstellung durch einen Vektor ist nicht eindeutig. Die Vektoren e^{iα}|ψ⟩ mit α ∈ ℝ beschreiben denselben Zustand. Sie unterscheiden sich nur durch einen konstanten komplexen Phasenfaktor a = e^{iα} und spannen einen eindimensionalen Unterraum, einen Strahl, auf. Für einen physikalischen Zustand gilt ⟨ψ|ψ⟩ = 1.

Mit einer vollständigen Orthonormalbasis |φᵢ⟩ lautet die Entwicklung |ψ⟩ = Σᵢ₌₁^∞ |φᵢ⟩⟨φᵢ|ψ⟩ = Σᵢ₌₁^∞ cᵢ|φᵢ⟩, mit cᵢ = ⟨φᵢ|ψ⟩ ∈ ℂ. Die Orthonormalität lautet ⟨φᵢ|φⱼ⟩ = δᵢⱼ, und es gilt Σᵢ₌₁^∞ |φᵢ⟩⟨φᵢ| = I. Für kontinuierliche Basen gelten ⟨x|y⟩ = δ(x − y) und ∫ dx |x⟩⟨x| = I.

Der Bra-Vektor ⟨ψ| ist der zum Zustandsvektor gehörige Kovektor im Dualraum. Häufig wird in einer Eigenbasis eines hermiteschen Operators entwickelt: |x⟩ bezeichnet einen Ortseigenzustand, |p⟩ einen Impulseigenzustand und |E⟩ einen Energieeigenzustand. Energieeigenwerte können diskret oder kontinuierlich sein. Quantenzahlen werden etwa mit |n⟩ oder |j,m⟩ angegeben; Spin-Zustände werden als |↑⟩ und |↓⟩ geschrieben.

Die Wellenfunktionen sind die Entwicklungskoeffizienten in Orts- beziehungsweise Impulsbasis: |ψ⟩ = ∫ dx |x⟩ψ(x), |ψ⟩ = ∫ dp |p⟩ψ(p).

Mathematisch allgemeiner ist ein Zustand ein positives und normiertes lineares Funktional auf der Algebra der Observablen. Für eine C*-Algebra A muss gelten ψ(AA*) ≥ 0 für alle A ∈ A und ψ(1̂) = 1. Die Zustände bilden eine konvexe Menge: Sind ψ und φ Zustände und 0 ≤ a ≤ 1, dann ist auch ϕ = aψ + (1 − a)φ ein Zustand. Nicht weiter zerlegbare Zustände heißen Extremalpunkte und entsprechen den reinen Zuständen. Die GNS-Konstruktion ordnet jedem Zustand eine Hilbertraum-Darstellung zu; für reine Zustände gilt ψ(a) ↔ ⟨ψ|π(a)ψ⟩.

Messung und Dichteoperator

Eine messbare physikalische Größe wird durch einen linearen Operator dargestellt. Messgröße A und Operator  heißen zusammen Observable. Die möglichen Messergebnisse Aᵢ sind die Eigenwerte des Operators und erfüllen für den Eigenzustand |Aᵢ⟩: Â|Aᵢ⟩ = Aᵢ|Aᵢ⟩. Weil Messergebnisse reelle Zahlen sind, muss  hermitesch sein: ⟨φ|Â|ψ⟩ = ⟨ψ|Â|φ⟩*.

Für einen beliebigen Zustand ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses P(Aᵢ) = |⟨Aᵢ|ψ⟩|². Nach der Messung gilt idealisiert |ψ⟩vor → |ψ⟩nach = |Aᵢ⟩. Eine sofortige Wiederholungsmessung derselben Observablen liefert dann sicher denselben Wert. Der Erwartungswert, also der Mittelwert vieler Messungen an gleich präparierten Systemen, ist ⟨Â⟩ = ⟨ψ|Â|ψ⟩.

Ein Zustandsgemisch wird durch den Dichteoperator oder Zustandsoperator ρ̂ beschrieben: ρ̂ = Σᵢ pᵢ|ψᵢ⟩⟨ψᵢ|, mit Wahrscheinlichkeiten pᵢ zwischen Null und Eins. Sein Erwartungswert lautet ⟨Â⟩ = Σᵢ pᵢ⟨ψᵢ|Â|ψᵢ⟩ = Sp(ρ̂Â). Die Spurformel gilt sowohl für gemischte als auch für reine Zustände. Für einen reinen Zustand ist ρ̂ = |ψ⟩⟨ψ| ein Projektionsoperator und ρ̂² = ρ̂; für ein Zustandsgemisch gilt ρ̂² < ρ̂. Im Gemisch werden Projektionsoperatoren gewichtet addiert, nicht die zugehörigen Kets kohärent superponiert.

Für die Eigenzustände |φₖ⟩ der Observablen mit Eigenwerten aₖ ergibt sich insgesamt ⟨A⟩ = ΣᵢΣₖ pᵢ · aₖ · |⟨ψᵢ|φₖ⟩|². Damit ist selbst bei vollständig bekannter Wellenfunktion im Allgemeinen nur eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angebbar. Unbekannte Zustände können nicht durch Messung bestimmt werden (No-Cloning-Theorem).

Beispiele, Zustandsdichte und Entropie

Für ein Teilchen in einem eindimensionalen Kasten der Breite a von 0 bis a können Zustände als Superpositionen der Eigenzustände des Hamiltonoperators geschrieben werden. Im Ortsraum gilt ⟨x|n⟩ = sin(nπx/a), n ∈ ℕ, und für die Energieeigenwerte gilt Eₙ = n²π²ℏ²/(2ma²).

Bei Teilchen in einem Zentralfeld können Energieeigenzustände zugleich Eigenzustände des Drehimpulsoperators sein. Sie werden durch n, j und m gekennzeichnet: Ĥ|n,j,m⟩ = Eₙ|n,j,m⟩, Ĵ²|n,j,m⟩ = ℏ²j(j+1)|n,j,m⟩, Ĵz|n,j,m⟩ = ℏm|n,j,m⟩. Wegen der Energie-Entartung bezüglich m reicht eine Energiemessung im Allgemeinen nicht aus, den Zustand eindeutig zu bestimmen. Die Spineigenzustände eines fermionischen Teilchens mit mₛ = ±½ werden als |↑⟩ und |↓⟩ bezeichnet.

Ein Beispiel für Verschränkung ist der Zustand zweier Spin-½-Teilchen nach dem s-Wellen-Zerfall eines einzigen gebundenen Elementarteilchensystems: |ψ⟩ = 1/√2 (|↑⟩₁ ⊗ |↓⟩₂ − |↓⟩₁ ⊗ |↑⟩₂). Eine Spinmessung an einem Teilchen führt zu einer Zustandsreduktion; eine unmittelbar folgende Messung am anderen liefert eindeutig den jeweils entgegengesetzten Spin.

Die Dimension des quantenmechanischen Zustandsraums gibt die kleinste Zahl linear unabhängiger Basiszustände an, aus denen alle Zustände durch Superposition gebildet werden können. Jeder Basiszustand belegt im Vergleich zur klassischen Zustandsdichte ein „Phasenraumvolumen“ (2πℏ)ⁿ = hⁿ, wobei n die Zahl unabhängiger Ortskoordinaten und h die Planck-Konstante ist. Für n = 1 hat dieses Volumen die Dimension einer Wirkung, also Energie mal Zeit beziehungsweise Ort mal Impuls.

Die Von-Neumann-Entropie misst quantitativ die Unkenntnis darüber, welcher reine Zustand vorliegt: −k_B Tr(ρ ln ρ). Für ein Zustandsgemisch ist sie −k_B Σ pᵢ ln pᵢ, für einen reinen Zustand Null. Dabei ist k_B die Boltzmann-Konstante. In Shannon-Einheiten wird k_B durch Eins und der natürliche Logarithmus ln durch den binären Logarithmus lb ersetzt.