Ziegenproblem

Kernproblem und Standardannahmen

Das Ziegenproblem, auch Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma genannt, ist eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es zeigt, dass Intuition bei Wahrscheinlichkeiten leicht zu falschen Schlüssen führen kann. Hinter einer von drei Türen steht ein Auto, hinter den beiden anderen je eine Ziege. Ein Kandidat wählt zuerst eine Tür. Danach öffnet der Moderator, der weiß, was hinter den Türen ist, eine andere Tür mit einer Ziege und bietet dem Kandidaten an, zur letzten geschlossenen Tür zu wechseln.

In der heute meist behandelten Standardform gelten zusätzliche Regeln: Auto und Ziegen wurden zufällig verteilt; der Kandidat hat keine Information über die Autotür; der Moderator kennt die Inhalte; die zuerst gewählte Tür bleibt geschlossen; der Moderator muss eine der beiden anderen Türen öffnen; hinter der geöffneten Tür muss eine Ziege stehen; danach darf der Kandidat bleiben oder wechseln. Diese Zusatzannahmen sind wichtig, weil die ursprüngliche Formulierung von Marilyn vos Savant mehrdeutig war. Mueser und Granberg nennen diese präzisierte Fassung das Monty-Hall-Standard-Problem.

Warum Wechseln im Standardproblem besser ist

Im Standardproblem gibt es drei gleich wahrscheinliche Anfangszustände: Das Auto steht hinter Tür 1, Tür 2 oder Tür 3. Wählt der Kandidat zuerst zum Beispiel Tür 1, dann hat er mit Wahrscheinlichkeit 1/3 sofort das Auto gewählt und mit Wahrscheinlichkeit 2/3 zuerst eine Ziege gewählt.

Hat er zuerst eine Ziege gewählt, muss der Moderator die andere Ziegentür öffnen. Die letzte geschlossene Tür ist dann die Autotür, also gewinnt der Kandidat durch Wechseln. Das passiert in zwei von drei Fällen. Hat der Kandidat zuerst das Auto gewählt, gewinnt er nur durch Bleiben; das passiert in einem von drei Fällen. Deshalb beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln 2/3 und beim Bleiben 1/3.

Eine zweite einfache Sichtweise fasst die beiden nicht gewählten Türen zusammen: Die zuerst gewählte Tür hat weiterhin Gewinnwahrscheinlichkeit 1/3. Die beiden anderen Türen haben zusammen 2/3. Weil der Moderator aus diesen beiden gezielt eine Ziegentür entfernt, wird diese Wahrscheinlichkeit auf die letzte geschlossene Tür übertragen. Daher sollte man im Standardproblem wechseln.

Formale Berechnung

Formal unterscheidet man die Ereignisse g1 und g2: g1 bedeutet, dass der Kandidat anfangs das Auto gewählt hat, g2, dass er anfangs eine Ziege gewählt hat. Es gilt P(g1)=1/3 und P(g2)=2/3. Wenn der Kandidat immer wechselt, dann gilt wegen der Regel, dass der Moderator eine Ziegentür öffnen muss: P(G1|g1)=0 und P(G1|g2)=1. Dabei bedeutet G1, dass der Kandidat nach dem Wechsel das Auto gewinnt.

Mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt sich: P(G1)=P(G1|g1)P(g1)+P(G1|g2)P(g2)=0·1/3+1·2/3=2/3.

Für einen konkreten Einzelfall kann auch der Satz von Bayes verwendet werden. Wenn der Kandidat Tür 1 gewählt hat und der Moderator Tür 3 öffnet, fragt man nach P(G2|M3), also nach der Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 2 steht, wenn der Moderator Tür 3 geöffnet hat. Nimmt man zusätzlich an, dass der Moderator bei zwei möglichen Ziegentüren jede mit Wahrscheinlichkeit 1/2 öffnet, ergibt Bayes ebenfalls P(G2|M3)=2/3.

Kontroversen und Rolle des Moderators

Das Ziegenproblem wurde kontrovers diskutiert, weil viele Menschen nach dem Öffnen einer Ziegentür denken, die zwei geschlossenen Türen müssten nun jeweils Gewinnwahrscheinlichkeit 1/2 haben. Das ist im Standardproblem falsch, weil der Moderator nicht zufällig irgendeine Tür öffnet, sondern gezielt eine Ziegentür aus dem Spiel nimmt.

Ein wichtiger Streitpunkt ist aber berechtigt: Die Lösung hängt davon ab, welches Verhalten des Moderators vorausgesetzt wird. Wenn nicht klar ist, dass der Moderator immer eine nicht gewählte Ziegentür öffnen und immer einen Wechsel anbieten muss, ist die Aufgabe nicht eindeutig lösbar. Der Moderator könnte den Wechsel zum Beispiel nur anbieten, wenn der Kandidat zuerst das Auto gewählt hat; dann wäre Wechseln schlecht. Monty Hall selbst formulierte sinngemäß: Wenn der Moderator immer eine Tür öffnen und einen Wechsel anbieten muss, sollte man wechseln. Wenn er die Wahl hat, ist Vorsicht nötig; dann hängt alles von seiner Laune ab.

Wichtige Varianten

Beim faulen Moderator bevorzugt der Moderator, wenn er zwischen zwei Ziegentüren wählen kann, eine bestimmte Tür, etwa die mit der höchsten Nummer. Hat der Kandidat zuerst Tür 1 gewählt und öffnet der Moderator Tür 3, dann kann im beschriebenen Einzelfall das Auto mit gleicher Wahrscheinlichkeit hinter Tür 1 oder Tür 2 stehen. Die Gewinnchance ist dann unabhängig vom Wechsel 1/2. Öffnet der Moderator dagegen Tür 2, muss das Auto hinter Tür 3 stehen; dann gewinnt der Kandidat durch Wechseln mit Wahrscheinlichkeit 1.

Beim etwas faulen Moderator öffnet er im Wahlfall mit Wahrscheinlichkeit q die Tür mit der höchsten Zahl und mit Wahrscheinlichkeit 1−q die niedrigere. Für den Fall, dass der Kandidat Tür 1 gewählt hat und der Moderator Tür 3 öffnet, ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 2 steht: 1/(q+1). Der neutrale Moderator mit q=1/2 führt wieder zur 2/3-Lösung, der faule Moderator mit q=1 zur 1/2-Lösung.

Der unwissende Moderator kennt die Position des Autos nicht und kann auch versehentlich die Autotür öffnen. Wenn er zufällig eine der verbliebenen Türen öffnet und dabei eine Ziege zeigt, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln 1/2. Beim launischen Moderator hängt die Gewinnchance davon ab, ob und warum er überhaupt einen Wechsel anbietet. Kennt der Kandidat die Absichten des Moderators nicht, kann er durch einen fairen Münzwurf für Wechseln oder Bleiben eine Gewinnwahrscheinlichkeit von genau 1/2 sichern.

Geschichte, Literatur und Medienwirkung

Die Aufgabe wurde zuerst 1975 von Steve Selvin in The American Statistician als Wahrscheinlichkeitsproblem vorgestellt. Er bezog sich lose auf die Spielshow Let’s Make a Deal, deren Moderator Monty Hall war. 1990 veröffentlichte Marilyn vos Savant in ihrer Kolumne „Ask Marilyn“ die bekannte Version mit Türen, Auto und Ziegen. Ihre Antwort, man solle wechseln, löste viele ablehnende Leserbriefe und eine öffentliche Debatte aus.

Die New York Times versuchte 1991 die Debatte zu klären und bat unter anderem Martin Gardner, Persi Diaconis, Monty Hall und Marilyn vos Savant um Beiträge. Dabei wurde bestätigt, dass vos Savants Lösung unter den Standardannahmen korrekt ist. Zugleich wurde betont, dass die ursprüngliche Formulierung ohne klare Regeln für den Moderator mehrdeutig ist.

In der Fachliteratur werden verschiedene Modelle untersucht. Ein zentraler Unterschied ist, ob man eine wiederholbare Spielsituation mit festen Regeln betrachtet oder eine einzelne Entscheidungssituation, in der die Motivation des Moderators unbekannt sein kann. Häufig wird zwischen frequentistischer Sicht, die feste Wiederholung und Regeln voraussetzt, und bayesscher Sicht, die Wissen und Einschätzungen im Einzelfall bewertet, unterschieden. Trotz unterschiedlicher Modelle bleibt für das Standardproblem die Kernaussage: Wechseln führt mit Wahrscheinlichkeit 2/3 zum Auto, Bleiben nur mit 1/3.