Spieltheorie – einfach erklärt

Gegenstand und Anwendungsfelder

Die Spieltheorie ist eine mathematische Theorie zur Modellierung von Entscheidungssituationen, in denen mehrere Beteiligte miteinander interagieren. Ein „Spiel“ ist dabei eine Situation mit mehreren Spielern, deren Entscheidungen sich gegenseitig beeinflussen. Der Erfolg eines Einzelnen hängt deshalb nicht nur vom eigenen Handeln, sondern auch vom Verhalten der anderen ab. Es handelt sich um eine interdependente Entscheidungssituation und damit um eine Erweiterung der klassischen Entscheidungstheorie.

Die Spieltheorie ist weniger eine einheitliche Theorie als ein Satz von Analyseinstrumenten. Sie wird unter anderem im Operations Research, in der Volkswirtschaftslehre und Betriebswirtschaftslehre, in der ökonomischen Analyse des Rechts, der Politikwissenschaft, Soziologie, Psychologie, Informatik, linguistischen Textanalyse und seit den 1980er-Jahren auch in der Biologie, besonders in der evolutionären Spieltheorie, eingesetzt.

In diesem Artikel steht vor allem die nicht-kooperative Spieltheorie im Mittelpunkt. Die kooperative Spieltheorie untersucht Situationen, in denen Spieler bindende Verträge abschließen können. In der nicht-kooperativen Spieltheorie müssen sich dagegen auch mögliche Kooperationen aus dem Eigeninteresse der Beteiligten ergeben, also self-enforcing sein. Die kooperative Theorie ist als axiomatische, auszahlungsorientierte Theorie von Koalitionsfunktionen aufgebaut; die nicht-kooperative Theorie ist aktions- beziehungsweise strategieorientiert und wird als Teilgebiet der Mikroökonomik verstanden. Bekannte Konzepte der kooperativen Spieltheorie sind der Kern, die Shapley-Lösung und die Nash-Verhandlungslösung.

Modellierung, Information und Darstellungen

Um eine Situation spieltheoretisch zu untersuchen, wird sie formal als Spiel beschrieben. Festgelegt werden:

die Spieler,
der zeitliche beziehungsweise sequenzielle Ablauf,
die Handlungsoptionen oder Züge jedes Spielers in den einzelnen Stufen,
die Auszahlungsfunktion.

Die Auszahlungsfunktion ordnet jedem möglichen Spielausgang einen Auszahlungsvektor zu. Dieser legt fest, welchen Gewinn die einzelnen Spieler bei einem bestimmten Ergebnis erhalten. In der Wirtschaft kann die Auszahlung eine Geldgröße sein, in der Politikwissenschaft etwa die Zahl der Wählerstimmen und in der Biologie die Reproduktions- oder Überlebensfähigkeit.

Typische Modellierungen sind das Cournot-Duopol, in dem Firmen ihre Angebotsmengen wählen, das Bertrand-Duopol, in dem sie Angebotspreise wählen, und das Gefangenendilemma, in dem zwei Gefangene aussagen oder schweigen. In der Politikwissenschaft sind häufig Parteien oder Lobbyverbände die Spieler, in der Biologie meist Gene oder Spezies.

Die Analyse besteht grundsätzlich aus zwei Schritten: Zuerst wird das Spiel formalisiert, anschließend wird mit einem Lösungskonzept versucht, den Spielausgang oder optimale Strategien zu bestimmen. Beim Auffinden von Gleichgewichten spielen Fixpunkte eine wichtige Rolle. In der Informatik werden Suchstrategien und Heuristiken sowie Verfahren der kombinatorischen Optimierung und der künstlichen Intelligenz eingesetzt, um Spiele wie Schach, SameGame, Mancala oder Go zu lösen. Für Vier gewinnt, Qubic und Fünf in eine Reihe ist beispielsweise bekannt, dass der Spieler mit dem ersten Zug bei richtiger Strategie immer gewinnt. Bei Mühle kann der Spieler mit dem zweiten Zug immer mindestens ein Unentschieden erreichen. Dies wird als first movers advantage beziehungsweise second movers advantage bezeichnet.

Für Darstellung und Lösung ist der Informationsstand entscheidend. Vollständige Information bedeutet, dass alle Spieler die Spielregeln kennen. Perfekte Information bedeutet, dass jeder Spieler sämtliche Züge aller Spieler kennt. Perfektes Erinnerungsvermögen bedeutet, dass jeder Spieler über alle Informationen verfügt, die ihm in der Vergangenheit zugänglich waren. Standard ist ein Spiel mit vollständiger Information und perfektem Erinnerungsvermögen; perfekte Information wird meist nicht vorausgesetzt. Kartenspiele besitzen beispielsweise häufig keine perfekte Information, weil die Verteilung der Karten unbekannt ist. Bei einem Teamspiel wie Skat kann außerdem das perfekte Erinnerungsvermögen problematisch sein, weil ein Spieler den Informationskontext vergangener Entscheidungen seines Partners nicht kennt. Für jedes Spiel mit unvollständiger Information lässt sich allerdings ein strategisch äquivalentes Spiel mit vollständiger Information konstruieren.

Die Extensivform stellt den zeitlichen Ablauf als Spielbaum dar. Die Normalform enthält im Wesentlichen die Strategiemengen der Spieler und eine Auszahlungsfunktion für jede Strategiekombination; sie eignet sich besonders für gleichzeitige Entscheidungen und wird häufig als Bimatrix dargestellt. Die Agentennormalform ordnet jedem Informationsbezirk eines persönlichen Spielers einen eigenen unabhängigen Entscheider, einen Agenten, zu.

Lösungskonzepte und wichtige Spieltypen

Nach der Definition eines Spiels werden Lösungskonzepte eingesetzt. Sie sollen beispielsweise zeigen, welche Strategien optimal sind und welches Ergebnis bei ihrer Anwendung zu erwarten ist.

Das wichtigste Lösungskonzept ist das Nash-Gleichgewicht, das John Forbes Nash Jr. 1950 entwickelte. Ein Strategieprofil ist ein Nash-Gleichgewicht, wenn sich kein einzelner Spieler durch den Austausch seiner Strategie gegen eine andere Strategie verbessern kann, während die Strategien der anderen Spieler unverändert bleiben. Weitere Lösungskonzepte sind das Minimax-Gleichgewicht, das wiederholte Streichen dominierter Strategien und die Teilspielperfektheit. Für kooperative Spiele werden unter anderem der Kern, der Shapley-Wert, der Nucleolus, der Tijs-Wert, die Dutta-Ray-Lösung und die Verhandlungslösung genannt.

Eine reine Strategie ordnet jeder Spielstufe, in der ein Spieler handeln kann, genau eine verfügbare Aktion zu. Eine gemischte Strategie ordnet jeder solchen Spielstufe eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die verfügbaren Aktionen zu. Eine reine Strategie ist somit ein Spezialfall einer gemischten Strategie, bei dem die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse auf einer einzigen Aktion liegt. Für jedes Spiel mit endlichen Aktionsmengen existiert ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien; in reinen Strategien ist seine Existenz bei vielen Spielen nicht gewährleistet. Die Analyse gemischter Strategien wurde besonders durch Beiträge John Harsanyis in den 1970er- und 1980er-Jahren vorangebracht.

Ein One-Shot-Game wird nur einmal gespielt. Wird es mehrmals hintereinander durchgeführt, spricht man von einem wiederholten Spiel; die gesamte Folge der einzelnen Spiele heißt Superspiel. Man unterscheidet endlich und unendlich wiederholte Superspiele. Bei vielen endlich wiederholten Spielen wird Rückwärtsinduktion verwendet: Zuerst wird die Lösung des letzten Einzelspiels bestimmt, danach werden darauf aufbauend die Lösungen der vorhergehenden Spiele bis zum ersten Spiel ermittelt. Eine bekannte Anwendung ist das Chainstore-Paradoxon.

Bei unvollständiger, insbesondere asymmetrischer Information kennt ein Spieler nur seinen eigenen Typ, während die anderen Spieler lediglich probabilistische Erwartungen über diesen Typ haben. Reputationseffekte entstehen, wenn ein Spieler von anderen als einem bestimmten Typ erkannt werden kann. Klassische Modelle nehmen außerdem allgemein bekannte Rationalität an: Jeder Spieler ist rational und weiß, dass alle anderen rational sind, und so weiter. Theorien begrenzter Rationalität berücksichtigen dagegen kognitive Einschränkungen oder Zweifel an der Rationalität.

Die evolutionäre Spieltheorie leitet Verhalten nicht durch bewusste rationale Entscheidungen ab, sondern durch kulturelle oder genetische Evolutionsprozesse. Stabile Ergebnisse können durch statische Stabilitätskonzepte beschrieben werden. Ein wichtiges Konzept ist die evolutionär stabile Strategie, kurz ESS, von Maynard Smith und Price aus dem Jahr 1973. Evolutionstheoretisch setzt sich dabei die am besten angepasste Strategie beziehungsweise Mutante durch.

Die Mechanismus-Designtheorie kehrt die übliche Fragestellung um. Die Spieltheorie untersucht, wie rationale Spieler ein gegebenes Spiel spielen; das Mechanismus-Design entwirft dagegen zu einem gewünschten Ergebnis ein passendes Spiel beziehungsweise Regelwerk, um den Ausgang eines Prozesses zu bestimmen oder festzulegen. Dies kann auch auf Gruppen in Wirtschaft und Gesellschaft angewandt werden.

Historische Entwicklung und Bedeutung

Der historische Ausgangspunkt liegt in der Analyse des Homo oeconomicus, unter anderem durch Daniel Bernoulli, Joseph Bertrand, Antoine-Augustin Cournot (1838), Francis Ysidro Edgeworth (1881), Frederik Ludvig Bang von Zeuthen und Heinrich Freiherr von Stackelberg. Diese Untersuchungen behandelten zunächst einzelne Fragestellungen und bildeten noch keine allgemeine Theorie strategischer Interaktion. Émile Borel stellte 1921 erste allgemeinere Überlegungen an.

Die moderne Spieltheorie begann mit der formalisierten Analyse von Gesellschaftsspielen und John von Neumanns Beweis des Min-Max-Theorems im Jahr 1928. Zusammen mit Oskar Morgenstern veröffentlichte von Neumann 1944 das Buch „Spieltheorie und wirtschaftliches Verhalten“ (Theory of Games and Economic Behavior). Es verband die mathematische Theorie mit wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen und gilt als wegweisender Meilenstein. Zunächst gab es nur für Konstantsummenspiele eine Lösungsmöglichkeit. Eine allgemeine Lösung bot erst das Nash-Gleichgewicht ab 1950. Danach setzte sich die Spieltheorie zunehmend als Methodik in den Wirtschaftswissenschaften und später in weiteren Sozialwissenschaften durch.

Seit 1970 entwickelte sich das Gebiet sehr stark und weitete sich auf andere Disziplinen aus. Es entstanden unter anderem die mathematisch orientierte kombinatorische und algorithmische Spieltheorie sowie die evolutionäre Spieltheorie, die sich am weitesten von der Annahme bewusster Entscheidungen entfernt.

Die Bedeutung des Fachs zeigt sich auch in den Alfred-Nobel-Gedächtnispreisen für Wirtschaftswissenschaften. Spieltheoretische Arbeiten wurden in den genannten Preisjahren ausgezeichnet: 1994 John Forbes Nash Jr., John Harsanyi und Reinhard Selten; 1996 William Vickrey; 2005 Robert Aumann und Thomas Schelling; 2012 Alvin Roth und Lloyd S. Shapley. Herbert A. Simon erhielt 1978 und Daniel Kahneman 2002 den Preis für die Erforschung begrenzter Rationalität. Die Auszeichnung von Leonid Hurwicz, Eric S. Maskin und Roger B. Myerson im Jahr 2007 für Mechanismus-Design steht ebenfalls in engem Zusammenhang mit spieltheoretischen Fragen.

Beispiele, Grenzen und Kritik

Zu den im Artikel genannten bekannten spieltheoretischen Problemen gehören das Gefangenendilemma, das Feiglingsspiel beziehungsweise Chicken Game oder Falke-Taube-Spiel, die Hirschjagd, der Kampf der Geschlechter, das Ultimatumspiel, das Pirate Game, das Eisverkäufer-am-Strand-Problem beziehungsweise Hotellings Gesetz, der Beauty Contest, das Triell, das Braess-Paradoxon, das Teilungsproblem, das Vertrauensspiel, die Tragik der Allmende, die Dollarauktion und Matching Pennies. Als Trigger-Strategien werden Tit for Tat (Quid pro quo), Tit for Two Tats und Grim genannt.

Die Spieltheorie kann soziale Konfliktsituationen, sogenannte strategische Spiele, vielfältig abbilden und mathematisch streng analysieren. Ihre empirische Erklärungskraft wird jedoch häufig wegen unrealistischer Modellannahmen bezweifelt. Die Lösungskonzepte unterstellen eine Rationalität, die Menschen in komplexen Spielen wegen kognitiver Beschränkungen kaum vollständig erreichen. Nach Reinhard Zintl ist deshalb zwischen der Verwendung der Spieltheorie als Verhaltenstheorie und als Verfassungstheorie zu unterscheiden. Je nach Erklärungsproblem kann auch eine inkonsistente Verwendung einzelner Akteursmodelle zulässig und zweckmäßig sein.

Die kooperative Spieltheorie bleibt trotz der stärkeren Stellung der nicht-kooperativen Theorie in der universitären Lehre für die Forschung wichtig. Verhandlungstheorie und Matchingtheorie werden zu großen Teilen mit ihren Mitteln untersucht. Insgesamt bietet die Spieltheorie daher ein formales Instrumentarium, das von mathematischen Spielen bis zu wirtschaftlichen, politischen, sozialen und biologischen Interaktionen reicht, dessen Ergebnisse aber stets von den gewählten Informations- und Rationalitätsannahmen abhängen.