Gnomonische Projektion

Grundidee und Verwendung

Eine gnomonische Projektion ist eine Zentralprojektion: Das Projektionszentrum liegt im Mittelpunkt des Körpers, der abgebildet wird. Von dort aus werden Punkte auf eine Projektions- oder Abbildungsfläche übertragen. Die Abbildungsfläche kann grundsätzlich verschieden sein, zum Beispiel eine Ebene oder auch die Innenfläche einer Kugel.

Wichtig ist die gnomonische Projektion vor allem in der Kartografie und in der Kristallografie. In der Kartografie liegt das Projektionszentrum im Erdmittelpunkt. Besonders bedeutsam sind gnomonische Azimutalprojektionen, bei denen die Projektionsfläche eine Ebene ist. In der Kristallografie liegt das Projektionszentrum im Mittelpunkt des Kristalls.

Die Projektion kann stark verzerren, besonders zu den Rändern der Abbildung hin. Deshalb eignet sie sich nicht für topografische Karten, also Karten, die Gelände und genaue Lageverhältnisse möglichst wirklichkeitsnah darstellen sollen.

Geradentreue und Navigation

Gnomonische Azimutalprojektionen sind geradentreu. Das bedeutet: Alle Großkreise auf der Erdoberfläche werden als Geraden dargestellt. Ein Großkreis ist ein Kreis auf der Kugeloberfläche, dessen Ebene durch den Kugelmittelpunkt geht. Auf der Erde entsprechen solche Großkreise den Orthodromen, also den kürzesten Wegen zwischen zwei Punkten auf der Kugeloberfläche.

Diese Eigenschaft ist für die Navigation wichtig. Wenn man von einem Punkt auf kürzestem Weg zu einem anderen gelangen will, kann man in einer Karte mit gnomonischer Azimutalprojektion die beiden Punkte durch eine gerade Linie verbinden. Die so gefundene Linie entspricht einer Orthodrome. Solche Karten werden deshalb zusammen mit winkeltreuen Karten in der See- und Luftnavigation sowie in der Funknavigation verwendet.

In der Kristallografie wird genutzt, dass Pole tautozonaler Flächen in gnomonischer Azimutalprojektion auf Geraden liegen.

Abbildungsbereich und Verzerrung

Eine gnomonische Azimutalprojektion kann den offenen Halbraum abbilden, der am Projektionszentrum beginnt und in dem die Abbildungsebene liegt. Ein Großkreis, der in der Begrenzung dieses Halbraumes liegt, wird ins Unendliche projiziert. Im Artikel wird als Beispiel der Äquator in einer Abbildung genannt.

Die Verzerrungen nehmen mit wachsender Entfernung vom Mittelpunkt der Projektion stark zu. Deshalb beschränkt man die Projektion meist auf einen Winkelbereich von höchstens 60° um die Mittelachse. Dieser begrenzte Bereich soll verhindern, dass die Darstellung zu stark verzerrt und dadurch schwer verwendbar wird.

Normale polare Lage

In der normalen, auch polaren Lage berührt die Projektionsebene die Erde in einem Pol. Dann werden die Breitenkreise als konzentrische Kreise um den Pol dargestellt. Konzentrische Kreise haben denselben Mittelpunkt. Die Meridiane, also die Längenkreise, erscheinen als radiale Geraden, die vom Pol aus nach außen laufen.

Der Kartennetzentwurf in dieser Lage kann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Für die Polarkoordinaten der Karte gelten die Abbildungsgleichungen:

α = λ

r = m · tan δ

Dabei ist α das Azimut, λ die geographische Länge, m der Maßstabsfaktor, r der Radius und δ das Breitenkomplement. Das Breitenkomplement ist definiert als δ = 90° − geographische Breite.

Transversale und schiefe Lage

Bei der transversalen Lage liegt der Berührungspunkt der Projektionsebene auf dem Äquator. Die Meridiane werden dann als parallele Geraden dargestellt. Die Breitenkreise erscheinen als Hyperbeln. Der Äquator selbst wird zu einer Geraden, die die Meridiane senkrecht schneidet.

Bei der schiefen Lage berührt die Karte einen beliebigen Punkt der Erdoberfläche. Im Artikel wird als Beispiel Japan genannt. Auch in dieser Lage werden die Meridiane als Geradenbündel abgebildet. Die Breitenkreise werden zu Kegelschnitten. Kegelschnitte sind Kurven wie Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln, die durch Schnitte an einem Kegel entstehen können.

Anschauliches Modell

Die gnomonische Azimutalprojektion lässt sich mit einem beleuchteten Globus veranschaulichen. Stellt man sich vor, der Globus werde von innen durch eine nahezu punktförmige Lichtquelle im Zentrum beleuchtet, dann wird die Globusoberfläche auf eine ebene Wand oder auf die Zimmerdecke projiziert. Dieses Bild an der Wand oder Decke entspricht der gnomonischen Azimutalprojektion.

Wenn die Globusachse senkrecht zur Decke steht, werden alle Parallelkreise als konzentrische Kreise dargestellt. Bei schräger Lage erscheinen sie als Ellipsen und Hyperbeln. Die Meridiane bleiben dagegen gerade.