Brennweite

Bedeutung und ideale Definition

Die Brennweite ist eine zentrale Größe der Optik. Sie bestimmt, wie groß das Bild ist, das ein optisches System von einem Gegenstand erzeugt. In der idealisierten, paraxialen Optik wird sie außerdem als Abstand aufgefasst: Die bildseitige Brennweite f′ ist der Abstand zwischen der bildseitigen Hauptebene und dem bildseitigen Fokus oder Brennpunkt. Eine Hauptebene ist dabei eine theoretische Bezugsebene des optischen Systems. Bei einem gewölbten Spiegel wird vom Spiegelscheitel aus gemessen.

Die ideale Abbildung nimmt an, dass sich ein beliebig komplexes optisches System für paraxiale Strahlen durch vier Kardinalpunkte ersetzen lässt: zwei Hauptpunkte und zwei Brennpunkte. Paraxial sind Strahlen, die sehr nahe an der optischen Achse verlaufen und nur kleine Winkel zu ihr bilden. Zusätzlich werden die Dicken der Linsen als vernachlässigbar betrachtet. Diese Vereinfachung heißt nach Carl Friedrich Gauß Gauß’sche oder Gaußische Abbildung.

Eine Sammellinse vereinigt ein parallel einfallendes Strahlenbündel in einem hinter ihr liegenden Brennpunkt. Eine Zerstreuungslinse lenkt es so auseinander, als kämen die Strahlen aus einem vor der Linse liegenden Fokus. Beim Hohlspiegel liegt der Brennpunkt vor dem Spiegel; beim Konvexspiegel werden die Strahlen so zerstreut, als stammten sie aus einem Fokus hinter dem Spiegel.

Brennweite realer optischer Systeme

Reale optische Systeme erfüllen die Voraussetzungen der paraxialen Optik nur näherungsweise. Sie brauchen eine Öffnung, damit genügend Licht und damit Energie übertragen wird. Viele Strahlen verlaufen daher in deutlichem Abstand von der optischen Achse. Reale Linsen besitzen außerdem erhebliche Dicken; bei handelsüblichen Fotoobjektiven kann die Summe der Glas- und Luftlinsendicken sogar die Brennweite übertreffen. Schließlich treffen Lichtbüschel aus seitlichen Bereichen des Gegenstandsraums schräg ein. Ein fotografisches Normalobjektiv benötigt beispielsweise einen Bildwinkel von etwa 45…50 Grad.

Dadurch ist die Lage des bildseitigen Hauptpunkts nicht eindeutig. Bei sphärischer Aberration, also dem Kugelgestaltsfehler, hängt sie von der Einfallshöhe der Strahlen ab. Selbst bei sphärisch korrigierten, lichtstarken Mehrlinsensystemen kann die sogenannte Hauptebene gekrümmt sein. Strahlen unterschiedlicher Höhe können dieselbe Bildschnittweite, aber verschiedene nach der Gauß’schen Konstruktion bestimmte Brennweiten besitzen. Deshalb wird für reale Systeme eine Definition über die Bildgröße verwendet.

Nach der auf Johannes Hartmann zurückgehenden Definition ist die Brennweite das Verhältnis der linearen Größe des Bildes eines unendlich fernen Objekts zu dessen scheinbarer Größe, genauer der Grenzwert dieses Verhältnisses bei abnehmender scheinbarer Objektgröße. DIN 4521 formuliert dafür f = lim(l′/w) für w → 0 beziehungsweise f = lim(l′/tan w) für w → 0. l′ ist die lineare Bildgröße und w die scheinbare Größe beziehungsweise der Sehwinkel. Für ein Objekt bekannter Winkelausdehnung ω gilt l′ = f′ · tan ω und damit f′ = l′/tan ω. Die Norm bezieht die Brennweite, sofern nichts anderes angegeben ist, auf die mittlere sichtbare Wellenlänge λ = 5,5 · 10⁻⁵ cm.

Der rechnende Optiker verbindet die Brennweite deshalb vor allem mit der Bildgröße. Für einen axialen Abstand wird die Schnittweite verwendet, gemessen vom Schnittpunkt des bildseitigen Linsenscheitels mit der optischen Achse. Bei Verzeichnung kann die Brennweite über das Bildfeld variieren: Die Bildgrößen ändern sich und das Bild wird verzerrt, obwohl die Abbildung scharf sein kann.

Brechkraft und optische Anwendungen

Der Kehrwert der Brennweite heißt Brechkraft oder Brechwert: D = 1/f. Seine Einheit ist die Dioptrie. Mit Brechkräften und Vergenzen lassen sich Beziehungen zwischen den Kehrwerten von Brennweite, Gegenstandsweite und Bildweite besonders einfach ausdrücken. Für eng benachbarte dünne Linsen ist die Gesamtbrechkraft die Summe der einzelnen Brechkräfte. Eine Lesebrille, die ein vollständig fernakkommodiertes Auge auf 0,25 m Leseabstand einstellt, benötigt daher 1/(0,25 m) = +4 dpt.

Bei realen Brillengläsern wird häufig nicht die Brennweite, sondern die Schnittweite beurteilt, weil die Lage des Hauptpunkts nicht genau festgelegt werden kann. Der Kehrwert der vom bildseitigen Linsenscheitel gemessenen Schnittweite heißt Scheitelbrechwert und wird ebenfalls in Dioptrien angegeben.

In der Fotografie bestimmen Brennweite und Aufnahmeformat gemeinsam den Bildwinkel. Beim Mikroskop gilt dies entsprechend für das Zwischenbild. Bei Fernrohren und Ferngläsern bestimmen die Brennweiten von Objektiv und Okular zusammen die Vergrößerung.

Messverfahren

Für eine dünne Linse gilt bei scharfer Abbildung die Abbildungsgleichung 1/f = 1/b + 1/g. Dabei ist g die Gegenstandsweite und b die Bildweite. Befindet sich der Gegenstand sehr weit entfernt, ist 1/g nahezu null. Dann gilt näherungsweise f = b: Die Brennweite kann als Abstand zwischen Linse und dem scharfen Bild des entfernten Gegenstands gemessen werden, beispielsweise mit dem Bild eines Fensters oder weit entfernter Häuser auf einer Projektionsfläche.

Die Autokollimation kommt ohne weit entferntes Objekt aus und ersetzt es durch einen planen Spiegel. Beim Bessel-Verfahren bleiben Objekt und Bild in festem Abstand. Es gibt zwei Linsenpositionen, in denen ein scharfes Bild entsteht; aus dem Abstand dieser Positionen und dem Abstand zwischen Objekt und Bild wird die Brennweite berechnet.

Bei dicken Linsen und Systemen aus mehreren Komponenten darf der Abstand der Hauptebenen meist nicht vernachlässigt werden. Das Abbe-Verfahren erfasst mehrere Positionen, in denen das System Objekte scharf abbildet. Diese Messpunkte erfüllen eine Geradengleichung; aus deren Parametern lassen sich Brennweite und Lage der Hauptebenen bestimmen. Asphärische Brillengläser und die örtlich veränderliche Brechkraft von Gleitsichtgläsern werden durch Wellenfrontanalyse untersucht, meist mit einem Hartmann-Shack-Sensor. Die automatisierten Geräte heißen aus historischen Gründen Scheitelbrechwertmesser.

Berechnung für Flächen und Linsen

Eine brechende Fläche ist die Grenzschicht zweier optischer Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes n und n′. Ihr Krümmungsradius r ist positiv, wenn der Kreismittelpunkt auf der vom einfallenden Licht abgewandten Seite liegt, andernfalls negativ. Für eine ebene Fläche gilt r = ∞. Bei Lichteinfall von links lauten die Brennweiten f′ = r · n′/(n′ − n) und f = r · n/(n − n′) = −r · n/(n′ − n).

Eine Linse der Dicke d besteht aus zwei brechenden Grenzflächen. Aus deren Brennweiten ergibt sich die bildseitige Linsenbrennweite f′ = f′₁f′₂/(d − f′₁ − f₂). Mit den Krümmungsradien r₁ und r₂ gilt außerdem 1/f′ = ((n′ − n)/n) · (1/r₁ − 1/r₂) + ((n′ − n)²d)/(n′nr₁r₂). Gegenstands- und bildseitige Brennweite sind gleich groß, wenn auf beiden Seiten der Linse Medien mit demselben Brechungsindex n liegen.

Für eine dünne Linse gilt d ≪ f und näherungsweise d ≈ 0. Ihre Hauptebenen fallen in der Mittelebene zusammen. Damit vereinfacht sich die Linsenschleiferformel zu 1/f′ = 1/f = ((n′ − n)/n) · (1/r₁ − 1/r₂). Mit dem Vorderflächenbrechwert D₁ = (n′ − n)/(nr₁) und dem Rückflächenbrechwert D₂ = (n − n′)/(nr₂) lässt sie sich als D = D₁ + D₂ schreiben.

Linsensysteme, Fotografie und Abbildungsfehler

Für zwei dünne Linsen im gleichen umgebenden Medium und mit dem Abstand d gilt 1/f′ = 1/f′₁ + 1/f′₂ − d/(f′₁f′₂) = 1/f₁ + 1/f₂ − d/(f₁f₂) = 1/f. Damit ist auch für das Gesamtsystem f′ = f. Liegen die Linsen eng beieinander, sodass d ≪ f₁, f₂, kann der Abstand vernachlässigt werden: 1/f′ = 1/f = 1/f₁ + 1/f₂. Diese Näherung wird etwa für zusammengekittete Doppellinsen aus verschiedenen Glassorten verwendet. Sie können geringere Abbildungsfehler besitzen, beispielsweise beim Achromaten.

In der Fotografie ergibt sich der Bildwinkel aus Brennweite und Aufnahmeformat beziehungsweise Sensorgröße. Bei gleichem Format führt eine größere Brennweite zu einem kleineren Bildwinkel und eine kleinere Brennweite zu einem größeren Bildwinkel. Eine Brennweite ungefähr in Höhe der Formatdiagonale heißt Normalbrennweite; beim Kleinbildformat gelten etwa 40 bis 55 mm als Normalobjektiv. Kürzere Brennweiten gehören zu Weitwinkelobjektiven, die bei gleichem Abstand mehr vom Motiv erfassen. Größere Brennweiten gehören zu Teleobjektiven, mit denen entfernte Motive formatfüllend aufgenommen werden können. Zoomobjektive besitzen eine veränderliche Brennweite. Festbrennweiten lassen keine Brennweitenänderung zu und können wegen ihres einfacheren Aufbaus eine höhere Abbildungsleistung und Lichtstärke erreichen, während Zoomobjektive flexibler sind.

Abbildungsfehler zeigen, weshalb eine eindeutige Brennweite streng genommen nur in der paraxialen Optik definiert ist. Bei sphärischer Aberration schneiden achsenferne Strahlen die Achse an anderen Stellen als achsennahe Strahlen. Chromatische Aberration entsteht, weil der Brechungsindex und damit die Brennweite von der Wellenlänge abhängen; unterschiedliche Farben werden an verschiedenen Punkten fokussiert. Ist eine Linse nicht rotationssymmetrisch, sondern ellipsoid, entstehen je nach Orientierung unterschiedliche Bildweiten. Ein volles Lichtbündel wird dann nicht in einem Punkt, sondern in zwei hintereinanderliegenden Brennlinien fokussiert. Dieser Fehler heißt axialer Astigmatismus.