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Zeitdilatation
Die Zeitdilatation (von lateinisch dilatare, ‚dehnen', ‚aufschieben') ist ein Effekt, der durch die Relativitätstheorie beschrieben wird.
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Grundidee
Zeitdilatation ist ein Effekt der Relativitätstheorie: Zeitabstände können für verschiedene Beobachter unterschiedlich ausfallen. Es gibt zwei Hauptformen. Die Zeitdilatation durch relative Bewegung gehört zur speziellen Relativitätstheorie von Einstein (1905). Sie bedeutet: Für einen äußeren Beobachter laufen alle inneren Vorgänge eines relativ zu ihm bewegten Systems langsamer ab. Kurz: „Bewegte Uhren gehen langsamer.“ Da Bewegung relativ ist, sieht jeder Beobachter die Uhr des jeweils anderen Systems langsamer gehen. Der Effekt wächst mit der Relativgeschwindigkeit und wird besonders groß, wenn diese sich der Lichtgeschwindigkeit nähert.
Die zweite Form ist die gravitative Zeitdilatation der allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein (1915). In einem stärkeren Gravitationsfeld vergeht Zeit langsamer als in einem schwächeren. Auf der Erdoberfläche vergeht die Zeit um 7·10^{−10} langsamer als im fernen, näherungsweise gravitationsfreien Weltraum. Anders als bei Bewegung ist dieser Effekt nicht wechselseitig: Ein Beobachter weiter oben sieht die Uhr weiter unten langsamer laufen, und der Beobachter weiter unten sieht die Uhr weiter oben schneller laufen.
Mit Zeitdilatation hängt die Relativität der Gleichzeitigkeit zusammen: Es gibt keine universelle Zeit, die für alle Beobachter gleich ist. Zeitdilatation und Lorentz-Kontraktion sind geometrische Effekte der vierdimensionalen Raumzeit.
Bewegte Uhren
Die Zeitdilatation durch Bewegung beruht auf der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit: Alle Beobachter messen für Licht denselben Wert, unabhängig von ihrer eigenen Bewegung oder der Bewegung der Lichtquelle. Ein anschauliches Beispiel ist ein schnell fahrender Zug. Für Personen im Zug läuft ein Lichtstrahl von der Decke senkrecht zum Boden, etwa 3 m in 0,01 μs. Vom Bahndamm aus betrachtet fährt der Zug währenddessen weiter; der Lichtweg ist dadurch schräg und länger, zum Beispiel 3,16 m. Da die Lichtgeschwindigkeit gleich bleibt, ergibt sich für den Beobachter am Bahndamm eine längere Zeit, etwa 0,0105 μs. Daraus folgt: Im Zug ist weniger Zeit vergangen; die bewegte Uhr geht aus Sicht des ruhenden Beobachters langsamer.
Für die Rechnung wird der Lorentz-Faktor verwendet:
γ = 1 / √(1 − (v/c)^2)
Dabei ist v die Relativgeschwindigkeit und c die Lichtgeschwindigkeit. Für eine bewegte Uhr mit Eigenzeit T0′ und eine ruhende Messzeit T gilt:
T0′ = T / γ
oder umgestellt:
T = T0′γ
Die Eigenzeit ist die Zeit, die eine Uhr in ihrem eigenen Ruhesystem misst. Die scheinbare Gegenseitigkeit führt nicht zu einem Widerspruch, weil die Synchronisierung entfernter Uhren vom Bezugssystem abhängt. Uhren, die in einem System synchron sind, sind es in einem relativ dazu bewegten System wegen der Relativität der Gleichzeitigkeit nicht unbedingt.
Zeitdilatation ist eng mit der Längenkontraktion verbunden. Während für die Zeit gilt T = T0γ, gilt für die Länge eines bewegten Objekts L = L0/γ. Bewegte Uhren messen also eine kleinere Eigenzeit, bewegte Maßstäbe erscheinen in Bewegungsrichtung verkürzt.
Eigenzeit und Raumzeit
Im Minkowski-Raum werden Raum und Zeit gemeinsam als vierdimensionale Raumzeit beschrieben: eine Zeitdimension und drei Raumdimensionen. Das Linienelement lautet:
ds² = c²dt² − dx² − dy² − dz²
Wichtig ist die Eigenzeit τ. Sie ist die Zeit, die in dem Inertialsystem vergeht, in dem das betrachtete Objekt ruht. Das Linienelement ist lorentz-invariant, also in allen Inertialsystemen gleich. Im Ruhesystem gilt dt = dτ und dx = dy = dz = 0, daher:
ds² = c²dτ²
Für ein bewegtes Objekt folgt:
dτ = dt √(1 − v²(t)/c²) = dt/γ
Die gesamte Eigenzeit erhält man durch Integration:
τ = ∫₀ᵗ √(1 − v²(t′)/c²) dt′
Die Eigenzeit einer Uhr entlang ihrer Weltlinie ist invariant: Alle Inertialsysteme stimmen darin überein, welche Zeit diese Uhr zwischen zwei Ereignissen selbst angezeigt hat. Zwischen zwei Ereignissen auf der Weltlinie einer unbeschleunigten Uhr ist die Eigenzeit kleiner als die mit synchronisierten Uhren gemessene Koordinatenzeit in anderen Inertialsystemen. Wenn jedoch eine Uhr beschleunigt wird und ihre Weltlinie sich erneut mit der einer unbeschleunigten Uhr schneidet, kann die gerade Weltlinie der unbeschleunigten Uhr eine größere Eigenzeit aufweisen. Das erklärt die Asymmetrie im Zwillingsparadoxon.
Beschleunigung und Raumfahrt
Beschleunigung verursacht nach dem Artikel keine zusätzliche relativistische Zeitwirkung, die mit Gravitation vergleichbar wäre. Bei Änderungen der Relativgeschwindigkeit ändert sich aber die Desynchronisierung der Uhren des beobachteten Systems. Dieser Effekt ist geometrisch bedingt und hängt von Entfernung und Richtung ab. Die Gangabweichung zwischen zwei lokalen Uhren kann mit τΔ = −Δl′v/c² beschrieben werden; bei Geschwindigkeitsänderung gilt τΔ = −x′Δv/c².
Bei Bewegung mit konstanter Kraft F auf relativistische Geschwindigkeiten muss zwischen der Uhr eines ruhenden Beobachters und der Borduhr unterschieden werden. Für einen Testkörper der Masse M gilt a = F/M. Bei Startgeschwindigkeit v0 wird γ0 = 1 / √(1 − v0²/c²) eingeführt. Die Geschwindigkeit ist dann:
v(t) = (at + v0γ0) / √(1 + (at + v0γ0)²/c²)
Die Eigenzeit im beschleunigten System ergibt sich durch Einsetzen von v(t) in das Eigenzeit-Integral. Der zurückgelegte Weg im System des ruhenden Beobachters ergibt sich durch Integration von v(t).
Ein Beispiel ist eine Reise zu einem 28 Lichtjahre entfernten Stern mit anfänglicher Beschleunigung g = 9,81 m/s². Das Raumschiff beschleunigt bis zur halben Strecke, verzögert dann ebenso stark, bleibt sechs Monate und kehrt genauso zurück. Für den Reisenden vergehen 13 Jahre, 9 Monate und 16 Tage; auf der Erde vergehen 60 Jahre, 3 Monate und 5 Stunden. Bei einer Reise zur etwa 2 Millionen Lichtjahre entfernten Andromedagalaxie würden auf der Erde etwa 4 Millionen Jahre vergehen, für den Reisenden ungefähr 56 Jahre. Das Raumschiff überschreitet dabei nie die Lichtgeschwindigkeit; in der Praxis ist ein solcher Antrieb derzeit nicht realisierbar.
Gravitation
Gravitative Zeitdilatation beschreibt den unterschiedlichen Zeitablauf von Systemen, die in verschiedenen Entfernungen von einem Gravitationszentrum ruhen, etwa von einem Stern oder Planeten. Sie entsteht nicht durch eine mechanische Wirkung auf Uhren, sondern ist eine Eigenschaft der Raumzeit. Ein damit verbundener Effekt ist die gravitative Rotverschiebung.
Die allgemeine, von der Metrik abhängige Formel für zwei stationäre Beobachter lautet:
dt/dτ = √g^{tt}
In der Schwarzschildmetrik gilt:
g^{tt} = 1/(1 − rs/r) und g_tt = 1/g^{tt}
Wenn ein Beobachter im Gravitationsfeld zusätzlich bewegt ist, wird mit dem Lorentz-Faktor multipliziert. Dann kommen eine gravitative und eine kinematische Komponente zusammen: Gravitation lässt die Uhr im Gravitationsfeld absolut langsamer ticken, Bewegung führt zur wechselseitigen Verlangsamung der jeweils anderen Uhr. Beim freien Fall aus dem Unendlichen heben sich beide Effekte aus Sicht des frei fallenden Beobachters exakt auf.
Im schwachen Schwerefeld der Erde kann man näherungsweise das newtonsche Gravitationspotential verwenden:
τ = t0 √(1 + 2φ/c²)
Nahe der Erdoberfläche gilt φ = gh. Pro Meter Höhendifferenz beträgt die Zeitdilatation 1.1e^{−16}. In 300 km Höhe vergehen pro „Erdbodensekunde“ 1 + 3.27e^{−11} s, also etwa eine Millisekunde pro Jahr mehr. Bei einer Kreisbahn mit dem 1,5-Fachen des Erdradius, also etwa 3200 km Höhe, heben sich die geringere gravitative Verlangsamung und die Bewegungs-Zeitdilatation der Kreisbahn ungefähr auf. Zur Altersdifferenz zwischen Erdmittelpunkt und Erdoberfläche werden im Artikel unterschiedliche Aussagen genannt: Feynman sprach von ein oder zwei Tagen; 2016 wurde klassisch näherungsweise 2,49 Jahre angegeben; Okun et al. und Rybicki widersprechen dieser einfachen Erklärung und nennen 1,58 Jahre in umgekehrter Richtung.
Nachweise und Nutzung
Zeitdilatation wurde experimentell mehrfach bestätigt. Ein erster direkter Nachweis der Bewegungs-Zeitdilatation gelang mit dem Ives-Stilwell-Experiment von 1939 durch Messung des relativistischen Dopplereffekts. Weitere Nachweise lieferten Mößbauer-Rotor-Experimente in den 1960er Jahren und moderne Ives-Stilwell-Varianten mit Sättigungsspektroskopie. Dabei wurde eine mögliche Abweichung der Zeitdilatation bis auf 8,4·10^{−8} reduziert.
Auch Teilchen liefern Nachweise. In 9 bis 12 km Höhe entstehen durch kosmische Strahlung Myonen. Sie bewegen sich fast mit Lichtgeschwindigkeit zur Erdoberfläche und können dort nur wegen der relativistischen Zeitdilatation nachgewiesen werden; ohne diesen Effekt läge ihre mittlere Reichweite nur bei etwa 600 m. Tests mit Pionen, Myonen und Kaonen in Teilchenbeschleunigern bestätigten die Zeitdilatation ebenfalls.
Die gravitative Zeitdilatation wurde 1960 im Pound-Rebka-Experiment von Robert Pound und Glen Rebka nachgewiesen. 1976 startete die NASA eine Scout-D-Rakete mit einer Atomuhr und verglich ihre Frequenz mit einer baugleichen Uhr auf der Erde.
Beim Hafele-Keating-Experiment 1971 flogen Joseph Hafele und Richard Keating mit vier Atomuhren ostwärts und westwärts um die Welt. Die gemessenen Verschiebungen gegenüber Atomuhren am Boden bestätigten die Vorhersagen der Relativitätstheorien. Praktisch wichtig ist Zeitdilatation besonders für GPS und andere Satellitennavigationssysteme: Die Satellitenuhren sind sowohl durch Gravitation als auch durch ihre Bewegung beeinflusst, deshalb müssen diese Effekte korrigiert werden.
