Z-Transformation

Kernidee und Zweck

Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich, also zyklisch, abgetasteten Signalen sowie linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Sie gilt für Signale im diskreten Zeitbereich, also für Wertefolgen. Die Laplace-Transformation erfüllt eine ähnliche Rolle für kontinuierliche Signale und Systeme.

Wichtig ist die z-Transformation vor allem in der digitalen Steuerungs- und Regelungstechnik sowie bei digitalen Filtern. Sie macht aus Wertefolgen und systembeschreibenden Differenzengleichungen algebraisch handhabbare z-Übertragungsfunktionen. Diese dienen zur Systemanalyse, besonders zur Untersuchung des Systemverhaltens bei verschiedenen Eingangssignalen und zur Stabilitätsanalyse.

Ein zeitdiskretes Signal entsteht, wenn ein kontinuierliches Signal in festen Zeitabständen abgetastet wird. Die Abtastzeit wird mit T_A bezeichnet, die Abtastfolge mit k = (0, 1, 2, 3, ...). Ein Wert des Signals zum Zeitpunkt k · T_A wird zum Beispiel als f(k · T_A), f_(k), u_(k) oder y_(k) geschrieben. Die z-Variable ist z = e^(T_A · s), wobei s die Laplace-Variable ist.

Die z-Transformation hat für diskrete Systeme dieselbe Bedeutung wie die Laplace-Transformation für kontinuierliche Systeme. Dabei ist zu beachten: Dirac-Impulse als unendlich hohe und schmale Impulse sind nur ein mathematisches Modell. In der Realität muss die Abtastzeit klein gegenüber den Systemzeitkonstanten sein, sonst werden die Ergebnisse ungenau. Rekursive Differenzengleichungen liefern daher meist Annäherungen an eine gewünschte Originalfunktion.

Definitionen und Grundregeln

Die bilaterale z-Transformation eines Signals x[k] ist die formale Laurent-Reihe X(z) = Z{x[k]} = Summe von k = -∞ bis ∞ aus x[k] z^(-k). Dabei durchläuft k alle ganzen Zahlen. z ist im Allgemeinen komplex und kann als z = A e^(jφ) = σ + jω geschrieben werden. A ist der Betrag, φ der Winkel; σ und ω sind Real- und Imaginärteil. Unter Konvergenzbedingungen ist die z-Transformierte eine holomorphe Funktion auf einem Kreisring der komplexen Ebene.

Die unilaterale z-Transformation betrachtet nur nichtnegative k-Werte. Sie ist definiert durch X(z) = Z{x[k]} = Summe von k = 0 bis ∞ aus x[k] · z^(-k). Sie wird in der Signalverarbeitung für kausale Signale verwendet, also für Signale, die ab k = 0 betrachtet werden.

Wichtige Rechenregeln sind:

• Linearität: Z(a_1 x_1[k] + a_2 x_2[k]) = a_1 Z(x_1[k]) + a_2 Z(x_2[k]).
• Rechtsverschiebung: Z(x[k - n]) = z^(-n) Z(x[k]).
• Linksverschiebung: Z(x[k + n]) = z^n (Z(x[k]) - Summe von i = 0 bis n - 1 aus x[i] z^(-i)).
• Faltung: Z(x[k] * y[k]) = Z(x[k]) Z(y[k]).
• Differentiation: Z(k x[k]) = -z · ∂Z(x[k]) / ∂z.

Für die unilaterale z-Transformation gelten zusätzlich unter anderem der Summensatz, Differenzensätze und Grenzwertsätze. Der Anfangswert ergibt sich aus f_0 = lim z→∞ F(z). Für den Endwert gilt, sofern anwendbar: lim k→∞ f_k = lim z→1 (z - 1)F(z). Für Stabilität wird genannt: |z_PK| < 1 führt zu asymptotischer Stabilität.

Rücktransformation und Korrespondenzen

Die inverse z-Transformation führt aus dem z-Bereich zurück in den diskreten Zeitbereich. Allgemein kann sie mit dem komplexen Umlaufintegral x[k] = Z^(-1){X(z)} = 1/(2πi) ∮_C X(z) z^(k-1) dz berechnet werden. C ist eine geschlossene Kurve um den Ursprung, die im Konvergenzbereich von X(z) liegt.

Für die inverse unilaterale z-Transformation werden Bedingungen genannt: F(z) ist holomorph in einem Gebiet |z| > R und lim z→∞ F(z) < ∞. Mit Residuen gilt f(0) = lim z→∞ F(z) und für k ≥ 1: f(kT) = Summe der Residuen Res_(z=z_i)(F(z) z^(k-1)). Alternativ kann F(z) · z^(k-1) in eine Laurent-Reihe entwickelt werden. Die Zeitfunktion ist dann der Koeffizient A_(-1) der Laurent-Reihe, also f(kτ) = A_(-1).

In der Praxis werden Transformation und Rücktransformation häufig über Korrespondenztabellen durchgeführt. Beispiele aus solchen Tabellen sind: Der δ-Impuls hat die z-Transformierte 1. Der Einheitssprung 1 hat die z-Transformierte z/(z - 1). Für e^(-a t) ergibt sich z/(z - e^(-a T_A)). Für eine Potenzfolge a^k gilt z/(z - a). Für sin(a k) gilt z · sin a / (z² - 2z · cos a + 1), für cos(a k) gilt z · (z - cos a) / (z² - 2z · cos a + 1).

Für die Rücktransformation in den diskreten Zeitbereich f(kT_A) werden drei Verfahren genannt: Polynomdivision, Partialbruchzerlegung und Auswertung des Umkehrintegrals mit dem Residuensatz. Bei der Polynomdivision wird F(z) in eine Potenzreihe nach z^(-i) entwickelt; die Vorfaktoren liefern die Werte der Zahlenfolge. Bei der Partialbruchzerlegung sollen die Partialbrüche die Form z/(z - z_i) haben, damit die Korrespondenztabelle direkt genutzt werden kann.

Differenzengleichungen und diskrete Systeme

Zeitdiskrete dynamische Systeme werden häufig durch Differenzengleichungen beschrieben. Eine Differenzengleichung berechnet die aktuelle Ausgangsgröße y_(k) aus Systemparametern, dem aktuellen oder früheren Eingang u_(k) und früheren Ausgangswerten. Sie ersetzt bei numerischen Verfahren die Differentialquotienten kontinuierlicher Differentialgleichungen durch Differenzenquotienten.

Ein einfaches Beispiel ist der Rückwärts-Differenzenquotient: Δy/Δt = (y_(k) - y_(k-1)) / Δt. Beim I-Glied mit G(s) = Y(s)/U(s) = 1/(T_I · s) lautet die Differentialgleichung T_I · ẏ(t) = u(t). Durch Einsetzen des Differenzenquotienten erhält man T_I · (y_(k) - y_(k-1))/Δt = u_(k) und daraus die Differenzengleichung y_(k) = y_(k-1) + u_(k) · Δt/T_I.

Eine solche Gleichung ist rekursiv, weil jedes neue Folgeglied auf einem vorherigen Folgeglied beruht. Mit einem Computer kann so das Verhalten eines dynamischen Systems oder Regelkreises über eine endliche Anzahl k_max von Berechnungsschritten simuliert werden.

Für Differenzengleichungen höherer Ordnung werden auch weiter zurückliegende Werte verwendet. Aus einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung entsteht allgemein eine Differenzengleichung der Form y_(k) = b_0 u_(k) + b_1 u_(k-1) + ... + b_m u_(k-m) - a_1 y_(k-1) - a_2 y_(k-2) - ... - a_n y_(k-n). Hierbei sind n und m die höchsten Ableitungen der Ausgangs- und Eingangssignale in der ursprünglichen Differentialgleichung. Für die ersten Ableitungen werden zum Beispiel verwendet: ẏ(t) ≈ (y_(k) - y_(k-1))/T_A, ÿ(t) ≈ (y_(k) - 2y_(k-1) + y_(k-2))/T_A², y^(3)(t) ≈ (y_(k) - 3y_(k-1) + 3y_(k-2) - y_(k-3))/T_A³.

Als Beispiel wird ein PT2-Glied mit konjugiert komplexen Polen behandelt: 0,25ÿ(t) + 0,125ẏ(t) + y(t) = 1(t), bei T_A = 0,01 s. Nach Einsetzen der Differenzenquotienten ergibt sich eine rekursive Gleichung für y_(k), mit λ = 0,25/T_A² + 0,125/T_A + 1. Für T_A = 0,01 ist λ = 2513,5; einige berechnete Werte sind y_(0) = 0,0004, y_(1) = 0,0012, y_(2) = 0,0024 und y_(157) = 1,652.

z-Übertragungsfunktionen und Regelung

Eine z-Übertragungsfunktion beschreibt ein zeitdiskretes System im z-Bereich. Sie hat die Form G(z) = Y(z)/U(z) = Zählerpolynom(z) / Nennerpolynom(z). Sie entsteht, indem eine Differenzengleichung mit Linearitäts- und Verschiebungssätzen in den z-Bereich transformiert wird. Umgekehrt kann man aus einer z-Übertragungsfunktion durch kreuzweise Multiplikation der Polynome und inverse Anwendung des Verschiebungssatzes wieder eine Differenzengleichung gewinnen.

Für ein allgemeines System lautet eine z-Übertragungsfunktion zum Beispiel G(z) = (b_m z^m + b_(m-1) z^(m-1) + ... + b_1 z + b_0) / (a_n z^n + a_(n-1) z^(n-1) + ... + a_1 z + a_0). Oft wird sie mit negativen Potenzen von z geschrieben. Bei positiven Exponenten muss gelten: Grad des Nennerpolynoms ≥ Grad des Zählerpolynoms. Ist diese Bedingung erfüllt, ist G(z) kausal.

Eine Totzeit T_t hat im Zeitbereich y(t) = u(t - T_t). Im s-Bereich lautet das Totzeitglied e^(-s T_t), was in Verbindung mit rationalen Übertragungsfunktionen eine transzendente Funktion ergibt. Im z-Bereich entspricht eine Totzeit T_t = d · T_A dagegen einer Rechtsverschiebung um d Abtastschritte: u_(k-d) entspricht z^(-d) · U(z). Eine z-Übertragungsfunktion mit Totzeit wird daher durch einen Faktor z^(-d) ergänzt und bleibt gebrochen-rational.

Für kontinuierliche Systeme G(s), die mit Abtaster und Halteglied nullter Ordnung verbunden sind, kann ebenfalls eine z-Übertragungsfunktion gebildet werden. Ein A/D-Wandler mit Abtaster macht aus einem kontinuierlichen Signal u(t) eine Zahlenfolge u(k); ein D/A-Wandler mit Halteglied nullter Ordnung macht daraus ein gestuftes kontinuierliches Signal. Für die Reihenschaltung von Halteglied und kontinuierlichem System wird angegeben: G_HS(z) = Y(z)/U(z) = (z - 1)/z · Z{G_S(s)/s}.

Standardregler können als z-Übertragungsfunktionen angegeben werden. Für eine allgemeine rekursive Rechenvorschrift y_(k) = a_1 y_(k-1) + b_0 u_(k) + b_1 u_(k-1) + b_2 u_(k-2) ergibt sich G_R(z) = Y(z)/U(z) = (b_0 + b_1 z^(-1) + b_2 z^(-2)) / (1 - a_1 z^(-1)). Für P-, I-, PD-, PI- und PID-Regler werden entsprechende Koeffizienten angegeben. Beim PI-Regler gilt beispielsweise a_1 = 1, b_0 = K_R · (1 + T_A/T_N) und b_1 = -K_R.

Beispiele und Rekursionsformeln

Ein einfaches Berechnungsbeispiel ist die z-Transformierte der Einheitssprungfunktion. Wird u_σ(t) = 1 für t > 0 abgetastet, entsteht die Wertefolge 0(-1), 1(0), 1(T_A), 1(2T_A), ... . Damit gilt Z{u_k} = u(z) = Summe von k = 0 bis ∞ aus z^(-k). Für |z| > 1 konvergiert diese Reihe, und es ergibt sich u(z) = z/(z - 1).

Für die Exponentialfunktion y(t) = e^(-t/T_1) ist die abgetastete Folge y(kT_A) = e^(-kT_A/T_1). Daraus folgt y(z) = Z{e^(-kT_A/T_1)} = z/(z - e^(-T_A/T_1)).

Ein ausführliches Anwendungsbeispiel behandelt einen digitalen PI-Regler mit K_P = 2, T_N = 1,5 s und T_A = 0,1 s. Aus der s-Übertragungsfunktion G_R(s) = U(s)/E(s) = K_P(1 + T_N s)/(T_N s) = K_P + K_P/(T_N s) wird über Halteglied und z-Transformation die z-Übertragungsfunktion D(z) = U(z)/E(z) = (3 - 2,8 z^(-1))/(1,5 - 1,5 z^(-1)) = (2 - 1,8667 z^(-1))/(1 - z^(-1)). Daraus folgt die Differenzengleichung u_(k) = u_(k-1) + 2 · e_(k) - 1,8667 · e_(k-1). Für T_A = 0,01 s wird als bessere Annäherung angegeben: u_(k) = u_(k-1) + 2 · e_(k) - 1,9867 · e_(k-1).

Die z-Transformation kann außerdem verwendet werden, um explizite Formeln für rekursiv definierte Zahlenfolgen zu finden. Beispiel ist die Fibonacci-Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... mit y_k = y_(k-1) + y_(k-2), k > 1, und y_0 = 0, y_1 = 1. Durch Einfügen eines zeitdiskreten Dirac-Impulses erhält man y_k = y_(k-1) + y_(k-2) + δ_(k-1). Die z-Transformation liefert Y(z) = z/(z² - z - 1). Nach Partialbruchzerlegung und Rücktransformation ergibt sich die explizite Formel y_k = 1/√5 · (((1 + √5)/2)^k - ((1 - √5)/2)^k), k ≥ 0.