Wurzelsystem

Definition und Grundbegriffe

Ein Wurzelsystem ist eine endliche Teilmenge R eines Vektorraums V über einem Körper K der Charakteristik 0. Es erzeugt V linear. Zu jeder Wurzel α ∈ R gehört eindeutig eine Linearform α∨ ∈ V* mit folgenden Eigenschaften: Für jedes β ∈ R ist α∨(β) eine ganze Zahl, es gilt α∨(α) = 2, und die lineare Abbildung sα: V → V mit sα(x) = x − α∨(x) · α bildet R auf R ab.

Die Elemente von R heißen Wurzeln. Die Linearform α∨ heißt Kowurzel zu α; die Kowurzeln bilden im Dualraum V* ebenfalls ein Wurzelsystem. Die Abbildung sα ist eine Spiegelung.

Ein Wurzelsystem heißt reduziert, wenn aus der linearen Abhängigkeit zweier Wurzeln α und β bereits α = ±β folgt. Zwei Wurzeln heißen orthogonal, wenn α∨(β) = 0; dann gilt auch β∨(α) = 0.

Ein Wurzelsystem ist reduzibel, wenn es sich als R = R1 ∪ R2 mit zwei nichtleeren Teilmengen schreiben lässt, sodass jede Wurzel aus R1 orthogonal zu jeder Wurzel aus R2 ist. Dann zerfällt V als direkte Summe V1 ⊕ V2, wobei R1 ⊆ V1 und R2 ⊆ V2 Wurzelsysteme sind. Ein nichtleeres, nicht reduzibles Wurzelsystem heißt irreduzibel.

Die Dimension von V heißt Rang des Wurzelsystems. Eine Teilmenge Π ⊆ R heißt Basis, wenn sie eine Vektorraumbasis von V bildet und jede Wurzel als ganzzahlige Linearkombination der Elemente von Π mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Koeffizienten darstellbar ist. Zwei Wurzelsysteme sind isomorph, wenn ein Vektorraumisomorphismus φ: V → V' das eine Wurzelsystem auf das andere abbildet.

Skalarprodukt und geometrische Einschränkungen

Auf V lässt sich ein Skalarprodukt so wählen, dass die Abbildungen sα gewöhnliche Spiegelungen sind. Bei einem reduziblen Wurzelsystem wird es aus Skalarprodukten auf den einzelnen Komponenten zusammengesetzt. Ist R irreduzibel, ist dieses Skalarprodukt bis auf einen Faktor eindeutig. Es kann so normiert werden, dass die kürzesten Wurzeln Länge 1 besitzen.

Man kann ein Wurzelsystem daher meist in K^n, insbesondere in R^n, mit dem Standardskalarprodukt betrachten. Für zwei Wurzeln gilt

⟨α, β⟩ = √(⟨α, α⟩⟨β, β⟩) · cos ∠(α, β).

Aus der Ganzzahligkeit von α∨(β) und β∨(α) folgt, dass 4 cos² ∠(α, β) ganzzahlig sein muss. Für mögliche Winkel zwischen zwei Wurzeln bleiben deshalb nur 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150° und 180°. Zwischen zwei verschiedenen Wurzeln einer Basis sind sogar nur 90°, 120°, 135° und 150° möglich. Diese Winkel treten tatsächlich in den Rang-2-Beispielen auf. Auch für das Längenverhältnis zweier Wurzeln innerhalb derselben irreduziblen Komponente gibt es nur endlich viele mögliche Werte.

Weylgruppe, Weylkammern und positive Wurzeln

Die von allen Spiegelungen sα erzeugte Untergruppe der Automorphismengruppe von V heißt Weylgruppe W. Bezüglich des Skalarprodukts sind ihre Elemente orthogonal. Die Weylgruppe operiert treu auf R und ist deshalb endlich. Außerdem wirkt sie transitiv auf der Menge der Basen des Wurzelsystems.

Für K = R teilen die Spiegelungsebenen den Raum in offene konvexe Teilmengen, die Weylkammern. Auch auf diesen Weylkammern operiert W transitiv.

Nach der Wahl einer Weyl-Kammer 𝔞+ werden die positiven Wurzeln durch

R+ := {α ∈ R | für alle x ∈ 𝔞+: α∨(x) > 0}

definiert. Damit erhält man die Ordnung

α > β genau dann, wenn α − β ∈ Z≥0R+.

Positive beziehungsweise negative Wurzeln sind diejenigen mit α > 0 beziehungsweise α < 0. Die Definition hängt von der gewählten Weyl-Kammer ab; jede Kammer bestimmt also eine eigene Anordnung.

Eine einfache Wurzel ist eine positive Wurzel, die sich nicht als Summe mehrerer positiver Wurzeln schreiben lässt. Die einfachen Wurzeln bilden eine Basis von V. Jede positive Wurzel ist eine Linearkombination einfacher Wurzeln mit nichtnegativen Koeffizienten, jede negative Wurzel eine solche Linearkombination mit nichtpositiven Koeffizienten.

Beispiele und Klassifikation

Das einzige Wurzelsystem vom Rang 0 ist die leere Menge; sie ist zugleich das einzige Wurzelsystem, das weder reduzibel noch irreduzibel ist. Bis auf Isomorphie gibt es genau ein reduziertes Wurzelsystem vom Rang 1: A1 = {α, −α}. Beim Einschluss nicht reduzierter Wurzelsysteme kommt als einziges weiteres Beispiel des Rangs 1 das System {−2α, −α, α, 2α} hinzu.

Die reduzierten Wurzelsysteme vom Rang 2 sind bis auf Isomorphie A1 × A1, A2, B2 und G2. Dabei ist (α, β) jeweils eine Basis. Im Fall A1 × A1 ist das Verhältnis der Längen von α und β beliebig; bei A2, B2 und G2 wird es durch die geometrischen Bedingungen eindeutig bestimmt.

Ein reduziertes Wurzelsystem wird durch seine Cartan-Matrix vollständig bis auf Isomorphie bestimmt:

C(R) = (β∨(α))α,β∈Π.

Dies lässt sich durch ein Dynkin-Diagramm darstellen. Jedem Basiselement entspricht ein Punkt. Die Punkte α und β werden durch so viele Striche verbunden, wie durch das Produkt β∨(α) α∨(β) festgelegt ist. Bei mehr als einem Strich zeigt ein Relationszeichen beziehungsweise Pfeil zur kürzeren Wurzel. Die Zusammenhangskomponenten des Diagramms entsprechen genau den irreduziblen Komponenten des Wurzelsystems. Der Index n bezeichnet den Rang und damit die Anzahl der Punkte.

Die Serien A_n bis D_n heißen klassische Wurzelsysteme; die übrigen fünf Klassen heißen exzeptionelle oder Ausnahme-Wurzelsysteme. Für niedrige Ränge gelten die Identitäten A1 = B1 = C1, B2 = C2 und A3 = D3. Daher ist B erst ab n = 2 und D erst ab n = 4 eine eigenständige Klasse.

Bei irreduziblen, nicht reduzierten Wurzelsystemen gibt es nur wenige Möglichkeiten: Sie können als Vereinigung eines B_n mit einem C_n für n ≥ 1 aufgefasst werden oder als ein B_n, bei dem zu jeder kurzen Wurzel auch deren Doppeltes hinzugenommen wird.

Anwendungen in Lie-Algebren, Spiegelungsgruppen und Singularitäten

Wurzelsysteme dienen insbesondere der Klassifikation endlicher Spiegelungsgruppen und endlichdimensionaler halbeinfacher komplexer Lie-Algebren.

Für eine endlichdimensionale halbeinfache Lie-Algebra 𝔤 und eine Cartan-Unteralgebra 𝔞 heißt α ∈ 𝔞 eine Wurzel, wenn der Wurzelraum

g𝔞α := {Y ∈ 𝔤 | für alle X ∈ 𝔞: [X,Y] = α∨(X)Y}

nicht {0} ist. Die Linearform α∨ ∈ 𝔞* wird mithilfe der Killing-Form B definiert durch

α∨(X) = 2B(α, X) / B(α, α).

Die Menge R der Wurzeln bildet zusammen mit 𝔞 ein Wurzelsystem. Es besitzt unter anderem folgende Eigenschaften: Die Menge 𝔞(R) = {a ∈ 𝔞 | für alle α ∈ R: α∨(a) ∈ R} ist eine reelle Form von 𝔞. Für α ∈ R gilt nα ∈ R genau dann, wenn n = ±1. Jeder Wurzelraum 𝔤α hat Dimension 1. Außerdem gilt 𝔤α+β = [𝔤α, 𝔤β]; insbesondere liegt [𝔤α, 𝔤−α] in 𝔞. Die Räume 𝔤α, 𝔤−α und [𝔤α, 𝔤−α] erzeugen eine zu sl(2, C) isomorphe Lie-Algebra. Für α ≠ ±β sind die Wurzelräume bezüglich der Killing-Form orthogonal. Die Einschränkungen der Killing-Form auf 𝔞 sowie auf 𝔤α ⊕ 𝔤−α sind nicht entartet; auf 𝔞(R) ist sie reell und positiv definit. Endlichdimensionale halbeinfache komplexe Lie-Algebren werden durch ihre Wurzelsysteme beziehungsweise Dynkin-Diagramme klassifiziert.

Ein Beispiel ist 𝔤 = sl(n, R). Hier gilt B(X,Y) = 2n Tr(XY), und eine Cartan-Unteralgebra ist die Algebra der Diagonalmatrizen mit Spur 0. Mit e_i als Diagonalmatrix mit i-tem Diagonaleintrag 1 lautet das Wurzelsystem R = {e_i − e_j | 1 ≤ i ≠ j ≤ n}. Für α = e_i − e_j gilt α∨(diag(λ1,…,λn)) = λ_i − λ_j. Man kann die Weyl-Kammer mit λ1 > … > λn und λ1 + … + λn = 0 wählen. Dann sind die positiven Wurzeln e_i − e_j für i < j, und die einfachen Wurzeln e_i − e_i+1 für 1 ≤ i ≤ n − 1.

Coxeter-Gruppen verallgemeinern den Begriff der Spiegelungsgruppe. Sie sind durch die Präsentation ⟨r1,…,rn | (r_i r_j)^m_ij = 1⟩ mit m_ii = 1 und m_ij ≥ 2 für i ≠ j definiert. Falls r_i r_j unendliche Ordnung hat, setzt man m_ij = ∞; dann gibt es keine Relation der Form (r_i r_j)^m = 1. Jeder Coxeter-Gruppe entspricht ein ungerichtetes Dynkin-Diagramm: Die Punkte stehen für die Erzeuger r_i, und die entsprechenden Punkte werden durch m_ij Kanten verbunden.

Nach Wladimir Arnold lassen sich elementare Katastrophen durch Dynkin-Diagramme vom Typ ADE klassifizieren. A0 bezeichnet einen nichtsingulären Punkt V = x, A1 ein lokales Extremum V = ±x² + ax, A2 die Faltung, A3 die Spitze, A4 den Schwalbenschwanz und A5 den Schmetterling. A_k bildet eine unendliche Folge von Formen in einer Variablen V = x^(k+1) + …. D4− ist die elliptische umbilische, D4+ die hyperbolische umbilische und D5 die parabolische umbilische Katastrophe; D_k bezeichnet eine unendliche Folge weiterer umbilischer Katastrophen. E6 wird durch V = x³ + y⁴ + axy² + bxy + cx + dy angegeben, außerdem werden E7 und E8 aufgeführt.