Verteilung einer Zufallsvariablen

Bedeutung und Definition

Die Verteilung einer Zufallsvariablen beschreibt, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die möglichen Werte dieser Zufallsvariablen auftreten. Sie ist wichtig, weil eine Zufallsvariable aus einem umfangreichen stochastischen Modell die gerade relevante Information herausfiltert. Bei einer Lotto-Ziehung interessieren zum Beispiel meist nicht die Wahrscheinlichkeiten einzelner Zahlenfolgen, sondern die Wahrscheinlichkeit für „n Richtige“.

Ist X eine Zufallsvariable vom Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P) in den Ereignisraum (Ω*, Σ*), dann ist ihre Verteilung Pₓ durch

Pₓ(A*) := P(X⁻¹(A*)) für alle A* ∈ Σ*

definiert. Pₓ : Σ* → [0,1] ist selbst ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω*, Σ*). Das Urbild X⁻¹(A*) ist dabei das Ereignis {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ A*}: Es enthält genau die Ergebnisse des ursprünglichen Zufallsexperiments, bei denen X einen Wert aus A* annimmt. Für Pₓ schreibt man auch P ∘ X⁻¹.

Beispiel: Erfolge bei drei Münzwürfen

Dreimaliges Werfen einer fairen, unabhängigen Münze kann durch Ω := {0,1}³, Σ := ℘(Ω) und die Gleichverteilung P(A) = #A/#Ω = #A/8 modelliert werden. Die Zufallsvariable X zählt die Erfolge:

X((ω₁, ω₂, ω₃)) = ω₁ + ω₂ + ω₃.

Ihr Wertebereich ist {0,1,2,3}. Um die Verteilung zu bestimmen, betrachtet man die einzelnen möglichen Werte; Wahrscheinlichkeiten für andere Ereignisse ergeben sich durch Addition der Wahrscheinlichkeiten disjunkter Elementarereignisse.

Pₓ({0}) = 1/8, denn nur (0,0,0) hat keinen Erfolg. Pₓ({1}) = 3/8, denn genau ein Erfolg tritt bei (1,0,0), (0,1,0) oder (0,0,1) auf. Ebenso gilt Pₓ({2}) = 3/8 für genau zwei Erfolge und Pₓ({3}) = 1/8 für (1,1,1). Damit entsteht auf ({0,1,2,3}, ℘({0,1,2,3})) ein neues Wahrscheinlichkeitsmaß.

Maßtheoretische Einordnung und Wahrscheinlichkeitsmaße

Maßtheoretisch ist die Verteilung einer Zufallsvariablen ein Bildmaß. Der Wahrscheinlichkeitsraum ist ein spezieller Maßraum, der Ereignisraum ein Messraum und die Zufallsvariable eine messbare Funktion. Die Verteilung versetzt also ein Wahrscheinlichkeitsmaß vom ursprünglichen Raum in einen anderen Messraum.

Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (Ω, Σ) kann selbst als Verteilung dargestellt werden: Man verwendet denselben Ereignisraum nochmals und wählt die identische Abbildung als Zufallsvariable. Dann stimmen P und Pₓ überein. Deshalb wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß auch Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt.

Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß auf (ℝ, ℬ(ℝ)) lässt sich außerdem als Verteilung einer Zufallsvariablen auf ((0,1), ℬ((0,1)), 𝒰_(0,1)) darstellen, wobei 𝒰_(0,1) die stetige Gleichverteilung auf dem Intervall von 0 bis 1 ist. Hat P die Verteilungsfunktion F, so wird die Quantilfunktion verwendet:

F⁻¹(u) = inf{x ∈ ℝ | F(x) ≥ u}, u ∈ (0,1).

Diese Zufallsvariable hat P als Verteilung. Dadurch können beliebige reelle Zufallsvariablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum aufgefasst und auf stochastische Unabhängigkeit untersucht werden.

Verteilungen aus Münzwurfmodellen

Die Binomialverteilung entsteht als Verteilung der Anzahl von Erfolgen bei n unabhängigen Würfen einer unfairen Münze. Für einen einzelnen Wurf gilt Ω = {0,1}, 𝒜 := ℘({0,1}) und P({1}) = p = 1 − P({0}). Das n-malige Werfen wird durch das Produktmodell (Ω^⊗n, 𝒜^⊗n, P^⊗n) beschrieben. Die Zufallsvariable

X((ω₁, …, ωₙ)) = ω₁ + ω₂ + … + ωₙ

zählt die Erfolge und besitzt die Binomialverteilung: X ∼ Binₙ,ₚ.

Beim unendlich oft wiederholten Münzwurf wird das Produktmodell (Ω^⊗ℕ, 𝒜^⊗ℕ, P^⊗ℕ) verwendet. Die Zufallsvariable

X(ω) = min{i ∈ ℕ | ωᵢ = 1}

beschreibt die Wartezeit bis zum ersten Erfolg; ihre Verteilung ist die geometrische Verteilung. Beschreibt eine Zufallsvariable stattdessen die Wartezeit bis zum n-ten Erfolg, erhält man die negative Binomialverteilung.

Weitere Verteilungsbegriffe

Die gemeinsame Verteilung mehrerer Zufallsvariablen definiert eine multivariate Verteilung auf einem höherdimensionalen Raum. Eine Randverteilung entsteht aus einer multivariaten Verteilung durch eine Koordinatenabbildung und verringert damit die Dimension der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Bedingte Verteilungen und reguläre bedingte Verteilungen berücksichtigen zusätzliches Vorwissen über den Ausgang eines Zufallsexperiments. Die bedingte Verteilung wird über bedingte Wahrscheinlichkeit definiert und ist leichter zu handhaben, hat aber Defizite beim Umgang mit Nullmengen und ist weniger allgemein. Die reguläre bedingte Verteilung verwendet den technischen Begriff des bedingten Erwartungswertes.