Umtauschparadoxon

Kern des Umtauschparadoxons

Das Umtauschparadoxon beschreibt eine Situation, in der zwei äußerlich gleiche Briefumschläge Geldbeträge enthalten, wobei in einem Umschlag doppelt so viel liegt wie im anderen. Eine Person wählt zufällig einen Umschlag, öffnet ihn und darf anschließend tauschen.

Findet sie beispielsweise 100 Euro, scheint folgende Rechnung nahezuliegen: Im anderen Umschlag seien mit Wahrscheinlichkeit 50 % entweder 50 Euro oder 200 Euro. Sein vermeintlicher Erwartungswert wäre dann 0,5 · 50 + 0,5 · 200 = 125 Euro. Danach wäre Tauschen vorteilhaft.

Der Widerspruch entsteht, weil dieselbe Rechnung bei jedem gefundenen Betrag einen Tausch empfiehlt. Dann könnte man auch ungeöffnet tauschen. Vor dem Öffnen sind die Umschläge jedoch gleichwertig, sodass weder „immer tauschen“ noch „nie tauschen“ grundsätzlich besser sein kann. Der Fehler liegt nicht in der Erwartungswertrechnung selbst, sondern in den ohne Rechtfertigung eingesetzten Wahrscheinlichkeiten.

Die Denkfalle und das richtige Modell

Vor dem Öffnen trifft man mit Wahrscheinlichkeit 1/2 den kleineren beziehungsweise den größeren Betrag. Nach dem Fund eines bestimmten Betrags x darf daraus aber nicht geschlossen werden, dass x mit gleichen Wahrscheinlichkeiten der kleinere oder der größere Betrag ist. Diese bedingten Wahrscheinlichkeiten hängen davon ab, wie die Beträge ausgewählt wurden. Das Indifferenzprinzip – unbekannte Möglichkeiten ohne weiteren Grund als gleich wahrscheinlich anzusehen – ist hier nicht auf die Fälle „anderer Umschlag enthält 2x“ und „anderer Umschlag enthält x/2“ anwendbar.

Zur formalen Beschreibung bezeichnet Z > 0 den kleineren Betrag, X den Inhalt des geöffneten und Y den Inhalt des ungeöffneten Umschlags. Dann enthält der zweite Umschlag 2Z und es gilt X + Y = 3Z. X und Y besitzen wegen der zufälligen Umschlagwahl dieselbe Verteilung, sind aber stochastisch abhängig. Ihre Erwartungswerte erfüllen E(X) = E(Y) = 3/2 · E(Z). Für eine Entscheidung nach dem Öffnen ist nicht E(Y), sondern der bedingte Erwartungswert E(Y | X) entscheidend.

Es kann tatsächlich Verteilungen geben, bei denen E(Y | X = x) für jeden möglichen Fund x größer als x ist. Das ist nicht paradox, wenn die beteiligten Erwartungswerte unendlich sind. Bei endlichen Erwartungswerten kann ein solcher Vorteil nicht für alle möglichen Beträge bestehen.

Diskrete und stetige Verteilungen

Im diskreten Fall sei pₙ = P(Z = n). Für den geöffneten und den ungeöffneten Umschlag gilt P(X = n) = P(Y = n) = pₙ/2 + pₙ⁄₂/2. Unter der Bedingung X = n sind nur Y = 2n und Y = n/2 möglich. Die korrekten Wahrscheinlichkeiten lauten P(Y = 2n | X = n) = pₙ/(pₙ + pₙ⁄₂) und P(Y = n/2 | X = n) = pₙ⁄₂/(pₙ + pₙ⁄₂). Daraus folgt E(Y | X = n) = [(4pₙ + pₙ⁄₂)/(2(pₙ + pₙ⁄₂))] · n. Tauschen lohnt sich genau dann, wenn pₙ > pₙ⁄₂/2. Eine Verteilung kann diese Bedingung für alle möglichen n erfüllen, besitzt dann aber keinen endlichen Erwartungswert. Ist der Erwartungswert eines Umschlags endlich, beträgt der durchschnittliche erwartete Tauschgewinn E(E(Y | X) − X) = 0.

Bei einer stetigen Verteilung bezeichnet f die Dichte von Z. Die gemeinsame Dichte von X und Y ist g(x) = 1/2 · f(x) + 1/4 · f(x/2). Der Faktor 1/4 entsteht durch die Skalierung beim Übergang von Z zu 2Z. Da P(X = x) bei einer stetigen Verteilung null ist, benötigt man eine abstraktere Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit. Eine mögliche Version ergibt P(Y = 2x | X = x) = 2f(x)/(2f(x) + f(x/2)) und P(Y = x/2 | X = x) = f(x/2)/(2f(x) + f(x/2)). Somit ist E(Y | X = x) = [(8f(x) + f(x/2))/(4f(x) + 2f(x/2))] · x. Ein Tausch ist genau dann vorteilhaft, wenn f(x) > 1/4 · f(x/2).

Ist Z stetig gleichverteilt auf [25, 800], gilt E(Y | X = x) = 2x für 25 ≤ x < 50, E(Y | X = x) = 3x/2 für 50 ≤ x ≤ 800 und E(Y | X = x) = x/2 für 800 < x ≤ 1600. Unter 50 Euro muss der geöffnete Umschlag der kleinere sein, über 800 Euro der größere. Auch stetige Verteilungen mit einem formal stets vorteilhaften Tausch existieren nur ohne endlichen Erwartungswert. Für die Dichte f(z) = 1/(2z^(3/2)) bei z ≥ 1 gilt für x ≥ 2 formal E(Y | X = x) ≈ 1,121x.

Totaler Erwartungswert und konkretes Würfelbeispiel

Die Formel vom totalen Erwartungswert macht den Widerspruch sichtbar. Bei zufälliger Umschlagwahl gilt E(X) = E(Y). Würde zugleich für jeden möglichen Wert xᵢ gelten E(Y | X = xᵢ) > xᵢ, folgte daraus E(Y) > E(X). Die symmetrische Annahme E(X | Y = yⱼ) > yⱼ würde umgekehrt E(X) > E(Y) ergeben. Diese drei Aussagen können nicht gleichzeitig wahr sein.

Insbesondere kann die 50-50-Annahme nicht allgemein in beiden Richtungen gelten. Sie ergäbe E(Y | X = xᵢ) = 5xᵢ/4. Nähme man stattdessen für jeden xᵢ die Wahrscheinlichkeiten 2/3 für Y = xᵢ/2 und 1/3 für Y = 2xᵢ an, wäre E(Y | X = xᵢ) = xᵢ und damit E(Y) = E(X). Auch diese Werte sind keine universelle Verteilung, sondern zeigen, welche Wahrscheinlichkeiten den behaupteten Widerspruch vermeiden.

Ein konkretes Auswahlverfahren beseitigt die Unbestimmtheit: Herr Lemke wirft einen fairen Würfel. Bei k Augen legt er 2^(k−1) · 25 Euro und 2^k · 25 Euro in die Umschläge. Im geöffneten Umschlag erscheinen 25 und 1600 Euro jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/12, die Beträge 50, 100, 200, 400 und 800 Euro jeweils mit Wahrscheinlichkeit 2/12. Ohne Tausch beträgt der Erwartungswert 393,75 Euro. „Immer tauschen“ liefert denselben Wert.

Tauscht Herr Schmidt nur bei höchstens 500 Euro, steigt der Erwartungswert auf 427,08 Euro. Verzichtet er erst ab 1000 Euro auf den Tausch, erreicht er 460,62 Euro. Tauscht er dagegen bis einschließlich 2000 Euro, fällt der Wert wieder auf 393,75 Euro. Eine passende Strategie kann also bei bekannter Verteilung helfen; „immer tauschen“ und „nie tauschen“ bleiben gleichwertig.

Gewinnstrategie ohne bekannte Betragsverteilung

Auch ohne Kenntnis der Betragsverteilung gibt es eine Strategie aus dem Zwei-Zettel-Spiel, die auf Thomas M. Cover zurückgeht. Vor dem Öffnen wählt Herr Schmidt eine Zufallszahl S. Ihre Verteilung muss auf dem Bereich von 0 bis unendlich eine überall echt positive Dichte besitzen. Nach dem Öffnen tauscht er genau dann, wenn der gefundene Betrag n ≤ S ist.

Bei festen Inhalten Z und 2Z beträgt sein Erwartungswert vor der ersten Umschlagwahl E_Z = 3Z/2 + Z/2 · P(Z ≤ S < 2Z). „Immer tauschen“ und „nie tauschen“ ergeben jeweils nur 3Z/2. Da die Dichte von S überall positiv ist, ist P(Z ≤ S < 2Z) > 0; die Zufallsgrenzenstrategie erhöht daher theoretisch die Chance beziehungsweise den Erwartungswert gegenüber diesen beiden einfachen Vorgehensweisen.

Wählt man S exponentialverteilt mit Erwartungswert 1000, also P(S ≥ s) = exp(−s/1000), und sind die kleineren Beträge Z auf {25, 50, 100, 200, 400, 800} gleichverteilt, ergibt sich ein Erwartungswert von 421,046 Euro. Das übertrifft 393,75 Euro bei „immer“ oder „nie tauschen“, bleibt aber unter den 460,62 Euro der optimalen, auf die bekannte Verteilung zugeschnittenen Strategie. Der genaue Erfolg hängt stark von der Verteilung von S ab; gegenüber den beiden starren Strategien bleibt der Erwartungswert jedoch höher.