Umgekehrte Proportionalität

Grundidee und Definition

Umgekehrte Proportionalität, auch indirekte Proportionalität, reziproke Proportionalität oder Antiproportionalität, beschreibt einen Zusammenhang zwischen zwei Größen: Eine Größe verhält sich proportional zum Kehrwert der anderen. Gleichbedeutend gilt: Das Produkt der beiden Größen ist konstant.

Wenn eine Größe verdoppelt wird, halbiert sich die andere. Wird eine Größe verdreifacht, wird die andere gedrittelt. Wird eine Größe halbiert, verdoppelt sich die andere. Der Funktionsgraph eines solchen Zusammenhangs ist eine Hyperbel, die sich den Koordinatenachsen asymptotisch nähert, also ihnen immer näher kommt, ohne sie zu schneiden.

Berechnung mit konstantem Produkt

Ist ein Wertepaar (x₀, y₀) bekannt, dann ist das konstante Produkt x₀ · y₀ bekannt. Die eine Größe kann dann als Funktion der anderen angegeben werden:

y = A / x = (x₀ · y₀) / x

Dabei ist A das konstante Produkt. Bei Rechtecken kann A zum Beispiel der Flächeninhalt sein. Beispiel: Ein Rechteck ist 8 cm breit und 0,5 cm hoch. Sein Flächeninhalt ist 8 cm · 0,5 cm = 4 cm². Soll ein flächengleiches Rechteck 5 cm breit sein, dann beträgt seine Höhe 4 cm² / 5 cm = 0,8 cm. Weitere passende Wertepaare liegen auf der Hyperbel y = A/x, zum Beispiel 1 cm Breite und 4 cm Höhe bei A = 4 cm².

Typische Zusammenhänge

Umgekehrt proportionale Zusammenhänge treten in verschiedenen Sachgebieten auf:

• Bei einer gegebenen Strecke ist die Fahrtdauer umgekehrt proportional zur Durchschnittsgeschwindigkeit.
• Nach dem Ohmschen Gesetz ist bei gegebener elektrischer Spannung die elektrische Stromstärke umgekehrt proportional zum Widerstand.
• Nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte ist bei gegebener Stoffmenge und Temperatur der Druck eines idealen Gases umgekehrt proportional zu seinem Volumen.

Reziproke Darstellung

Umgekehrt proportionale Zusammenhänge können in einem kartesischen Koordinatensystem so dargestellt werden, dass auf einer linear geteilten Achse nicht der Zahlenwert einer Größe steht, sondern der Kehrwert ihres Zahlenwerts. Das ist besonders hilfreich, wenn die abhängige Variable proportional zum Kehrwert der unabhängigen Variablen ist. Dann erscheint der Zusammenhang in einem Liniendiagramm als Gerade.

Ein Beispiel aus der chemischen Kinetik erster Ordnung ist die Arrhenius-Gleichung:

k = k₀ · e^(-E_A/(R · T))

Dabei ist k die Reaktionsgeschwindigkeitskonstante, e die Eulersche Zahl, E_A die Aktivierungsenergie, R die universelle Gaskonstante und T die absolute Temperatur. Umgeschrieben lautet die Gleichung:

ln(k/k₀) = -(E_A/R) · (1/T)

Ob ein Prozess gemäß der Arrhenius-Gleichung als Reaktion erster Ordnung abläuft, erkennt man daran, ob eine Darstellung von ln(k/k₀) über 1/T mit linearen Teilungen eine Gerade ergibt. Die Aktivierungsenergie ergibt sich aus dem Anstieg dieser Geraden, nämlich aus -E_A/R.

Schreibweise

Für „a ist umgekehrt proportional zu b“ verwendet man eines der Proportionalitätszeichen:

a ∼ 1/b

oder

a ∝ 1/b

Das bedeutet: a ist proportional zum Kehrwert von b.