Tibetischer Sandabakus

Zweck und Aufbau des Sandabakus

Der tibetische Sandabakus (tibetisch ས་གཞོང, Wylie sa gzhong), auch Sandrechenbrett genannt, ist ein Hilfsmittel für Berechnungen zum tibetischen Kalender und zur tibetischen Astronomie. Er wurde ausschließlich in diesen Gebieten eingesetzt und wird von tibetischen Astronomen bis in die Gegenwart zur Kalenderberechnung verwendet. Für andere Aufgaben, etwa in der Finanzverwaltung der tibetischen Regierung, diente dagegen ein tibetischer Abakus mit losen Steinen.

Das Gerät besteht aus einem flachen Brett mit einer schmalen Randleiste, die den Sand festhält. Ein Ende ist abgerundet; am gerade abgeschnittenen anderen Ende befindet sich eine Art Tasche zur Aufbewahrung des Sandes. Vor einer Rechnung wird sehr feiner Sand gleichmäßig auf dem Brett verteilt. Mit einem angespitzten Holzgriffel, dem sa thur, ritzt man tibetische Ziffern hinein. Zahlen lassen sich mit dem Daumen wegwischen und durch neue ersetzen. Dieses Tilgen oder Wegwischen gilt daher selbst als grundlegende Rechenhandlung. Auf dem Brett steht gewöhnlich nur eine Zahlenspalte, die im Laufe der Rechnung fortwährend verändert wird.

Rechenanweisungen und Zahlenschreibweise

Astronomische Rechnungen folgen festen Folgen von Handlungsanweisungen, die einem Computerprogramm ähneln. Zu den Grundoperationen gehören das Platzieren beziehungsweise Niederschreiben natürlicher Zahlen auf bestimmten Stellen, das Wegwischen, Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren. Die Stellen werden von oben nach unten angeordnet und besitzen nicht notwendig den Stellenwert 10.

Eine weitere zentrale Operation ist das Umrechnen auf die nächsthöhere Stelle. Überschreitet eine Zahl den Stellenwert ihrer Stelle, wird sie durch diesen Stellenwert geteilt. Der ganzzahlige Quotient wird zur nächsthöheren Stelle addiert, der Rest bleibt auf der ursprünglichen Stelle. Schriftliche astronomische Abhandlungen erklärten solche Verfahren meist nur knapp; ihre praktische Durchführung wurde vor allem mündlich von Lehrern vermittelt.

In Rechenanweisungen erscheinen anstelle von Ziffern oder gewöhnlichen Zahlwörtern häufig symbolische Zahlwörter. Beispiele sind „Leere“ oder „Himmel“ für 0, „Hase“ oder „Mond“ für 1, „Hände“ oder „Auge“ für 2, „Welt“ oder „Feuer“ für 3, „Ozean“ oder „Fuß“ für 4, „Sinnesorgan“ oder „Pfeil“ für 5, „Geschmack“ oder „Jahreszeit“ für 6, „Kostbarkeit“ oder „Planet“ für 7, „Gott“ oder „Glück“ für 8, „Wurzel“ oder „Schatz“ für 9 sowie „Himmelsrichtung“ oder „Kraft“ für 10.

Die durch solche Wörter bezeichneten Ziffern werden von rechts nach links gelesen: „Pfeil (5) Geschmack (6)“ bedeutet 65; „Wurzel (9) Jahreszeit (6) Auge (2) Planet (7)“ bedeutet 7269. Die Anweisung 65 mit 7269 zu multiplizieren lautet entsprechend sinngemäß: Multipliziere „Pfeil Geschmack“ mit „Wurzel Jahreszeit Auge Planet“.

Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen

Für die Addition und Subtraktion mehrstelliger natürlicher Zahlen mussten Astronomen zunächst die entsprechenden Rechnungen mit einstelligen Zahlen auswendig beherrschen. Bei der Addition werden die Zahlen untereinander notiert und die Einzelergebnisse nacheinander durch Wegwischen und Ersetzen in die einzige sichtbare Spalte eingearbeitet. Das Beispiel 11 + 68 + 89 führt auf diese Weise zum Ergebnis 168.

Bei der Subtraktion stehen Minuend, also die Zahl, von der abgezogen wird, und Subtrahend, also die abzuziehende Zahl, untereinander. Erforderliche Ergänzungen beziehungsweise Überträge werden ebenfalls notiert, addiert und anschließend getilgt. Im dargestellten Beispiel ergibt 1111 − 707 den Wert 404.

Die Multiplikation setzt das auswendig gelernte kleine Einmaleins voraus. Die tibetische Multiplikationstafel heißt „Neunerende“ (tibetisch dgu mtha), weil sie mit 9·1 beginnt und bei 2·10 endet. Bei mehrstelligen Zahlen steht der Multiplikator links, der Multiplikand rechts. Endnullen des Multiplikators werden sofort an den Multiplikanden angehängt; danach wird von links aus multipliziert. Beim Beispiel 92·3210 entstehen die Teilwerte 78920 und 216400, deren Addition 295320 ergibt.

Für die Division benötigt man die Multiplikationstafel sowie die Differenzen zu den Zahlen von 10 bis 90. Dividend und Divisor werden untereinander geschrieben. Der Quotient wird schrittweise bestimmt; passende Vielfache des Divisors werden vom jeweils betrachteten Teil des Dividenden abgezogen. Als Beispiel beschreibt der Artikel den Beginn der Rechnung 1111101 : 707, bei der nach wiederholtem Platzieren, Subtrahieren, Addieren von Resten und erneutem Notieren des Divisors die Quotientenziffern schrittweise entstehen.

Astronomische Größen und Beispielrechnung

Die tibetische Astronomie berechnete vor allem die Positionen beziehungsweise astronomischen Längen von Mond, Sonne, Venus, Merkur, Mars, Jupiter und Saturn. Im geozentrischen tibetischen Weltbild gilt auch die Sonne als Planet. Die Ekliptik, also der Großkreis der scheinbaren jährlichen Sonnenbahn an der Himmelskugel, wurde in 27 von 0 bis 26 gezählte Abschnitte geteilt. Diese Mondstationen oder Mondhäuser heißen rgyu skar. Ein rgyu skar umfasst 60 chu tshod, ein chu tshod 60 chu srang, ein chu srang 6 dbugs und ein dbugs 67 cha shas. Dieses gemischte Stellenwertsystem ermöglicht genaue Positionsangaben.

Als Beispiel wird die mittlere Sonnenlänge y am Ende des fünften synodischen Monats berechnet, also für x = 5. Die mittlere monatliche Veränderung beträgt a = 2 rgyu skar, 10 chu tshod, 58 chu srang, 1 dbugs und 17 cha shas. Die Anfangslänge ist b = 25 rgyu skar, 8 chu tshod, 10 chu srang, 4 dbugs und 32 cha shas. In moderner algebraischer Schreibweise lautet die Aufgabe y = a·x + b, obwohl klassische tibetische Astronomen diese Form nicht verwendeten.

Das Rechenprogramm verlangt, x auf fünf Stellen zu platzieren, die Stellen nacheinander mit 2, 10, 58, 1 und 17 zu multiplizieren und anschließend 25, 8, 10, 4 und 32 zu addieren. Danach wird von unten nach oben mit den Stellenwerten 67, 6, 60, 60 und 27 umgerechnet. Bei jeder Umrechnung bleibt der Rest auf der Stelle, während der Quotient zur höheren Stelle gelangt. Nach dem Löschen der höchsten Stelle ergeben die Reste die mittlere Sonnenlänge: 9 rgyu skar, 3 chu tshod, 1 chu srang, 4 dbugs und 50 cha shas.

Rechnen im gemischten Sexagesimalsystem

Astronomische Größen werden auf dem Sandabakus stellenweise untereinander geschrieben; jede Stelle enthält eine ganze Zahl. Das System folgt im Wesentlichen dem Sexagesimalsystem, also einem Zahlensystem mit dem Grundwert 60, verwendet aber auch andere Stellenwerte. Beispielsweise besitzt die Angabe 3 rgyu skar, 26 chu tshod, 5 chu srang und 4 dbugs die Stellenwerte 27, 60, 60 und 6. Der Artikel schreibt sie verkürzt als [3,26,5,4]/(27,60,60,6). Allgemein bezeichnet [a₁,a₂,a₃,a₄,a₅]/(st₁,st₂,st₃,st₄,st₅) ganze Stellenzahlen aₙ mit den Stellenwerten stₙ.

Bei Addition und Subtraktion werden entsprechende Stellen einzeln addiert beziehungsweise subtrahiert. Überschreitet eine Summe ihren Stellenwert, wird sie nach oben umgerechnet. Ist bei einer Subtraktion der Subtrahend einer Stelle größer als der Minuend, vermindert man die darüberliegende Stelle um eins und fügt der aktuellen Stelle ihren Stellenwert hinzu. An der höchsten Stelle wird diese stattdessen um den Stellenwert erhöht. Die im Artikel gedruckte allgemeine Subtraktionsformel enthält an der letzten Stelle allerdings a₅+b₅, obwohl der begleitende Text eine stellenweise Subtraktion beschreibt.

Die Multiplikation mit einer ganzen Zahl c erfolgt stellenweise: c·[a₁,a₂,a₃,a₄,a₅] = [c·a₁,c·a₂,c·a₃,c·a₄,c·a₅], jeweils bei unveränderten Stellenwerten und anschließender Umrechnung. Schwieriger ist die Multiplikation zweier mehrstelliger Größen, besonders bei verschiedenen Stellenwertsystemen. Solche Aufgaben entstanden unter anderem durch zwei astronomische Umrechnungsfaktoren: A = [1,2]/(−,65) = 1 + 2/65 = 67/65 und B = 1 − [0,1,1]/(−,64,707) = 1 − (1 + 1/707)/64.

Die Multiplikation von A mit 360 ergibt die Sonnenumlaufzeit in lunaren Tagen. Durch schrittweises Umrechnen erhält man [371,4,36,5,7]/(−,60,60,6,13), entsprechend 360·67/65 = 371,107962 lunaren Tagen. Für die Umrechnung in natürliche Tage wird dieser Wert mit B multipliziert. Dazu führte man die gesamte mehrstellige Größe auf die kleinste Einheit 13·707 Teile eines dbugs zurück. Aus 73668268800 Einheiten werden nach der Rechnung mit B insgesamt 72515574000 Einheiten. Umgerechnet ergibt dies [365,16,14,1,12,121]/(−,60,60,6,13,707) natürliche Tage.

Bei der Division durch eine ganze Zahl c beginnt man an der obersten Stelle. Der Rest jeder Division wird mit dem Stellenwert der folgenden Stelle multipliziert und dort vor dem nächsten Divisionsschritt addiert. Eine Division durch eine mehrstellige Größe wurde wegen ihrer Schwierigkeit möglichst in eine Multiplikation mit dem Kehrwert verwandelt. Für B verwendete man als Kehrwert [1,1,1,1]/(−,63,696,11135); für A = [1,2]/(−,65) verwendete man 1 − [0,2]/(−,67).