Teilchen im Kasten

Grundidee und Modell

Das Teilchen im Kasten ist ein Modell der Quantenmechanik. Es beschreibt ein freies Teilchen in einem Kastenpotential: Im Inneren eines bestimmten Bereichs ist das Potential V gleich null, außerhalb ist es unendlich groß. Dadurch kann das Teilchen den Kasten nicht verlassen. Das Modell ist ein Spezialfall des Potentialtopfs und zeigt besonders einfach, warum Energie in der Quantenmechanik nur bestimmte Werte annehmen kann.

Im eindimensionalen Fall liegt der Kasten zwischen zwei Wänden bei x=0 und x=L. Innerhalb der Länge L wirken im Modell keine Kräfte auf das Teilchen; Gravitation und elektromagnetische Felder werden nicht berücksichtigt. Das Teilchen bewegt sich dort mit konstanter Geschwindigkeit v und wird an den Wänden ohne Energieverlust reflektiert. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt konstant.

Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeit

In der Quantenphysik wird das Teilchen durch eine Wellenfunktion beschrieben. Im Kasten sind nur solche Wellen erlaubt, bei denen L ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge λ ist. Anders gesagt: Zwischen den festen Wänden können nur stehende Wellen existieren, die an den Wänden die passenden Randbedingungen erfüllen.

Die Antreffwahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Teilchen an einem bestimmten Ort gefunden wird. Da das Teilchen den Kasten nicht verlassen kann, beträgt die Wahrscheinlichkeit, es irgendwo im Kasten zu finden, 1. Außerhalb des Kastens ist die Antreffwahrscheinlichkeit 0. Innerhalb des Kastens hängt sie vom jeweiligen Zustand des Teilchens ab und ist nicht an allen Orten gleich.

Der Tunneleffekt tritt bei diesem unendlich hohen Potential nicht auf. Er kommt nur bei einem endlich hohen Potentialtopf vor.

Energiequantisierung im eindimensionalen Kasten

Weil im Kasten nur bestimmte Eigenzustände n möglich sind, kann das Teilchen nur bestimmte diskrete Energiewerte besitzen. Für den eindimensionalen Kasten gilt:

E_n = h²/(8mL²) · n² mit n = 1, 2, 3, ...

Dabei ist h das Plancksche Wirkungsquantum, m die Masse des Teilchens, L die Kastenlänge und n die Quantenzahl. Die Energie ist also gequantelt: Zwischen den erlaubten Energieniveaus gibt es keine fließenden Zwischenwerte.

Wird einem Teilchen Energie zugeführt, kann es auf ein höheres Energieniveau wechseln. Dieser direkte Übergang heißt Quantensprung. Beim Wechsel auf ein niedrigeres Energieniveau gibt das Teilchen Energie ab, zum Beispiel als Photon.

Aus der Formel folgen wichtige Eigenschaften: Die Energie ist proportional zum Quadrat der Quantenzahl n, also E ~ n². Je länger der Kasten ist, desto kleiner ist die Energie, also E ~ L⁻². Außerdem wird bei größerem L der Abstand zwischen zwei benachbarten Energieniveaus E_n und E_(n+1) kleiner. Selbst im niedrigsten möglichen Zustand besitzt das Teilchen eine Energie E_1 > 0; diese heißt Nullpunktsenergie.

Herleitung mit de-Broglie-Wellen und Schrödingergleichung

Halbklassisch lässt sich das Modell mit de-Broglie-Wellen erklären. Außerhalb des Kastens ist die Wellenfunktion null: ψ(x<0)=0 und ψ(x>L)=0. Im Inneren besitzt das Teilchen die de-Broglie-Wellenlänge λ = h/p. Weil es an den Wänden reflektiert wird, entstehen stehende Wellen. Die Stetigkeit an x=0 und x=L fordert, dass der Sinus dort null ist. Daraus folgt die Resonanzbedingung 2L = n · λ. Mit p = hn/(2L) erhält man für die kinetische Energie wieder E_kin,n = h²/(8mL²) · n².

In der quantenmechanischen Lösung verwendet man den Hamiltonoperator H = -ℏ²/(2m) · d²/dx² + V(x), wobei V(x)=0 für 0<x<L und V(x)=∞ außerhalb gilt. Mit dem Ansatz Ψ(x,t)=ψ(x) exp(-iEt/ℏ) wird die zeitabhängige Schrödingergleichung zur stationären Gleichung Hψ(x)=Eψ(x).

Innerhalb des Kastens wählt man ψ(x)=A sin(kx)+B cos(kx). Die erste Randbedingung ψ(0)=0 erzwingt B=0. Die zweite Randbedingung ψ(L)=0 führt zu kL=nπ und damit k_n=πn/L mit n∈N. n=0 ist nicht erlaubt, weil dann die Wellenfunktion überall null wäre; negative n liefern keine neuen Zustände.

Nach der Normierung erhält man die Eigenfunktionen und Eigenwerte:

ψ_n(x)=√(2/L) sin(nπx/L) für 0≤x≤L und ψ_n(x)=0 außerhalb,

E_n = ℏ²π²/(2mL²) · n² = h²/(8mL²) · n².

Der Grundzustand hat die Energie E_1 = ℏ²π²/(2mL²). Sie ist nicht null. Dies passt zur Heisenbergschen Unschärferelation ΔxΔp ≥ h/2: Da das Teilchen auf den Bereich L beschränkt ist, kann sein Impuls nicht gleichzeitig exakt null sein.

Zeitliche Entwicklung

Ein allgemeines Wellenpaket im Kasten lässt sich als Summe der stationären Eigenfunktionen schreiben:

Ψ(x,t)=Σ_(n=1)^∞ a_n exp(-iE_n t/ℏ) ψ_n(x).

Die Koeffizienten a_n ergeben sich aus der Anfangsbedingung Ψ(x,0) durch Projektion auf die Eigenfunktionen. Nach einer Verschiebung der Koordinate kann man das Problem symmetrisch um die Kastenmitte formulieren; dann treten für ungerade n Sinusfunktionen und für gerade n Kosinusfunktionen auf.

Die Gesamtwellenfunktion ist zeitlich periodisch. Die Periodendauer heißt revival time und beträgt:

T_R = 4mL²/(πℏ).

Es gilt Ψ(y,t+T_R)=Ψ(y,t). Diese Eigenschaft entsteht, weil alle Energieeigenwerte ganzzahlige Vielfache der Grundzustandsenergie E_1 sind.

Bei t+T_R/2 wird die Wellenfunktion um die Mitte des Kastens gespiegelt: Ψ(y,t+T_R/2)=Ψ(-y,t). Ein anfangs links lokalisiertes Wellenpaket erscheint dann rechts; dies heißt mirror revival. Bei t+T_R/4 kann sich ein reelles Wellenpaket in zwei Anteile mit jeweils halber Wahrscheinlichkeitsdichte auf beiden Seiten aufteilen; das heißt fractional revival. Für weitere rationale Vielfache von T_R können mehrere näherungsweise Reproduktionen entstehen. Die strukturierte Darstellung von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten in Ort und Zeit wird Quantenteppich genannt.

Dreidimensionale Kästen und Anwendungen

Im dreidimensionalen Quaderkasten kann der Hamiltonoperator als Summe dreier eindimensionaler Hamiltonoperatoren geschrieben werden: H=H_1+H_2+H_3. Mit dem Produktansatz ψ(r)=ψ_1(x_1)ψ_2(x_2)ψ_3(x_3) zerfällt das Problem in drei eindimensionale Probleme. Die Gesamtenergie ist die Summe der drei Einzelenergien:

E = ℏ²π²/(2m) · (n_1²/L_1² + n_2²/L_2² + n_3²/L_3²), mit n_1,n_2,n_3∈N.

Die Gesamtwellenfunktion ist das Produkt der drei eindimensionalen Sinusfunktionen und ist außerhalb des Quaders null. Im Spezialfall eines Würfels mit L_1=L_2=L_3=L gilt E = ℏ²π²/(2mL²)(n_1²+n_2²+n_3²). Dabei kann Entartung auftreten: Verschiedene Kombinationen von n_1,n_2,n_3 können dieselbe Energie liefern. Der niedrigste Zustand (1,1,1) ist nicht entartet; der nächsthöhere Energiewert mit (2,1,1), (1,2,1) und (1,1,2) ist dreifach entartet.

Für einen kugelförmigen Kasten mit Radius L verwendet man Kugelkoordinaten. Die Wellenfunktion wird als Produkt R_nl(r)Y_lm(ϑ,φ) geschrieben. Dabei ist n die Haupt- oder Energiequantenzahl, l die Drehimpulsquantenzahl und m die magnetische Quantenzahl. Für kugelsymmetrische Lösungen mit l=0 ergibt sich R_n0(r)=a · sin(nπr/L)/r und E_n0 = n²h²/(8mL²). Für l>0 treten sphärische Bessel-Funktionen j_l auf; die Energien hängen quadratisch von deren n-ter Nullstelle x_nl ab: E_nl = x_nl²ℏ²/(2mL²). Diese Nullstellen sind nicht analytisch zu bestimmen.

Das Modell wird auch als einfache Näherung für konjugierte Moleküle wie Hexatrien verwendet. Man nimmt an, dass sich die Elektronen im konjugierten Molekül frei bewegen können, es aber nicht verlassen. Beispiele sind außerdem Farbzentren in der Kristallographie, bei denen ein Elektron in einer Anionen-Leerstelle eingeschlossen ist, sowie Farbstoffe mit linearen konjugierten Pi-Systemen, deren Farbigkeit sich mit einem eindimensionalen Kastenmodell erfassen lässt.