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Kleinwinkelnäherung
Der Winkel muss dabei im Bogenmaß angegeben sein, nicht in Grad. Für Winkel kleiner als 10 Grad (entspricht im Bogenmaß π⁄ 18) ist die Abweichung dieser …
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Grundidee
Die Kleinwinkelnäherung ist eine rechnerische Vereinfachung für kleine Winkel. Sie nutzt aus, dass sich bei Winkeln nahe 0 viele trigonometrische Funktionen fast gleich verhalten. Dadurch kann man in Rechnungen oft auf genaues Rechnen mit Winkelfunktionen verzichten.
Für kleine Winkel x gilt näherungsweise: sin x ≈ x, tan x ≈ x und cos x ≈ 1. Wichtig ist dabei: Der Winkel x muss im Bogenmaß angegeben sein, nicht in Grad. Für Winkel kleiner als 10 Grad, also kleiner als π/18 im Bogenmaß, ist die Abweichung in vielen Fällen unwesentlich; die Näherung liefert dann brauchbare Ergebnisse.
Mathematische Herleitung
Die Begründung der Kleinwinkelnäherung beruht auf der Maclaurinschen Reihe der jeweiligen Winkelfunktion. Eine Maclaurin-Reihe ist eine Taylor-Reihe um den Punkt x = 0, also eine Darstellung einer Funktion durch Potenzen von x.
Für die drei wichtigen Winkelfunktionen lauten die Reihen:
sin x = x − x³/6 + x⁵/120 ∓ …
tan x = x + x³/3 + 2x⁵/15 + …
cos x = 1 − x²/2 + x⁴/24 ∓ …
Für |x| ≪ 1, also für x mit sehr kleinem Betrag, sind die höheren Potenzen von x im Vergleich zu den ersten Gliedern sehr klein. Deshalb kann man sie vernachlässigen. Übrig bleiben sin x ≈ x, tan x ≈ x und cos x ≈ 1.
Genauigkeit bei kleinen Winkeln
Die Genauigkeit hängt davon ab, wie groß der Winkel ist. Bei der Sinus-Näherung zeigt die Tabelle im Artikel: Für 5,0° gilt x = π/36 ≈ 0,08727 rad und sin x ≈ 0,08716; die relative Abweichung beträgt gerundet 0,13 %. Für 7,5° gilt x = π/24 ≈ 0,13090 rad und sin x ≈ 0,13053; die relative Abweichung beträgt 0,29 %. Für 10,0° gilt x = π/18 ≈ 0,17453 rad und sin x ≈ 0,17365; die relative Abweichung beträgt 0,51 %.
Auch die anderen Näherungen haben bei diesen Winkeln kleine, aber unterschiedliche Fehler. Bei x statt sin x beträgt die relative Abweichung 0,13 % für 5°, 0,3 % für 7,5° und 0,5 % für 10°. Bei x statt tan x beträgt sie −0,25 %, −0,6 % und −1,0 %. Bei 1 statt cos x beträgt sie 0,38 %, 0,9 % und 1,5 %.
Anwendungen
Die Kleinwinkelnäherung ist besonders in der Physik wichtig. Viele Probleme lassen sich damit analytisch exakt lösen, während sie ohne diese Vereinfachung wegen der Winkelfunktionen zu komplizierten elliptischen Integralen führen würden.
Beispiele im Artikel sind das mathematische Pendel, die Auswertung der Beugung am Spalt, die paraxiale Optik sowie die Annäherung von Parabel und Kreisbogen bei Linsen und Hohlspiegeln in der Nähe der optischen Achse. In solchen Fällen hilft die Näherung, komplizierte trigonometrische Ausdrücke durch einfache Terme zu ersetzen.
Erweiterung für moderate Winkel
In der technischen Mechanik werden auch moderate Winkeländerungen berücksichtigt. Damit der Kosinus bei der Kleinwinkelapproximation nicht vollständig durch 1 ersetzt wird, nimmt man zusätzlich das zweite Glied der Taylorreihenentwicklung hinzu. Dann gilt: cos(x) ≈ 1 − x²/2.
Ein Anwendungsbeispiel ist die Theorie leicht gekrümmter Schalentragwerke. Dort beeinflusst die Krümmung das Tragverhalten maßgeblich und muss deshalb berücksichtigt werden; zugleich soll die Approximation den Berechnungsaufwand verringern.
Diese genauere Näherung hat deutlich kleinere Abweichungen als cos x ≈ 1. Für 1 − x²/2 statt cos x beträgt die relative Abweichung bei x = π/18 = 10° etwa −0,0039 %, bei x = π/9 = 20° etwa −0,066 % und bei x = 2π/9 = 40° etwa −1,27 %.