Surreale Zahl

Begriff, Bedeutung und Grundidee

Surreale Zahlen, auch Conway-Zahlen genannt, bilden eine Zahlenklasse, die alle reellen Zahlen sowie unendlich große und infinitesimale Zahlen umfasst. Eine unendlich große surreale Zahl ist größer als jede reelle Zahl; eine positive infinitesimale Zahl liegt näher bei 0 als jede positive reelle Zahl. Surreale Zahlen enthalten die hyperreellen Zahlen als Teilmenge, werden aber auf wesentlich andere Weise konstruiert.

Ihre Bedeutung liegt vor allem in drei Punkten: Sie entstehen aus nur wenigen rekursiven Regeln, besitzen ähnliche algebraische Eigenschaften wie die reellen Zahlen und eignen sich deshalb zum Üben abstrakter Algebra. Außerdem liefern sie ein Modell der Nichtstandardanalysis, in dem infinitesimale Zahlen vorkommen, und stehen in enger Verbindung zur kombinatorischen Spieltheorie.

John Conway stellte die surrealen Zahlen vor. Donald E. Knuth beschrieb sie 1974 ausführlich in seinem mathematischen Roman „Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness“ und prägte ihren Namen. Conway behandelte sie und ihre Anwendung auf Spiele, darunter Go, 1976 in „On Numbers and Games“.

Konstruktion, Vergleich und Ordnung

Eine surreale Zahl wird durch zwei Mengen bereits konstruierter Zahlen dargestellt:

{L | R}.

Die linke Menge L enthält Zahlen, die kleiner als die neue Zahl sind; die rechte Menge R enthält größere Zahlen. Die Darstellung ist wohlgeformt, wenn kein Element von R kleiner oder gleich einem Element von L ist. Anders formuliert: Jedes Element von L muss kleiner als jedes Element von R sein. Leere Mengen sind erlaubt. {L | ∅} bezeichnet eine Zahl, die größer als alle Elemente von L ist, und {∅ | R} eine Zahl, die kleiner als alle Elemente von R ist.

Konstruktionsregel: Sind L und R Mengen surrealer Zahlen und ist kein Element von R kleiner oder gleich einem Element von L, dann ist {L | R} eine surreale Zahl. Jede surreale Zahl lässt sich so beschreiben.

Vergleichsregel: Für x={L_x | R_x} und y={L_y | R_y} gilt x≤y, wenn y kleinergleich keinem Element von L_x ist und kein Element von R_y kleinergleich x ist.

Die so definierte Relation ≤ ist zunächst nur eine totale Quasiordnung: Sie ist reflexiv und transitiv, aber nicht antisymmetrisch. Deshalb definiert man x≡y genau dann, wenn x≤y und y≤x. Dies ist eine Äquivalenzrelation. Gleichwertige Darstellungen gehören derselben Äquivalenzklasse [x] an und stellen dieselbe surreale Zahl dar. Die Äquivalenzklassen sind total geordnet.

Die Regeln sind rekursiv: Konstruktion und Vergleich greifen immer wieder auf bereits vorhandene Zahlen zurück. Für endlich viele Schritte genügt vollständige Induktion; für die gesamte Klasse wird transfinite Induktion verwendet.

Erste Zahlen und endliche Erzeugung

Da anfangs keine Zahlen vorhanden sind, können beide Seiten nur leer sein. So entsteht

{ | }={∅ | ∅}=0.

Im nächsten Schritt erhält man

−1={ | 0}, 1={0 | },

mit −1<0<1. Das Objekt {0 | 0} ist keine wohlgeformte surreale Zahl, weil 0≤0 gilt. Weitere Konstruktionen liefern unter anderem

−2={ | −1}, −1/2={−1 | 0}, 1/2={0 | 1}, 2={1 | },

also

−2<−1<−1/2<0<1/2<1<2.

Eine Zahl kann mehrere gleichwertige Darstellungen besitzen. Beispielsweise gilt {−1 | 1}=0. Bei endlichen linken und rechten Mengen hängt der Wert nur vom größten linken und vom kleinsten rechten Element ab. Daher ist {1,2 | 5,8} gleich {2 | 5}; diese Zahl ist 3, die „älteste“ surreale Zahl zwischen 2 und 5.

Zur systematischen endlichen Erzeugung setzt man S₀={0}. Sᵢ₊₁ enthält Sᵢ und alle surrealen Zahlen, die sich in einem Konstruktionsschritt aus Teilmengen von Sᵢ bilden lassen. Es ergeben sich beispielsweise

S₁={−1<0<1},

S₂={−2<−1<−1/2<0<1/2<1<2}.

In jedem Schritt wächst das Maximum um 1, das Minimum sinkt um 1, und zwischen je zwei benachbarten Zahlen entsteht eine neue Zahl. Die Vereinigung aller in endlich vielen Schritten erreichbaren Zahlen heißt S_ω. Sie enthält genau alle dyadischen Brüche a/2ᵇ mit einer ganzen Zahl a und einer natürlichen Zahl b. Brüche wie 1/3, 2/3, 1/5 oder 1/6 liegen dagegen in keinem Sₙ mit natürlichem n.

Rechnen und algebraische Struktur

Für x={L_x | R_x} und y={L_y | R_y} werden die Rechenoperationen rekursiv definiert.

Addition: x+y={ (L_x+y)∪(x+L_y) | (R_x+y)∪(x+R_y) }.

Negation: −x={ −R_x | −L_x }.

Multiplikation: x·y={ (L_x·y+x·L_y−L_x·L_y)∪(R_x·y+x·R_y−R_x·R_y) | (L_x·y+x·R_y−L_x·R_y)∪(R_x·y+x·L_y−R_x·L_y) }.

Dabei werden die Operatoren auf Mengen erweitert. Beispielsweise bedeutet X+y={x+y: x∈X}, −X={−x: x∈X} und X+Y={x+y: x∈X, y∈Y}. Die Operationen sind wohldefiniert: Aus wohlgeformten surrealen Zahlen entstehen wieder wohlgeformte surreale Zahlen. Sie respektieren außerdem die Äquivalenzklassen. Aus [x]=[x′] und [y]=[y′] folgen [x+y]=[x′+y′], [−x]=[−x′] und [x·y]=[x′·y′].

Die Bezeichnungen der ersten Zahlen werden dadurch bestätigt, etwa durch 0+0=0, 1+1=2, −(1)=−1 und 1/2+1/2≡1. Dabei muss zwischen Gleichheit einer konkreten Darstellung und Äquivalenz verschiedener Darstellungen unterschieden werden.

Äquivalenzklassen, Ordnung und Rechenoperationen erfüllen sämtliche Eigenschaften eines geordneten Körpers. Die Gesamtheit aller surrealen Zahlen ist jedoch keine Menge, sondern eine echte Klasse und damit im üblichen mengentheoretischen Sinn kein geordneter Körper.

Transfinite Erzeugung und unendliche Zahlen

Nach den endlich erzeugten Zahlen setzt man die Konstruktion mit S_ω fort und bildet S_{ω+1}, S_{ω+2} und allgemein durch transfinite Rekursion S_a für jede Ordinalzahl a. Die kleinste Ordinalzahl a, für die x∈S_a gilt, heißt Geburtstag von x. Der Geburtstag von 0 ist 0, der von 1/2 ist 2 und der von 1/3 ist ω+1.

In S_{ω+1} befinden sich alle reellen Zahlen. Sie können durch Intervallschachtelungen dargestellt werden, deren untere dyadische Grenzen in die linke und deren obere dyadische Grenzen in die rechte Menge aufgenommen werden. So lassen sich auch die zuvor fehlenden Brüche konstruieren. Für 1/3 verwendet man links alle a/2ᵇ∈S_ω mit 3a<2ᵇ und rechts alle mit 3a>2ᵇ; es gilt 3·(1/3)≡1.

In S_{ω+1} liegt auch die infinitesimale Zahl

ε={0 | …,1/16,1/8,1/4,1/2,1}.

Sie ist größer als 0, aber kleiner als jeder positive Bruch. Weitere infinitesimale Zahlen sind 2ε und ε/2={0 | ε}; diese erscheinen erst in S_{ω+2}.

Eine unendlich große Zahl ist

ω={S_ω | }≡{1,2,3,4,… | }.

Sie ist größer als jede natürliche Zahl und entspricht der Ordinalzahl ω. Tatsächlich kann jede Ordinalzahl surreal dargestellt werden. Mit ω wird wie mit anderen surrealen Zahlen gerechnet, zum Beispiel

ω+1={ω | }, ω−1={S_ω | ω},

ω+ω={ω+S_ω | }, ω/2={S_ω | ω−S_ω},

und ε·ω=1.

Die surreale Rechnung darf nicht mit der ordinalen Rechnung verwechselt werden: Für Ordinalzahlen gilt 1+ω=ω<ω+1, als surreale Zahlen gilt dagegen 1+ω=ω+1>ω.

Da alle Ordinalzahlen surreal dargestellt werden können und bereits eine echte Klasse bilden, bilden auch die surrealen Zahlen eine echte Klasse. Jede surreale Zahl ist aus Zahlen mit kleinerem Geburtstag zusammengesetzt. Daher lassen sich Aussagen über sie meist durch transfinite Induktion beweisen: Man zeigt die Aussage für x={X_L | X_R} unter der Voraussetzung, dass sie für alle Elemente von X_L und X_R gilt.

Games und Spieltheorie

Lässt man die Bedingung fallen, dass jedes Element von L kleiner als jedes Element von R sein muss, entstehen Games. Sind L und R beliebige Mengen von Games, dann ist {L | R} ein Game. Vergleich, Äquivalenz, Addition, Negation und Multiplikation werden wie bei surrealen Zahlen definiert. Jede surreale Zahl ist ein Game, aber beispielsweise {0 | 0} ist ein nicht wohlgeformtes Game.

Games bilden keinen Körper und sind nur partiell geordnet: Zwei Games müssen nicht vergleichbar sein. Gegenüber 0 kann ein Game positiv, negativ, gleich 0 oder unvergleichbar sein; der letzte Fall heißt fuzzy. Auch die Multiplikation verhält sich schwächer: Für äquivalente Games x≡y folgt nicht immer x·z≡y·z.

Die Verbindung zur Spieltheorie gilt für deterministische Spiele zweier Spieler Links und Rechts ohne versteckte Information, mit abwechselnden Zügen und endlich vielen Zügen. Wer nicht mehr ziehen kann, verliert. Zu den genannten Beispielen gehören Schach, Dame, Mühle und Go; die meisten Kartenspiele, Memory und „Mensch ärgere dich nicht“ erfüllen die Voraussetzungen nicht.

Einer Spielposition wird das Game {L | R} zugeordnet. L enthält die Werte aller Positionen, die Links mit einem Zug erreichen kann, R die entsprechenden Werte für Rechts. Bei perfektem Spiel gilt:

• x>0: Links gewinnt.

• x<0: Rechts gewinnt.

• x=0: Die Person am Zug verliert.

• x ist fuzzy: Die Person am Zug gewinnt.

Zerfällt eine Partie in zwei unabhängige Teilpartien mit den Games x und y, so hat die Gesamtpartie das Game x+y. Die Addition erlaubt damit, getrennte Teilspiele gemeinsam zu analysieren. Conway gelangte ursprünglich über die Untersuchung von Go-Endspielen und unabhängigen Teilpartien zu Games. Später erkannte er, dass eine bestimmte Klasse dieser Games die reellen Zahlen umfasst und mit einer geeigneten Multiplikation die Körperaxiome erfüllt: die surrealen Zahlen.