Stromwärmegesetz

Grundprinzip des Stromwärmegesetzes

Das Stromwärmegesetz, auch Erstes Joulesches Gesetz oder Joule-Lenz-Gesetz, beschreibt die Umwandlung elektrischer Energie in Wärmeenergie in einem elektrischen Leiter. Der Leiter entnimmt dem Strom elektrische Energie E_el; diese wird als Wärmeenergie Q_W frei:

Q_W = E_el = P · t

Dabei ist P die elektrische Leistung und t die Dauer. Bei veränderlicher Leistung gilt:

Q_W = E_el = ∫₀ᵗ P dτ

Die Begriffe „joulesche Wärme“ und „Stromwärme“ werden nicht einheitlich verwendet: Sie können je nach Zusammenhang Energie oder Leistung meinen. Ist die Wärme erwünscht, heißt sie Elektrowärme; ist sie unerwünscht, spricht man von Stromwärmeverlust oder ohmschem Verlust.

Erwärmung einer elektrischen Leitung

In einer Leitung ist die für die Wärmeentwicklung relevante elektrische Leistung die Wirkleistung. Sie berechnet sich aus Stromstärke I und der längs des Leiters abfallenden Spannung U:

P = U · I

Die Formelzeichen gelten sowohl für Gleichgrößen als auch für Effektivwerte von Wechselgrößen. Mit dem ohmschen Gesetz U = R · I, wobei R der ohmsche Widerstand ist, folgt:

Q_W = I² · R · t = (U²/R) · t

Die erzeugte Wärme steigt also bei konstantem Widerstand mit dem Quadrat der Stromstärke. Dies ist beispielsweise für Leitungen, Transformatoren und Heizwiderstände wichtig.

Zunächst erwärmt die Wärmeenergie den Leiter. Die Temperaturdifferenz Δϑ ergibt sich aus der Wärmekapazität C_ϑ:

Δϑ = Q_W/C_ϑ

Bei konstanter Leistung wachsen Wärmeenergie und Temperatur zunächst linear mit der Zeit. Weil der wärmere Leiter Wärme durch Wärmeleitung, Wärmestrahlung oder Konvektion an die Umgebung abgibt, stellt sich bei dauernder gleichmäßiger Energiezufuhr ein Gleichgewicht ein. Dann entspricht der abgegebene Wärmestrom Q̇_W der aufgenommenen elektrischen Leistung:

Q̇_W = ΔQ_W/Δt = P

Für eine wärmeübertragende Oberfläche A und den Wärmeübergangskoeffizienten α gilt im Gleichgewicht:

Δϑ = P/(α · A)

Durch thermische Trägheit bleibt die Temperaturdifferenz bei stationärem Strom meist auch bei Wechselstrom praktisch konstant. Bei sehr kleiner Masse im Verhältnis zur Oberfläche, etwa bei einer Doppelwendel, können Temperatur- und Helligkeitsschwankungen mit der doppelten Frequenz des Wechselstroms messbar sein.

Stromwärme im räumlich verteilten Leiter

Bei einem leitfähigen Stoff, der sich über ein größeres Volumen erstreckt, wird die Stromwärme mit Feldgrößen beschrieben. Durch ein Flächenelement dA fließt der Strom dI = J · dA. J ist die elektrische Stromdichte. Entlang eines Wegelementes ds fällt die Spannung

dU = E · ds = ρ · J ds

ab. E ist die elektrische Feldstärke, ρ der spezifische elektrische Widerstand; sein Kehrwert ist die elektrische Leitfähigkeit σ. Die Beziehung E = ρ · J ist hier das ohmsche Gesetz.

Im Volumenelement dV = dA · ds beträgt der Verlust an elektrischer Leistung:

dP = dU · dI = ρ · J² dV

Für den gesamten stromdurchflossenen Leiter gilt allgemein:

P = ∭_V ρ J² dV

Ist ρ konstant, kann es vor das Integral gezogen werden. Bei einem homogenen langen Draht mit Gleichstrom ist die Stromverteilung ortsunabhängig; daraus folgt die bekannte makroskopische Formel P = R · I². Bei komplizierten Formen und ungleichmäßiger Stromverteilung müssen Verlustleistung und makroskopischer Widerstand beispielsweise mit der Finite-Elemente-Methode bestimmt werden.

Bei metallischen Leitern ist ρ weitgehend stromunabhängig, aber temperaturabhängig. In Halbleitern ist ρ nicht konstant. In Supraleitern gilt ρ = 0; dort entsteht keine Stromwärme. Für Materialien mit nicht konstantem spezifischem Widerstand kann ein stromabhängiger Widerstand R(I) bestimmt werden; dann ist P = R(I) · I² zur Berechnung des Stromwärmeverlustes gültig.