Stochastische Ordnung – einfach erklärt

Grundidee stochastischer Ordnungen

Stochastische Ordnungen sind Ordnungsrelationen für Zufallsvariablen. Sie verallgemeinern „größer“ und „kleiner“ von reellen Zahlen auf zufällige Größen. Damit lassen sich etwa Risiken in der Versicherungswirtschaft vergleichen. Sie werden außerdem in Finanzmathematik, ökonomischer Forschung und Operations Research verwendet.

Es gibt zahlreiche Ordnungen für unterschiedliche Fragestellungen. Die Theorie der Integralordnungen schafft einen einheitlichen Rahmen, um viele davon zu untersuchen. Eine besonders einfache, aber begrenzte Vergleichsweise ist die Ordnung im Mittel; die gewöhnliche stochastische Ordnung berücksichtigt dagegen die gesamte Verteilung in einer bestimmten Richtung.

Vergleich über den Erwartungswert

Eine Zufallsvariable X heißt im Mittel kleiner als Y, wenn

E[X] < E[Y]

gilt. Dabei ist E[X] der Erwartungswert, also der langfristige durchschnittliche Wert von X.

Dieser Vergleich ist eine oft genutzte Ad-hoc-Ordnung. Er sagt jedoch nichts über weitere Eigenschaften der Verteilungen aus, zum Beispiel nicht über Varianz oder Schiefe. Zwei Zufallsvariablen können also beim Erwartungswert verschieden sein, obwohl sich ihre Risiken oder ihre Verteilungen auf andere Weise wesentlich unterscheiden.

Gewöhnliche stochastische Ordnung

Die gewöhnliche stochastische Ordnung heißt auch stochastische Dominanz erster Ordnung. Für reelle Zufallsvariablen X und Y schreibt man X ≼st Y, wenn Y bezüglich dieser Ordnung größer-gleich X ist. Die Definition lautet:

P(X ≥ b) ≤ P(Y ≥ b) für alle b ∈ R.

Für jede beliebige Schranke b ist es also bei Y mindestens so wahrscheinlich wie bei X, einen Wert über b zu erreichen. Gleichwertig lässt sich dies mit den Verteilungsfunktionen formulieren:

F_X(b) ≥ F_Y(b) für alle b ∈ R.

Eine weitere äquivalente Definition ist

X ≼st Y ⇔ E[f(X)] ≤ E[f(Y)] für alle monoton wachsenden Funktionen f ∈ C_b(R).

Hier werden also die Erwartungswerte aller beschränkten, stetigen und monoton wachsenden Testfunktionen f verglichen. Die Definition lässt sich auf Zufallsvariablen erweitern, deren Werte in einem topologischen Raum E mit einer Halbordnung liegen. Dabei muss die Ordnung mit der Topologie verträglich sein; insbesondere muss die Menge {x ≤ y, x,y ∈ E} abgeschlossen sein.

Der Satz von Strassen gilt für Zufallsvariablen X und Y mit Werten in einem halbgeordneten polnischen Raum: X ≼st Y genau dann, wenn eine monotone Kopplung existiert. Das bedeutet, dass es Zufallsvariablen X̃ und Ỹ mit denselben Verteilungen wie X beziehungsweise Y gibt, für die P(X̃ ≤ Ỹ) = 1 gilt. Die Existenzaussage ist außer in einfachen Fällen nicht konstruktiv.

Als Beispiele nennt der Artikel X ∼ N(0,1) und Y ∼ N(0.75,1): Es gilt F_X(x) ≥ F_Y(x) für alle x und damit X ≼st Y. Dagegen sind X ∼ N(0,1) und Y ∼ N(0.25,1.5) durch stochastische Dominanz erster Ordnung nicht vergleichbar. Auch Zufallsgrößen mit gleichem Erwartungswert, aber unterschiedlichen Verteilungen lassen sich mit der gewöhnlichen stochastischen Ordnung nicht vergleichen. Dann können andere Ordnungen erforderlich sein.

Integralordnungen und Stop-loss-Vergleich

Viele stochastische Ordnungen für Zufallsvariablen in einem geordneten polnischen Raum E werden durch eine Klasse von Testfunktionen F definiert. Es gilt

X ≼_F Y ⇔ E[f(X)] ≤ E[f(Y)] für alle f ∈ F,

soweit beide Erwartungswerte definiert sind. Solche Ordnungen heißen Integralordnungen, ≼_F heißt die von F generierte stochastische Ordnung und F ihr Generator. Die so definierte Operation ist nicht unbedingt transitiv. Dieses Problem kann eingeschränkt werden, indem nur Funktionen und Zufallsvariablen betrachtet werden, für die alle Erwartungswerte existieren.

Integralordnungen hängen nur von den Verteilungen von X und Y ab. Für Wahrscheinlichkeitsmaße P und Q auf (E,B) lautet die entsprechende Definition:

P ≼_F Q ⇔ ∫ f dP ≤ ∫ f dQ für alle f ∈ F,

wenn beide Integrale definiert sind. Häufig genügt eine Unterklasse von F. Bei der gewöhnlichen stochastischen Ordnung reichen zum Beispiel isotone messbare Indikatorfunktionen oder unendlich oft differenzierbare isotone Funktionen. Ein maximaler Generator bezeichnet eine Funktionsklasse, aus deren Vergleich die Gültigkeit für weitere bestimmte Funktionen f₀ gefolgert werden kann. Bei seiner Bestimmung werden eine Gewichtsfunktion b:E → [0,∞), b-beschränkte Funktionen mit sup_x |f(x)/b(x)| < ∞ sowie Maße betrachtet, bezüglich denen b integrierbar ist.

Die für die Versicherungsmathematik wichtige Stop-loss order ≼sl ist eine Integralordnung mit den Testfunktionen x ↦ (x-a)^+ für a ∈ R. Sie ist schwächer als die gewöhnliche stochastische Ordnung. Sie dient unter anderem zum Vergleich von Schadenssummen und als Kriterium bei der Wahl eines Prämienprinzips. Werden X und Y als Risiken verstanden, bedeutet X ≼sl Y: Die Stop-Loss-Rückversicherungsprämie für Y ist bei jedem Selbstbehalt a größer als die für X.

Abhängigkeit in Risikoportfolios

Abhängigkeitsordnungen verallgemeinern den Vergleich der gegenseitigen Abhängigkeit von Zufallsvariablen. Für zwei Zufallsvektoren (X₁,X₂) und (Y₁,Y₂) auf einem Maßraum (Ω,P) kann etwa

Cov(X₁,X₂) ≤ Cov(Y₁,Y₂)

den Grad ihrer Abhängigkeit vergleichen. Solche Vergleiche sind in der Versicherungswirtschaft wichtig: Häufung und Abhängigkeit von Risiken, etwa bei Hagel- oder Hochwasserschäden, stellen ein finanzielles Risiko dar. Die Annahme unabhängiger Risiken kann die Ruin-Wahrscheinlichkeit unterschätzen.

Eine Abhängigkeitsordnung ist die supermodulare Ordnung ≼sm. Ihr Generator besteht aus den supermodularen Funktionen

F_sm := {f ∈ C²(Rⁿ,R): ∂ᵢ∂ⱼf(x) ≥ 0 für alle x ∈ Rⁿ, 1 ≤ i < j ≤ d}.

Da nach dieser Definition jede zweimal stetig differenzierbare reellwertige Funktion auf den reellen Zahlen bereits supermodular ist, können bezüglich ≼sm nur Rⁿ-wertige Zufallsvektoren mit gleichen Randverteilungen verglichen werden.

Für Risikoportfolios X=(X₁,…,Xₙ) und Y=(Y₁,…,Yₙ) mit gleichen Randverteilungen gilt: Ist X supermodular kleiner als Y, dann ist auch die Schadenssumme von X bezüglich der Stop-loss order kleiner als die von Y:

X ≼sm Y ⇒ ∑{i=1}^n X_i ≼sl ∑{i=1}^n Y_i.

Damit ist auch der Preis einer Stop-Loss-Rückversicherung für das Portfolio X kleiner als für Y.