Stichprobenmedian

Kern und Zweck

Der Stichprobenmedian, auch zufälliger empirischer Median genannt, ist eine spezielle Funktion der mathematischen Statistik. Er ist eine Schätzfunktion: Mit ihm wird der Median einer unbekannten, zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung geschätzt. Dazu werden Stichproben verwendet, die entsprechend dieser Verteilung erzeugt wurden.

Definition

Gegeben seien n Zufallsvariablen X₁, X₂, …, Xₙ. X₍₁₎, X₍₂₎, …, X₍ₙ₎ seien ihre Ordnungsstatistiken, also die der Größe nach geordneten Zufallsvariablen. Der Stichprobenmedian ist definiert als

μ₁⁄₂ = X₍(n+1)/2₎, falls n ungerade ist,

und

μ₁⁄₂ = ½(X₍n/2₎ + X₍n/2+1₎), falls n gerade ist.

Bei einer ungeraden Anzahl von Beobachtungen wird somit der mittlere geordnete Wert verwendet. Bei einer geraden Anzahl wird der Mittelwert der beiden mittleren geordneten Werte gebildet.

Abgrenzung zu Medianen

Der Stichprobenmedian darf nicht mit dem Median einer Stichprobe oder mit dem Median im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie verwechselt werden. Der Median einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Kennzahl dieser Verteilung. In der mathematischen Statistik wird von einer unbekannten, aber eindeutig bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung ausgegangen; ihr Median soll mithilfe einer geeigneten Schätzfunktion bestimmt werden. Dafür wird der Stichprobenmedian verwendet.

Der Median einer Stichprobe ist dagegen ein Schätzwert, also die konkrete Realisierung des Stichprobenmedians als Zufallsvariable. Das Verhältnis von Stichprobenmedian und Median einer Stichprobe entspricht damit dem Verhältnis von Funktion und Funktionswert. Der Stichprobenmedian kann als Schätzfunktion anhand klassischer Qualitätskriterien wie der Erwartungstreue untersucht werden. Für den Median einer Stichprobe ist eine solche Untersuchung nicht sinnvoll möglich.