Snelliussches Brechungsgesetz

Grundidee und Brechungsgesetz

Das snelliussche Brechungsgesetz beschreibt, wie sich die Ausbreitungsrichtung einer ebenen Welle beim Übergang zwischen zwei Medien ändert. Diese Richtungsänderung heißt Brechung. Sie entsteht, weil die Phasengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit einer bestimmten Phase der Welle, vom Medium abhängt. Das Gesetz gilt nicht nur für Licht, sondern grundsätzlich auch für andere Wellen, besonders für Ultraschallwellen.

Der einfallende Strahl und das Lot, eine senkrecht auf der Grenzfläche stehende gedachte Linie, bestimmen die Einfallsebene. Auch der gebrochene und der reflektierte Strahl liegen in dieser Ebene. Alle Winkel werden gegenüber dem Lot gemessen. Für den Einfallswinkel δ₁ und den Brechungswinkel δ₂ gilt:

n₁ sin δ₁ = n₂ sin δ₂.

Dabei sind n₁ und n₂ die Brechungsindizes der beiden Medien. Der Brechungsindex gibt an, wie stark die Phasengeschwindigkeit und die Wellenlänge in einem Medium gegenüber dem Vakuum verkleinert sind. Ist n₂ > n₁, bewegt sich die Welle im zweiten Medium langsamer und wird zum Lot hin gebrochen, sodass δ₂ < δ₁ ist. Beim Übergang von Luft mit n ≈ 1 zu Glas kann man näherungsweise schreiben:

sin δ_Luft = n_Glas sin δ_Glas.

Im einleitenden Beispiel trifft ein Lichtstrahl unter 60° auf Glas. Der reflektierte Strahl besitzt ebenfalls einen Winkel von 60° zum Lot, während der Brechungswinkel im Glas 35° beträgt. Das Glas hat einen größeren Brechungsindex als Luft.

Der Brechungsindex eines optischen Mediums hängt im Allgemeinen von der Wellenlänge ab. Diese Abhängigkeit heißt Dispersion. Daher werden verschiedene Wellenlängen unterschiedlich stark gebrochen. Darauf beruhen die Farbaufspaltung in einem Dispersionsprisma und die Farben des Regenbogens. Das Brechungsgesetz gilt nur für schwach absorbierende Medien.

Anschauliche und physikalische Herleitung

Für den Brechungsindex n gilt im Artikel:

n = c/c_Medium = λ/λ_Medium.

Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, c_Medium die Phasengeschwindigkeit im Medium, λ die Wellenlänge im Vakuum und λ_Medium die Wellenlänge im Medium. Beim Übergang von Medium 1 zu Medium 2 ändert sich die Wellenlänge um den Faktor n₁/n₂. In einem optisch dichteren Medium mit n₂ > n₁ wird die Welle räumlich gestaucht; diese Stauchung führt zur Richtungsänderung.

Zur geometrischen Herleitung betrachtet man zwei parallele Strahlen derselben Wellenfront. Während ein Teil der Welle im ersten Medium noch die Strecke L₁ zurücklegt, läuft ein anderer Teil bereits die Strecke L₂ im zweiten Medium. Für die benötigte Zeit gilt t = L₁/c_Medium,1 = L₁n₁/c. Daraus folgt L₁/L₂ = n₂/n₁. Da beide entstehenden rechtwinkligen Dreiecke dieselbe Hypotenuse |AB′| besitzen, gilt sin δ₁ = L₁/|AB′| und sin δ₂ = L₂/|AB′|. Somit erhält man

sin δ₁/sin δ₂ = L₁/L₂ = n₂/n₁

und damit n₁ sin δ₁ = n₂ sin δ₂.

Das Gesetz lässt sich außerdem aus dem fermatschen Prinzip ableiten. Dieses besagt, dass kleine Änderungen des Lichtwegs zwischen zwei Punkten die optische Weglänge nicht ändern. Verschiebt man den Knickpunkt des Lichtwegs ein wenig entlang der Grenzfläche, ändern sich die geometrischen Strecken in beiden Medien. Wegen ihrer verschiedenen Phasengeschwindigkeiten gleichen sich die zugehörigen Phasenänderungen genau dann aus, wenn das Brechungsgesetz erfüllt ist.

Elektromagnetische Wellen an der Grenzfläche

Eine ebene elektromagnetische Welle kann durch E(t) = E exp[i(k·r − ωt)] beschrieben werden. Der Wellenvektor k zeigt in die Ausbreitungsrichtung, ω ist die Kreisfrequenz und E der Vektor der elektrischen Feldstärke. In einem nichtleitenden, isotropen Medium ohne freie Ladungen und Ströme folgt aus den Maxwell-Gleichungen die Wellengleichung mit k·k = μεω². Die Phasengeschwindigkeit und der Brechungsindex lauten:

vₚ = ω/k = 1/√(με) = c/n, n = c√(με) = √(μᵣεᵣ).

Dabei sind μ und ε die magnetische Permeabilität und elektrische Permittivität des Mediums. Im Vakuum beträgt c = 299 792 458 m/s. Weil k·E = 0 gilt, steht das elektrische Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Es kann in eine Komponente parallel und eine Komponente senkrecht zur Einfallsebene zerlegt werden.

An einer ebenen dielektrischen Grenzfläche entstehen aus der einfallenden Welle eine reflektierte und eine transmittierte, also in das zweite Medium eindringende Welle. Die Stetigkeit der elektrischen Feldkomponenten an der Grenzfläche verlangt, dass alle drei Wellen dieselbe Frequenz besitzen: ωₑ = ωᵣ = ωₜ. Außerdem bleiben reflektierte und transmittierte Welle in der Einfallsebene. Aus der Gleichheit der zur Grenzfläche parallelen Komponenten der Wellenvektoren folgen zwei zentrale Beziehungen: Der Reflexionswinkel ist gleich dem Einfallswinkel, δᵣ = δ₁, und für die transmittierte Welle gilt n₁ sin δ₁ = n₂ sin δ₂.

Das Brechungsgesetz bestimmt damit die Richtungen der Wellen, aber nicht ihre Feldstärken. Die Fresnelschen Formeln beschreiben die Amplituden der reflektierten und transmittierten elektrischen Felder in Abhängigkeit von der Amplitude der einfallenden Welle.

Totalreflexion

Totalreflexion kann beim Übergang aus einem Medium mit größerem Brechungsindex in eines mit kleinerem Brechungsindex auftreten, also für n₁ > n₂. Aus dem Brechungsgesetz folgt sin δ₂ = (n₁/n₂) sin δ₁. Wird δ₁ so groß, dass die rechte Seite größer als 1 ist, existiert kein reeller Brechungswinkel δ₂ mehr. Der Grenzwinkel δg ist durch

sin δg = n₂/n₁

festgelegt. Für Einfallswinkel oberhalb dieses Grenzwinkels wird die Welle vollständig reflektiert.

Im dünneren Medium verschwindet das Feld dennoch nicht sofort. Dort besteht eine evaneszente Welle: Sie breitet sich längs der Grenzfläche aus und fällt senkrecht dazu exponentiell wie e^(−x/d) ab. Ihre Eindringtiefe beträgt

d = c/[ω√(n₁² sin²δ₁ − n₂²)] = c/[ωn₁√(sin²δ₁ − sin²δg)].

Sofern der Einfallswinkel nicht zu nahe am Grenzwinkel liegt, befindet sich d in der Größenordnung einiger Wellenlängen. Ein schmales Wellenbündel erfährt außerdem einen longitudinalen Versatz in der Einfallsebene. Dieser Goos-Hänchen-Effekt lässt sich so beschreiben, dass die Reflexion scheinbar an einer virtuellen, zur Grenzfläche parallelen Ebene im dünneren Medium erfolgt. Totalreflexion wird beispielsweise in Umkehrprismen von Ferngläsern genutzt.

Röntgenstrahlen und optische Hebung

Bei Röntgenstrahlung liegt der Brechungsindex von Festkörpern und Flüssigkeiten bei n₂ = 1 − δ < 1 mit δ ≪ 1. Deshalb kann beim Übergang vom Vakuum mit n₁ = 1 zur Materie eine äußere Totalreflexion entstehen. Dafür muss die Strahlung streifend, also nahezu parallel zur Oberfläche, einfallen. Mit ψ = 90° − δ₁ gilt für den kleinen Grenzwinkel näherungsweise

ψg = √(2δ).

Totalreflexion tritt für ψ < ψg auf. Auch hier breitet sich ein Feld längs der Grenzfläche aus und klingt in der Materie exponentiell ab. Die Eindringtiefe ist

d = c/[ω√(2δ − ψ²)] = λ/[2π√(2δ − ψ²)].

Für ψ → 0 wird eine minimale Eindringtiefe erreicht. Diese hohe Oberflächenempfindlichkeit bildet die Grundlage der Diffraktometrie unter streifendem Einfall.

Eine alltägliche Folge der Brechung ist die optische Hebung. Von außerhalb des Wassers betrachtete Gegenstände unter Wasser erscheinen in senkrechter Richtung gestaucht; der Gefäßboden wirkt höher. Ein schräg ins Wasser eintauchender gerader Stab scheint an der Oberfläche geknickt zu sein. Ursache sind die verschiedenen Brechungsindizes von Wasser und Luft und damit unterschiedliche Brechungswinkel der Lichtstrahlen. Das Gehirn verlängert die ins Auge gelangenden Strahlen geradlinig nach hinten und ordnet dem untergetauchten Teil dadurch eine scheinbar flachere Lage zu.

Brechung in der Akustik

Das Brechungsgesetz gilt auch für mechanische Druck- und Scherwellen. In der Akustik und Ultraschalltechnik wird es meist mit der Wellenzahl k statt mit Brechungsindizes geschrieben:

k = kP1 sin θP1 = kS1 sin θS1 = kP2 sin θP2 = kS2 sin θS2.

Für die einzelnen Wellentypen gilt kᵢ = 2π/λᵢ = 2πf/cᵢ. Dabei bezeichnet f die Frequenz, λᵢ die Wellenlänge und cᵢ die jeweilige Phasengeschwindigkeit. Diese Darstellung entspricht inhaltlich der optischen Form des Gesetzes. Hergeleitet wird sie aus der Forderung, dass mechanische Spannungen und Verschiebungen an der Mediengrenze stetig sind.

Trifft eine Longitudinal- oder P-Welle, also eine Druckwelle, in einem Festkörper auf die Grenze zu einem zweiten Festkörper, kann eine Modenkonversion stattfinden: Es entstehen reflektierte und transmittierte P-Wellen sowie S-Wellen, also Scherwellen. P- und S-Wellen besitzen in den Medien unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten und werden deshalb unter verschiedenen Winkeln reflektiert oder gebrochen. Sind cP1, cS1, cP2, cS2 und der Einfallswinkel θP1 bekannt, lassen sich diese Winkel mit dem Gesetz berechnen. In Flüssigkeiten und Gasen treten wegen der fehlenden Schubspannung keine Scherwellen auf; eine einfallende P-Welle erzeugt dort nur eine reflektierte und eine transmittierte P-Welle.