Brechungsindex

Grundidee und klassische Definition

Der Brechungsindex, auch Brechzahl oder optische Dichte genannt, ist eine dimensionslose optische Materialeigenschaft. Er gibt das Verhältnis der Wellenlänge des Lichts im Vakuum zur Wellenlänge im Material und zugleich das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit zur Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im Medium an:

n = c₀ / cₘ.

An der Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes wird Licht gebrochen und reflektiert. Das Medium mit dem höheren Brechungsindex heißt optisch dichter. Für die Brechung gilt das Snelliussche Brechungsgesetz:

n₁ sin δ₁ = n₂ sin δ₂.

Der Brechungsindex hängt im Allgemeinen von der Frequenz beziehungsweise Wellenlänge des Lichts ab. Diese Abhängigkeit heißt Dispersion. Sie ermöglicht beispielsweise die Aufspaltung weißen Lichts in seine Spektralfarben an einem Prisma. Der Ausdruck „optische Dichte“ kann allerdings auch ein Maß für die Extinktion, also die Abschwächung von Strahlung, bezeichnen.

Komplexer und richtungsabhängiger Brechungsindex

Absorbierende Materialien werden durch den komplexen Brechungsindex beschrieben. Er verbindet die gewöhnliche Brechung mit der Dämpfung der elektromagnetischen Welle:

n⃗ = nᵣ + i nᵢ.

Der Realteil nᵣ, meist größer als 1, verkürzt die Wellenlänge im Medium. Der Imaginärteil nᵢ dämpft die Welle und beschreibt ihre Absorption. Gleichwertige Schreibweisen sind n⃗ = n′ + i n″, n⃗ = n + iK, n⃗ = nᵣ − ik, n⃗ = n′ − i n″ oder n⃗ = n(1 − iκ). Je nach Schreibweise wird der Imaginärteil oder κ als Extinktionskoeffizient beziehungsweise Absorptionsindex bezeichnet. Das Minuszeichen wird häufig gewählt, damit dieser Wert bei absorbierenden Materialien positiv ist.

Real- und Imaginärteil sind frequenzabhängig und über die Kramers-Kronig-Beziehungen miteinander verknüpft. Die Frequenzabhängigkeit lässt sich unter anderem mit dem Lorentz-Oszillator-Modell beschreiben.

In anisotropen Medien ist der Brechungsindex kein Skalar, sondern ein Tensor zweiter Stufe. Wellenvektor und Ausbreitungsrichtung stimmen dann nicht mehr unbedingt überein. Hängt der Brechungsindex zusätzlich von der Polarisation ab, spricht man von Doppelbrechung.

Der komplexe Brechungsindex ist mit der komplexen Permittivitätszahl εᵣ und der Permeabilitätszahl μᵣ verknüpft:

n⃗ = √(εᵣ · μᵣ).

Für nichtmagnetische Materialien gilt näherungsweise μᵣ ≈ 1 und damit n⃗ ≈ √εᵣ = √(ε₁ + iε₂). Daraus folgen:

n² = ½(√(ε₁² + ε₂²) + ε₁),

k² = ½(√(ε₁² + ε₂²) − ε₁).

Wellenlängen, Stoffe und Größenordnungen

Der Brechungsindex muss eigentlich stets zusammen mit der Wellenlänge oder Frequenz angegeben werden. Für viele Anwendungen wird er bei 589 nm, der Natrium-D-Linie, angegeben. Die Stärke der Dispersion kann im sichtbaren Bereich näherungsweise durch die Abbe-Zahl und genauer durch die Sellmeier-Gleichung beschrieben werden. Der sichtbare Bereich liegt ungefähr bei 380–780 nm.

Das Vakuum hat per Definition exakt den Brechungsindex 1. Im sichtbaren Bereich besitzen transparente oder schwach bis mittelstark absorbierende Stoffe meist einen Brechungsindex größer als 1. Beispiele bei 589 nm sind: Wasser bei 20 °C: 1,3330; Ethanol: 1,3614; Quarzglas: 1,46; Fensterglas: 1,52; Diamant: 2,42; Titandioxid (Rutil): 3,10. Luft unter Normalbedingungen hat etwa 1,000292.

Der Brechungsindex entsteht durch die Reaktion beweglicher elektrischer Ladungen und magnetischer Dipole auf das elektromagnetische Feld. Diese Reaktion ist frequenzabhängig. In der Nähe einer Elektronen- oder Magnetdipolresonanz kann der Brechungsindex zunächst steigen, anschließend sinken und sich auf einem niedrigeren Niveau einpendeln. Wasser beginnt bei sehr kleinen Frequenzen beispielsweise bei etwa n ≈ 9.

Lufts Brechungsindex hängt von Dichte, Temperatur und Zusammensetzung, besonders von der Luftfeuchtigkeit, ab. Für sichtbares Licht beträgt er auf Meeresniveau bei trockener Luft und Normalatmosphäre 1,00028; in 8 km Höhe nur noch 1,00011. Die dadurch verursachte astronomische Refraktion lässt Sterne höher erscheinen.

Auch Wasser zeigt eine deutliche Wellenlängenabhängigkeit: Bei 589,3 nm beträgt n = 1,33300, bei 1013,98 nm n = 1,32524 und bei 2400 nm n = 1,279. Für sehr kurze Wellenlängen kann der Realteil kleiner als 1, aber weiterhin positiv sein. Im Röntgenbereich wird deshalb häufig n = 1 − δ geschrieben; typische Werte von δ liegen zwischen 10⁻⁹ und 10⁻⁵.

Röntgenstrahlung und Plasma

Für Röntgenstrahlung ist der Brechungsindex von Materie kleiner als 1. Das verletzt die Relativitätstheorie nicht, weil nur die Phasengeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit sein kann, nicht die Signalgeschwindigkeit. Die Abweichung ist sehr klein: 1 − n ≈ 10⁻⁸ … 10⁻¹⁰. Ursache ist, dass die Röntgenfrequenz größer als die Resonanzfrequenz der äußeren Elektronen ist.

Das Lorentz-Oszillator-Modell führt für hohe Frequenzen zu:

1 − n = (Nq²)/(2ε₀mₑω²).

Dabei ist N die Elektronendichte, q die Elementarladung, ε₀ die elektrische Feldkonstante, mₑ die Elektronenmasse und ω die Kreisfrequenz. Mit Dichte ρ, Ordnungszahl Z, molarer Masse Mₘ und der Avogadro-Konstante Nₐ gilt N = ZρNₐ/Mₘ. Daraus folgt:

1 − n = (2,70 · 10⁸ m/mol) · Zρλ²/Mₘ.

Für die Mo-Kα-Linie mit λ = 7,1 · 10⁻¹¹ m ergibt sich in Silicium 1 − nSi = 1,593 · 10⁻⁶, in Luft 1 − nLuft = 8,82 · 10⁻¹⁰. Daher gilt bei Röntgenstrahlung nLuft > nSi: Luft ist gegenüber Silicium optisch dichter. Bei Silicium beträgt der kritische Winkel für Totalreflexion 1,785 mrad = 0,102°; er ist proportional zur Wellenlänge. Dieses Verhalten ist eine Grundlage der Diffraktometrie unter streifendem Einfall. Der Absorptionskoeffizient κ ist proportional zu λ³.

Im Plasma unterscheiden sich die Brechungsindizes für links- und rechtsdrehend zirkular polarisierte Wellen. Bei Ausbreitung parallel zum Magnetfeld gelten:

nlinks = √(1 − fP²/[f(f + fB)]),

nrechts = √(1 − fP²/[f(f − fB)]).

f ist die Wellenfrequenz, fP die Plasmafrequenz und fB die Gyrationsfrequenz der freien Elektronen. Bei senkrechter Ausbreitung ist fB = 0, sodass der Unterschied verschwindet. Die unterschiedlichen Brechungsindizes können den Faraday-Effekt verursachen: Eine linear polarisierte Welle wird als Überlagerung zweier entgegengesetzt zirkular polarisierter Wellen betrachtet, deren unterschiedliche Wellenlängen die Polarisationsebene drehen. In der Ionosphäre kann dies bei Funksignalen zu stark schwankender Signalstärke, dem Fading, führen. Bei der Zyklotronresonanz wird eine zirkular polarisierte Welle abhängig von Drehsinn und Frequenz absorbiert; Satellitenfunk nutzt deshalb Frequenzen weit oberhalb der Plasmafrequenz.

Messung und Anwendungen

Der Brechungsindex eines nichtmagnetischen Mediums kann über den Brewster-Winkel bestimmt werden. Beim Übergang von Luft in das Medium gilt:

tan(αBrewster) = nmed/nLuft ≈ nmed.

Das Messgerät dafür ist ein Refraktometer. Eine grobe Bestimmung ist auch mit der Immersionsmethode möglich: Ein durchsichtiger Gegenstand wird in Flüssigkeiten verschiedener Dichte eingetaucht. Stimmen die Brechungsindizes von Gegenstand und Flüssigkeit überein, verschwindet der Gegenstand scheinbar; bei unterschiedlichen Farben können zumindest die Konturen verschwinden. Rubin oder Saphir mit einem Brechungsindex von ungefähr 1,76 lassen sich beispielsweise in Diiodmethan mit n = 1,74 erkennen.

Der Brechungsindex ist eine zentrale Größe bei der Auslegung optischer Linsen und Instrumente. In der Chemie und Pharmazie dient er bei festgelegter Temperatur und Wellenlänge zur Charakterisierung von Flüssigkeiten. Die Schreibweise nD²⁰ bezeichnet beispielsweise eine Messung bei 20 °C und der Natrium-D-Linie. Über den Brechungsindex lässt sich außerdem der Gehalt bestimmter Stoffe in Lösungen bestimmen, etwa Zucker in Wein, Harz in Lösungsmitteln oder Ethylenglycol im Kühlwasser.

Atomarer Aufbau und negative Brechungsindizes

Bei kristallinen Materialien hängt der Brechungsindex vom Kristallgitter und der daraus folgenden Bandstruktur ab. Eine Verschiebung der Bandlücke kann sich im sichtbaren Spektrum bemerkbar machen. Anisotrope Kristalle können Doppelbrechung zeigen. Ihre Hauptbrechungsindizes werden so geordnet, dass nα < nβ < nγ gilt. In optisch einachsigen trigonal, tetragonal oder hexagonal aufgebauten Kristallen fällt die optische Achse mit der kristallographischen c-Achse zusammen. Der ordentliche Strahl besitzt nα = nβ; der außerordentliche Strahl besitzt nγ ≠ nα.

Auch bei teilkristallinen und amorphen Materialien beeinflusst der atomare Aufbau den Brechungsindex. Bei Silikat-, Bleisilikat- und Borosilikatgläsern steigt er im Allgemeinen mit der Dichte, die Beziehung ist jedoch nicht immer linear. Gläser mit Li₂O oder MgO können einen relativ großen Brechungsindex bei kleiner Dichte haben; PbO- und BaO-haltige Gläser zeigen das Gegenteil.

Metamaterialien können einen negativen Brechungsindex besitzen. Die Definition über eine negative Lichtgeschwindigkeit ist dann nicht sinnvoll; alternativ kann man den Brechungsindex über das Fermatsche Prinzip, das Huygenssche Prinzip oder das Snelliussche Brechungsgesetz definieren. Für gewöhnliche optische Materialien führen diese Definitionen zum gleichen Wert.

1968 beschrieb Wiktor Wesselago Materialien mit negativem Brechungsindex. 1999 schlug John Pendry ein entsprechendes Mikrowellendesign vor. 2000 zeigte Pendry, dass damit eine Linse möglich ist, deren Auflösung nicht durch das Beugungslimit begrenzt wird. Die Linse muss sich im Nahfeld des Objekts befinden; bei sichtbarem Licht beträgt der Abstand etwa < 1 µm. Später wurde ein Mikroskop mit einer Auflösung von einem Sechstel der verwendeten Lichtwellenlänge gebaut. Weitere im Artikel genannte Entwicklungen betreffen Yttrium-Vanadat-Kristalle (2003) und Metamaterialien für nahes Infrarot (2007).