Smith-Diagramm

Zweck und Bedeutung

Das Smith-Diagramm ist ein grafisches Hilfsmittel der komplexen Wechselstromrechnung. Es stellt elektrische Impedanzen und Admittanzen geometrisch dar und ermöglicht dadurch, Berechnungen an Wechselstromschaltungen und Leitungen als Konstruktionen im Diagramm auszuführen. Die Impedanz beschreibt den komplexen Wechselstromwiderstand; die Admittanz ist ihr Kehrwert.

Phillip Smith stellte das Diagramm erstmals 1939 vor. Ursprünglich sollte es aufwendige komplexe Rechnungen von Hand ersetzen. Da Taschenrechner und Computer solche Rechnungen heute direkt ausführen können, dient es inzwischen vor allem zur anschaulichen Darstellung von Impedanzverläufen in technischen Dokumenten und Datenblättern sowie in Ausbildung und Lehre. Netzwerkanalysatoren können ihre Messdaten häufig unmittelbar als Smith-Diagramm anzeigen.

Mathematischer Aufbau

Das Smith-Diagramm ist kreisförmig und besitzt ein komplexes Koordinatensystem. Es entsteht durch die konforme Möbiustransformation

r(z) = (z − 1)/(z + 1).

Dabei wird die komplexe Impedanzebene, auch z-Ebene genannt, auf die komplexe Reflexionsfaktorebene oder r-Ebene abgebildet. Der Reflexionsfaktor Γ beschreibt Reflexionen an Leitungen und wird je nach Bezeichnung auch mit r angegeben. Die allgemeine Form einer Möbiustransformation lautet

f(z) = (az + b)/(cz + d).

Die rechte Hälfte der Impedanzebene wird auf das Innere des Einheitskreises abgebildet. Genau dieses Kreisinnere bildet das Smith-Diagramm. Die linke Halbebene liegt außerhalb des Diagramms und entspricht Impedanzen mit negativem Realteil. Solche Impedanzen treten bei passiven Bauteilen nicht auf.

Eine wichtige Eigenschaft der Abbildung ist, dass eine Impedanz z und ihr Kehrwert 1/z in der Reflexionsfaktorebene punktsymmetrisch zum Ursprung liegen. Beispielsweise gilt für z = 2 + j:

1/z = 1/(2 + j) = 0,4 − 0,2j.

Deshalb lässt sich dasselbe Diagramm sowohl als Impedanz- als auch als Admittanz-Diagramm verwenden. Der Übergang zur Admittanz erfolgt durch Spiegelung am Mittelpunkt. In der Elektrotechnik bezeichnet j die imaginäre Einheit, weil i bereits für den zeitabhängigen Strom verwendet wird.

Im Diagramm wird grundsätzlich mit normierten, also auf einen Bezugswert bezogenen Größen gearbeitet. Dadurch ist die Darstellung unabhängig von der tatsächlichen Impedanz, Frequenz oder Wellenlänge. Die obere Hälfte enthält induktive, die untere Hälfte kapazitive Impedanzwerte. Kreise stellen die Realteile der normierten Impedanz dar; senkrecht dazu verlaufende Kurven zeigen die Imaginärteile. Der Kurzschluss z = 0 liegt ganz links, der Leerlauf z → ∞ ganz rechts.

Arbeiten mit dem Diagramm

Vor dem Eintragen werden alle Größen normiert: Impedanzen werden durch die charakteristische Impedanz Z₀ dividiert, Admittanzen mit Z₀ multipliziert.

• In Serie geschaltete Impedanzen können direkt addiert werden.

• Bei einer Parallelschaltung wird zunächst zur Admittanz übergegangen. Da die Admittanz der Kehrwert der Impedanz ist, geschieht dies durch Spiegelung des betreffenden Punktes am Mittelpunkt. Danach werden die Admittanzen addiert. Alternativ können zwei übereinanderliegende Smith-Diagramme verwendet werden, von denen eines um 180° gedreht ist.

• Eine Stichleitung wird in eine Ersatzimpedanz umgerechnet und abhängig von ihrer Anordnung wie eine serielle oder parallele Impedanz addiert.

• Eine Bewegung entlang einer Leitung entspricht einer Drehung auf einem Kreis mit konstantem Betrag des Reflexionsfaktors. Zum Generator wird im Uhrzeigersinn, zur Last im Gegenuhrzeigersinn gedreht; der Drehwinkel richtet sich nach der normierten Leitungslänge.

In der Leitungstheorie lassen sich Reflexionsfaktor Γ und Stehwellenverhältnis SWR ohne komplexe Rechnung bestimmen. Der Betrag von Γ entspricht der Länge der Verbindung vom Ursprung zum eingetragenen Punkt. Seine Phase wird auf der äußeren Skala in Verlängerung dieser Linie abgelesen. Das SWR kann aus Γ bestimmt oder direkt abgelesen werden: Dazu dreht man den Punkt im Uhrzeigersinn um den Mittelpunkt auf die reelle Achse beziehungsweise betrachtet den rechten Schnittpunkt des Kreises mit konstantem |Γ| mit dieser Achse. Das Smith-Diagramm wird deshalb besonders bei Problemen der Impedanzanpassung eingesetzt.

Berechnungsbeispiel

Gegeben sind ein ohmscher Widerstand R = 150 Ω und ein Kondensator C = 10 μF in Reihe. Parallel zu dieser Reihenschaltung liegt eine Spule L = 0,5 H. Die Frequenz des Generators beträgt f = 79,6 Hz. Daraus folgt die Kreisfrequenz

ω = 2πf = 500 s⁻¹.

Die Impedanzen des Kondensators und der Spule sind

X_C = 1/(jωC) = −j/(ωC) = −200j Ω

und

X_L = jωL = 250j Ω.

Für die Reihenschaltung aus Widerstand und Kondensator ergibt sich durch Addition

X₁ = 150 Ω − 200j Ω.

Mit dem Bezugswiderstand Z₀ = 100 Ω werden die Werte normiert:

X₁ = 1,5 − 2j, X₂ = 2,5j.

Da X₁ und X₂ parallel liegen, gilt

1/X = 1/X₁ + 1/X₂.

Die Kehrwerte, die im Diagramm durch Spiegelung am Kreismittelpunkt entstehen, lauten

1/X₁ = 0,24 + 0,32j, 1/X₂ = −0,4j.

Ihre Addition ergibt

1/X = 0,24 − 0,08j.

Eine weitere Spiegelung liefert den Kehrwert und damit die normierte Gesamtimpedanz

X = 3,75 + 1,25j.

Nach der Rückmultiplikation mit 100 Ω beträgt die Gesamtimpedanz

X = 375 Ω + 125j Ω.

Die Schaltung kann daher ersatzweise als Reihenschaltung aus einem Widerstand von 375 Ω und einer Spule mit der Impedanz 125j Ω dargestellt werden. Bei ω = 500 s⁻¹ entspricht dies einer Induktivität von 0,25 H.

Dreidimensionale Erweiterung

Verallgemeinerte dreidimensionale Smith-Diagramme können aktive und passive Netzwerke gemeinsam darstellen. Dazu werden sie auf die riemannsche Zahlenkugel projiziert.