Reflexionsfaktor

Grundidee und Bedeutung

Der Reflexionsfaktor, auch Reflexionskoeffizient genannt, ist in der Physik das Amplitudenverhältnis zwischen reflektierter und einfallender Welle beim Übergang in ein anderes Ausbreitungsmedium. Die Amplitude kann sich auf eine skalare oder vektorielle Feldgröße beziehen, zum Beispiel auf die elektrische Spannung einer Leitung, den Schalldruck oder die elektrische Feldstärke elektromagnetischer Wellen.

Im Allgemeinen ist der Reflexionsfaktor eine komplexe Größe. Sein Betrag beschreibt, um welchen Anteil die reflektierte Welle gegenüber der einfallenden Welle abgeschwächt ist. Sein Argument gibt den Phasenunterschied der reflektierten zur einfallenden Welle an. Der Reflexionsfaktor hängt unter anderem vom Einfallswinkel und vom Wellentyp ab. Bei akustischen Wellen ist er für Longitudinal- und Transversalwellen unterschiedlich; in der Optik hängt er von der Polarisation ab. Diese optischen Zusammenhänge werden durch die Fresnelschen Gleichungen beschrieben.

Beim Übergang in ein optisch oder akustisch dünneres Medium kann es bei flachen Einfallswinkeln zur Totalreflexion kommen; dann ist der Reflexionsfaktor 1. Das Amplitudenverhältnis von transmittierter zu einfallender Welle heißt Transmissionsfaktor. Für die Übertragung von Energie ist dagegen der Reflexionsgrad maßgeblich, der sich auf Leistung oder Intensität bezieht. Der Reflexionsgrad kann für ein gesamtes Bauteil angegeben werden und wegen Interferenz stark von der Wellenlänge abhängen.

Reflexion an Leitungen

In der Leitungstheorie entsteht eine Reflexion, wenn sich die Wellenimpedanz einer linearen, homogenen Leitung an einer Stoßstelle ändert oder eine Störstelle, etwa ein Querwiderstand, vorhanden ist. Bei linearem Verhalten beschreibt der dimensionslose Reflexionsfaktor, wie aus der ankommenden Spannungs- und Stromwelle die reflektierte Welle entsteht. Übliche Symbole sind Γ und r. Der Transmissionsfaktor T beschreibt den Anteil der durchgelassenen Welle, sofern die Leitung nicht endet. Beide Faktoren können von der Richtung abhängen, in der die Welle die Stoßstelle durchläuft.

Für zwei Leitungen mit reellen Wellenwiderständen oder für eine Leitung mit ohmschem Abschluss gilt:

Γ = Uᵣ/Uₕ = −Iᵣ/Iₕ = (Z𝑤2 − Z𝑤1)/(Z𝑤2 + Z𝑤1), |Γ| ≤ 1.

Dabei ist Z𝑤1 die Wellenimpedanz vor der Sprungstelle und Z𝑤2 die Wellenimpedanz danach beziehungsweise der ohmsche Abschlusswiderstand. Der Transmissionsfaktor lautet:

T = 2 · Z𝑤2/(Z𝑤2 + Z𝑤1) = 1 + Γ.

Wichtige Grenzfälle sind: Bei Z𝑤2 = 0 gilt Γ = −1; am kurzgeschlossenen Leitungsende tritt Totalreflexion mit Phaseninvertierung auf. Bei Z𝑤2 = Z𝑤1 gilt Γ = 0; die Leitung ist ideal angepasst und es gibt keine Reflexion. Bei Z𝑤2 → ∞ gilt Γ = +1; am offenen Ende tritt Totalreflexion ohne Phaseninvertierung auf.

Weitere Beispiele: Für Z𝑤2 = 1/2 Z𝑤1 ist Γ = −1/3 und 11 % der Energie werden reflektiert. Für Z𝑤2 = 4/5 Z𝑤1 ist Γ = −1/9 und 1,2 % werden reflektiert. Für Z𝑤2 = 5/4 Z𝑤1 ist Γ = +1/9 und 1,2 % werden reflektiert. Für Z𝑤2 = 2 Z𝑤1 ist Γ = +1/3 und 11 % werden reflektiert.

Komplexe Reflexion und Frequenzabhängigkeit

Bei sinusförmiger Spannung wird die Leitung mit der komplexen Wechselstromrechnung beschrieben. Der Reflexionsfaktor ist dann das Verhältnis der komplexen Amplituden der reflektierten und der ankommenden Spannungswelle. Er wird mit derselben Formel wie im reellen Fall berechnet, wobei Wellen- oder Abschlusswiderstände im Allgemeinen komplex sein können.

Der Reflexionsfaktor ist ein von der Frequenz abhängiger komplexer Phasor. Bei reellem Wellenwiderstand ist sein Betrag nie größer als 1. Sein Argument bestimmt den Phasensprung an der Stoßstelle. Ist der Reflexionsfaktor nicht 0, überlagern sich hin- und rücklaufende Welle zu stehenden Wellen. Bei einem Abschluss mit reinem Blindwiderstand ist |Γ| ebenfalls 1; auch dann liegt Totalreflexion vor. Die Frequenzabhängigkeit kann als Ortskurve dargestellt werden.

Beispiel: Wird eine Leitung mit reellem Wellenwiderstand Z mit einer Kapazität C abgeschlossen, gilt

Γ̲(jω) = ((1/(jωC)) − Z)/((1/(jωC)) + Z) = (1 − jωCZ)/(1 + jωCZ) = e^(−2j · arctan(ωCZ)).

Transformation, Operator und Kenngrößen

An der Stoß- oder Störstelle ist der Reflexionsfaktor zunächst genau dort definiert. Bei sinusförmigen Wellen lässt er sich auf jede Stelle der Leitung verallgemeinern: Er ist dann das Verhältnis der Phasoren der rücklaufenden und hinlaufenden Spannungswelle an dieser Stelle. Für den Abstand y von der Stoßstelle gilt

Γ̲(y) = Γ̲(0) · e^(±2yγ) = Γ̲(0) · e^(±2yα) · e^(±4πjy/λ).

Dabei ist γ = α + jβ die komplexe Fortpflanzungskonstante der Leitung; sie darf nicht mit dem Reflexionsfaktor Γ verwechselt werden. Γ(0) ist der Reflexionsfaktor an der Stoßstelle. Mit wachsendem Abstand wird seine Phase durch e^(±4πjy/λ) gedreht. Bei einer verlustbehafteten Leitung wird sein Betrag zusätzlich durch e^(±2yα) gedämpft. Das Vorzeichen hängt von der Ausbreitungsrichtung ab.

Sind Wellenwiderstände oder das Störelement mit einem Blindwiderstandsanteil behaftet, kann eine nichtsinusförmige reflektierte Welle gegenüber der ankommenden Welle auch in ihrer Form linear verzerrt werden. Reflexions- und Transmissionsfaktor sind dann formal Operatoren; die Berechnung ist im Allgemeinen nur numerisch möglich. Für den kapazitiven Abschluss einer Leitung mit Wellenwiderstand Z lautet der Operator mit der komplexen Frequenz s:

Γ̲(s) = ((1/(sC)) − Z)/((1/(sC)) + Z) = (1 − sCZ)/(1 + sCZ).

Multipliziert man ihn mit der Bildfunktion der ankommenden Welle, erhält man die Bildfunktion der reflektierten Welle, die anschließend in eine Zeitfunktion zurücktransformiert werden muss.

Für die Rückflussdämpfung gilt R = Pₕ/Pᵣ = |Uₕ/Uᵣ|² = 1/|Γ|². Das Rückflussdämpfungsmaß a wird logarithmisch in Dezibel angegeben:

a = 10 dB · lg R = −20 dB · lg|Γ| = −20 dB · lg| (Z𝑤2 − Z𝑤1)/(Z𝑤2 + Z𝑤1) |.

Bei sinusförmigen Wellen auf verlustlosen Leitungen ist der Reflexionsfaktor Γ identisch mit dem Streuparameter s₁₁. Für das Stehwellenverhältnis SWR gilt |Γ| = |s₁₁| = (SWR − 1)/(SWR + 1).

Reflexionskoeffizient bei Wasserwellen

Bei monochromatischen Wasserwellen ist der Reflexionskoeffizient Cᵣ als Verhältnis der Höhe Hᵣ der reflektierten Welle zur Höhe Hᵢ der anlaufenden Welle definiert:

Cᵣ = Hᵣ/Hᵢ < 1.

Er kann aus den Wasserspiegelauslenkungen einer an einem Bauwerk teilweise stehenden Welle bestimmt werden:

Cᵣ = Hᵣ/Hᵢ = (Hmax − Hmin)/(Hmax + Hmin).

Dabei gilt Hmax = Hᵢ + Hᵣ und Hmin = Hᵢ − Hᵣ.

Für die frequenzabhängige Reflexion von Wellenspektren können in definierten Frequenzbändern i statt der überlagerten vertikalen Wasserspiegelauslenkungen die Extremwerte der integrierten Energiedichte verwendet werden:

Cᵣ,ᵢ = (√Emax,ᵢ − √Emin,ᵢ)/(√Emax,ᵢ + √Emin,ᵢ).

Emax,ᵢ ist der Betrag des Energiemaximums der beitragenden Frequenzkomponenten am Schwingungsbauch, Emin,ᵢ der Betrag des Energieminimums am Schwingungsknoten.

Bei partieller Reflexion an geneigten Wänden kann ein Phasensprung Δφ zwischen einfallender und reflektierter Welle auftreten. Dann wird ein komplexer Reflexionskoeffizient definiert:

Γ = Cᵣ · e^(iΔφ).

Er enthält somit sowohl das Wellenhöhenverhältnis als auch die Phasenverschiebung.