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Bandbreite
Die Bandbreite ist eine Kenngröße in der Signalverarbeitung. Sie legt die Breite des Intervalls in einem Frequenzspektrum fest, in dem die dominanten …
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Grundbegriff und Grenzfrequenzen
Die Bandbreite ist eine Kenngröße der Signalverarbeitung. Sie beschreibt die Breite des Frequenzintervalls, in dem die dominanten Anteile eines zu übertragenden oder zu speichernden Signals liegen. Sie ist unter anderem in der Nachrichten- und Funktechnik sowie in der Akustik wichtig.
Jeder Übertragungskanal besitzt aufgrund seiner physikalischen Eigenschaften eine untere Grenzfrequenz und eine obere Grenzfrequenz. Die Bandbreite ist die Betragsdifferenz zwischen diesen beiden Werten. Grenzfrequenzen werden als Frequenz f in Hertz (Hz) oder als Kreisfrequenz ω in s⁻¹ angegeben.
Ist die untere Grenzfrequenz null, liegt ein Signal in Basisbandlage vor. Ist sie größer als null, spricht man von Bandpasslage. Da Grenzfrequenzen je nach Anwendung unterschiedlich festgelegt werden können, können für dasselbe physikalische System verschiedene Bandbreitenangaben entstehen.
Strikte Bandbegrenzung und Modulation
Ein Signal heißt strikt bandbegrenzt, wenn sein Betragsfrequenzgang |X(jω)| außerhalb des festgelegten Frequenzbereichs gleich 0 ist. Reale Systeme erfüllen diese Bedingung nur näherungsweise; die strikte Bandbegrenzung ist vor allem ein vereinfachtes Modell der Signaltheorie.
Bei einem strikt bandbegrenzten Basisbandsignal übernimmt ein idealer Tiefpass die Begrenzung. Reelle Basisbandsignale besitzen auch negative Frequenzanteile, das sogenannte Spiegelspektrum. Diese negativen Anteile werden bei der Bandbreitenangabe nicht mitgerechnet. Für die obere Grenzfrequenz ω_g gilt daher B = ω_g.
Bei Signalen in Bandpasslage erfolgt die Begrenzung durch einen Bandpassfilter. Solche Signale entstehen beispielsweise, wenn ein Basisbandsignal moduliert und seine Mittenfrequenz von null auf die Trägerfrequenz ω_m verschoben wird. Mit der positiven unteren Grenzfrequenz ω_u gilt B′ = ω_g − ω_u.
Bei linearer Modulation eines reellwertigen Basisbandsignals werden dessen negative Frequenzen in den positiven Spektralbereich verschoben. Dadurch verdoppelt sich die Bandbreite: B′ = 2 · B. Die beiden Bereiche unterhalb und oberhalb der Mittenfrequenz heißen unteres und oberes Seitenband und enthalten bei reellwertigen Basisbandsignalen dieselbe Information.
Ein analytisches Signal besitzt keine negativen Frequenzen. Deshalb ist seine Bandbreite in Basisband- und Bandpasslage gleich; im Basisband kann es nur komplex dargestellt werden. Technisch wird diese Eigenschaft beispielsweise bei der Einseitenbandmodulation genutzt. Bei nichtlinearen Verfahren wie der Frequenzmodulation besteht dagegen kein direkter Zusammenhang zwischen der Basisbandbreite und der benötigten Bandbreite in Bandpasslage.
Praktische und modulationsbezogene Definitionen
Da reale Filter nur eine endliche Dämpfung besitzen, verteilen sich Signalanteile über das gesamte Spektrum. Nach einer strikt mathematischen Definition wäre ihre Bandbreite deshalb unendlich. Als praktische Größe verwendet man häufig die 3-dB-Bandbreite. Sie wird anhand des Leistungsdichtespektrums |X(jω)|² um dessen Maximum A bestimmt. Die Grenzfrequenzen liegen dort, wo die Leistung auf A/2 gefallen ist. Dies ist die Halbwertsbreite und entspricht 10 · log(1/2) ≈ −3,01 dB. Die Amplitude ist an diesen Punkten auf den Faktor 1/√2 abgesunken.
Für die 3-dB-Bandbreite gilt im Basisband B = ω_g und in Bandpasslage B′ = ω_g − ω_u. Bei einem Tiefpassfilter 1. Ordnung entspricht sie genau der Bandbreite B des Filters und wird deshalb auch 3-dB-Grenzfrequenz genannt. Bei einem Reihen- oder Parallelschwingkreis ist die relative Bandbreite d dimensionslos. Sie ist definiert als d = B′/ω_m = 1/Q. Damit entspricht sie dem Verlustfaktor und ist der Kehrwert des Gütefaktors Q.
Für Winkelmodulationen wie Frequenz- und Phasenmodulation wird die nach John Renshaw Carson benannte Carson-Bandbreite verwendet. Die 10-%-Carson-Bandbreite B₁₀ % umfasst die Spektrallinien, die zusammen 90 % der Signalleistung ausmachen. Die selten verwendete 1-%-Carson-Bandbreite B₁ % umfasst die Spektrallinien mit zusammen 99 % der Leistung.
Digitale Signale und Antennen
Das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem ist für die digitale Signalverarbeitung zentral. Ein zeitkontinuierliches Signal lässt sich aus seinen zeitdiskreten Abtastwerten beliebig genau rekonstruieren, wenn seine Bandbreite höchstens halb so groß wie die Abtastfrequenz ist. Diese maximale zulässige Bandbreite heißt Nyquist-Bandbreite.
Eine einfache Rekonstruktion als Treppenfunktion ist nur eine grobe Darstellung. Die aneinandergereihten Rechteckimpulse besitzen als Spektrum eine Sinc-Funktion mit unendlicher Bandbreite. Der Bereich zwischen den jeweils ersten Nullstellen für positive und negative Frequenzen entspricht jedoch der Nyquist-Bandbreite. Das Produkt aus dieser Bandbreite und der Abtastperiode beträgt 1.
In der Antennentechnik werden auch dimensionslose relative Bandbreiten verwendet. Bei Schmalbandantennen, deren Betragsfrequenzgang näherungsweise konstant ist, gibt man die prozentuale Bandbreite mit B_% = 2 · (ω_g − ω_u)/(ω_g + ω_u) an. Ihr theoretischer Höchstwert beträgt 200 %, wenn ω_u = 0 ist.
Bei Breitbandantennen ist der Betragsfrequenzgang nicht konstant. Ihre relative Bandbreite wird als Verhältnis der Grenzfrequenzen B_N = ω_g/ω_u berechnet und in der Form B_N : 1 angegeben.
Rechtliche Begriffe und typische Größen
In der Frequenzverwaltung bezeichnet die belegte Bandbreite den Frequenzbereich, den eine Funkaussendung tatsächlich benutzt. Nach Artikel 1.153 der Vollzugsordnung für den Funkdienst (VO Funk) der Internationalen Fernmeldeunion (ITU) wird sie durch Integration über die spektrale Leistungsdichte bestimmt: Zwischen der unteren und oberen Frequenzgrenze müssen 99,0 % der insgesamt ausgestrahlten Leistung liegen. Außerhalb verbleiben insgesamt 1,0 %, verteilt auf 2 · 0,5 %.
Die erforderliche Bandbreite ist nach Artikel 1.152 der VO Funk diejenige Bandbreite, die bei einer bestimmten Sendeart und einer gegebenen Geschwindigkeit gerade ausreicht, um die Übertragung der Nachricht sicherzustellen.
Ein Telefonsystem überträgt näherungsweise Frequenzen von 300 Hz bis 3400 Hz. Seine Bandbreite beträgt somit 3400 Hz − 300 Hz = 3100 Hz beziehungsweise 3,1 kHz. Das reicht für eine verständliche Sprachübermittlung. Tiefere und höhere Sprachanteile werden durch Bandbegrenzung unterdrückt.
Weitere ungefähre Bandbreiten zeigen die große Spannweite möglicher Anwendungen: Kernspinresonanzspektroskopie 0,1 Hz, Längstwelle 1 Hz, Elektrokardiogramm 40 Hz, Telefon und Slow Scan Television 3,1 kHz, AM-Rundfunk-Audio 4,5 kHz, AM-Sendekanal 9 kHz, analoger UKW-Rundfunk in Mono 15 kHz und Audio-CD 22 kHz. GSM-Signale in Bandpasslage benötigen etwa 200 kHz, UKW-Rundfunksignale einschließlich Zusatzdiensten etwa 300 kHz, analoge AM-Fernsehsignale einschließlich Ton 7 MHz und WLAN nach IEEE 802.11 a/b in Bandpasslage 22 MHz. Beim Front Side Bus werden etwa 400 MHz genannt, bei Ultrabreitband mehr als 500 MHz und bei Glasfaser-Ethernet bis zu 50 GHz.
