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Resonanz
Resonanz (von lateinisch resonare „widerhallen“) ist in Physik und Technik das verstärkte Mitschwingen eines schwingfähigen Systems, wenn es einer zeitlich …
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Grundidee und Bedeutung
Resonanz ist das verstärkte Mitschwingen eines schwingfähigen Systems unter einer zeitlich veränderlichen Einwirkung. Die Ausschläge können dabei viel größer werden als bei einer konstant wirkenden Kraft mit derselben maximalen Stärke. Bei periodischer Anregung muss die Anregungsfrequenz oder ein ganzzahliges Vielfaches davon nahe bei einer Resonanzfrequenz des Systems liegen.
Der Effekt beruht darauf, dass das System bei jeder Schwingung erneut Energie aufnimmt und speichert. Die Amplitude wächst zunächst, bis die zugeführte Energie durch Dämpfung, etwa Reibung, aufgebraucht wird. Bei zu großem Unterschied zwischen Anregungs- und Resonanzfrequenz kann sich die Richtung des Energieflusses wiederholt umkehren: Anregung und System geraten dann „aus dem Takt“.
Schließlich entsteht eine eingeschwungene Schwingung mit konstanter Amplitude. Ihre Frequenz ist gleich der Anregungsfrequenz; die pro Schwingung zugeführte Energie wird vollständig durch die Dämpfung aufgezehrt. Nach dem Abschalten der Anregung klingt das System als gedämpfte Schwingung mit seiner Eigenfrequenz ab. Resonanz wird genutzt, um Frequenzen zu filtern oder zu verstärken, muss aber vermieden werden, wenn gefährlich große Ausschläge, eine Resonanzkatastrophe oder Zerstörung drohen. Gegenmaßnahmen sind höhere Dämpfung, veränderte Eigen- oder Anregungsfrequenz sowie eine schwächere Anregung.
Harmonischer Oszillator und eingeschwungene Schwingung
Ein Masse-Feder-Dämpfer-System ist ein Beispiel für einen harmonischen Oszillator. Seine Bewegungsgleichung bei äußerer Kraft F(t) lautet: m x¨ + c x˙ + kx = F(t). Dabei ist x(t) die Auslenkung aus der Ruhelage, m die Masse, k die Federkonstante und c die Dämpfungskonstante.
Ohne äußere Kraft und ohne Dämpfung lautet die Eigenkreisfrequenz ω₀ = √(k/m). Bei Dämpfung c > 0 ist γ = c/(2m); die freie Schwingung hat die Kreisfrequenz √(ω₀² − γ²), und ihre Amplitude nimmt proportional zu e^(−γt) ab. Eine konstante Kraft F(t) = F₀ erzeugt die statische Auslenkung A_E = F₀/k.
Für eine sinusförmige Anregung mit Kreisfrequenz ω lautet die eingeschwungene Bewegung x(t) = A sin(ωt − φ). Die Amplitude ist A = (F₀/m)/√((ω₀²−ω²)²+(2γω)²) = A_E/√((1−η²)²+(2ηD)²). Die Phasenverschiebung ist φ = arctan(2ωγ/(ω₀²−ω²)) = arctan(2ηD/(1−η²)). Hierbei gilt η = ω/ω₀ und D = γ/ω₀. Der dimensionslose Gütefaktor ist Q = 1/(2D). Er gibt die Zahl der freien Schwingungen an, nach denen die Amplitude auf e^(−π) ≈ 4 % des Anfangswerts abgeklungen ist; nach Q/π Schwingungen beträgt sie noch 1/e ≈ 37 %.
Amplitude, Phase, Energie und Resonanzschärfe
Der Amplitudengang beschreibt, wie die Amplitude A von der Erregerfrequenz ω abhängt; sein Graph heißt Resonanzkurve. Bei D < √(1/2) besitzt sie ein Maximum, die Amplitudenresonanz. Deren Frequenz ist ω_res = √(1−2D²) ω₀ = √(ω₀²−2γ²), die maximale Amplitude A_res = A_E/(2D√(1−D²)). Die Resonanzfrequenz liegt unter ω₀ und auch unter der Kreisfrequenz der freien gedämpften Schwingung.
Bei geringer, nicht verschwindender Dämpfung, 0 < D ≪ 1/2, ist das Maximum scharf und liegt fast bei ω₀. Dann gilt näherungsweise A_res ≈ A_E/(2D). Während des Einschwingens aus der Ruhelage kann die Amplitude zeitweilig fast 2A_res erreichen. Bei D ≥ √(1/2) gibt es keine Amplitudenresonanz; die größte Amplitude ist dann A_E bei ω = 0.
Bei ω = ω₀ beträgt die Phasenverschiebung genau 1/4 Periode beziehungsweise −90°. Geschwindigkeit und anregende Kraft sind dann in Phase, die Kraft liefert also ständig Energie. Bei anderen Frequenzen wechselt der Energiefluss zweimal pro Periode seine Richtung. Die maximale potentielle Energie E_pot = 1/2 kA² liegt bei der Amplitudenresonanz, die maximale kinetische Energie E_kin = 1/2 mω²A² dagegen genau bei ω = ω₀. Bei geringer Dämpfung wird dafür oft die Lorentzkurve verwendet.
Die Halbwertsbreite Δf_FWHM ist der Frequenzbereich um f_res = ω₀/(2π), in dem A² ≥ 1/2 A_res² gilt. Für geringe Dämpfung: Δf_FWHM = 2D·ω₀/(2π) = γ/π und Δf_FWHM/f_res = 2D = 1/Q. Eine hohe Güte bedeutet daher eine schmale, scharfe Resonanz und ein langes „Gedächtnis“ des Oszillators. Es gilt Δt·Δf_FWHM = 1: Genauere Frequenzbestimmung erfordert längere Beobachtungszeit.
Für Dämpfung Null gibt es bei ω = ω₀ keinen stationären Zustand. Aus der Ruhelage wächst die Amplitude A(t) = F₀t/(2mω₀) linear an; theoretisch folgt eine Resonanzkatastrophe. Außerhalb der exakten Resonanz ist eine stationäre Schwingung bei geeigneten Anfangsbedingungen möglich.
Typische Anwendungen in Mechanik, Akustik und Elektrotechnik
Bei einer Kinderschaukel ist wiederholtes Anschubsen zur passenden Phase Resonanz; auch ein Anschubsen nur bei jeder zweiten oder dritten Schwingung kann genügen. Ein einmaliger Stoß auf ein Pendel ist dagegen keine Resonanz, weil die Anregung nicht periodisch ist. Ebenso kann Suppe auf einem Tablett bei passender Schrittfrequenz immer stärker schwappen. Ruckartiges Anhalten kann zwar ebenfalls zum Überschwappen führen, ist aber keine Resonanz.
Mechanische Resonanz kann bei Brücken durch marschierende Fußgängermassen, bei Fahrzeugkarosserien durch bestimmte Motordrehzahlen oder bei schlecht gedämpften Waschmaschinentrommeln gefährlich werden. Sie wird unter anderem in Zungenfrequenzmessern und piezoelektrischen Ultraschallwandlern genutzt. In der Hydromechanik gehören Tideresonanz und Wellenresonanz dazu.
Akustische Resonanz ist wichtig für Streich- und Blasinstrumente, Resonanzböden und stehende Wellen in Luftsäulen. Nicht gespielte Saiten können bei gleicher Stimmung mitschwingen; in Räumen können störende Raumresonanzen auftreten. Bei einem beiderseits offenen Rohr wurden Mehrfachresonanzen bei Vielfachen von 500 Hz gemessen; aus 325 mm Rohrlänge und Schallgeschwindigkeit folgt als Sollwert 528 Hz. Der hohe Gütefaktor bedeutet dort geringen Energieverlust.
Elektrische Schwingkreise besitzen die Resonanzfrequenz ω₀ = 1/√(LC). Sie ermöglichen in Funktechnik die Trennung von Sendefrequenzen und werden in Oszillatorschaltungen sowie Filtern eingesetzt. Im Transistorradio verändert ein Drehkondensator die Resonanzfrequenz eines LC-Schwingkreises und wählt so die zu verstärkende Senderfrequenz. Resonanz steigert auch den Wirkungsgrad von Antennen und Tesla-Transformatoren; weitere Anwendungen sind induktive Zugbeeinflussung, RFID, Absorptionsfrequenzmesser und Magnetron.
Resonanz in Atomen und Molekülen
In der Quantenphysik entspricht einem Energiebetrag E nach E = hf eine Frequenz f. Deshalb wird Resonanz oft als Übereinstimmung einer Photonenergie mit einer Energiedifferenz zwischen zwei Zuständen verstanden. Ein Photon mit E_γ = h·ν kann in der Elektronenhülle eines Atoms nur absorbiert werden, wenn E_γ = ΔE_GA = E_A − E_G ist. Dann wird ein Elektron vom Zustand G in den Zustand A angehoben. Dieser Vorgang heißt Resonanzabsorption und erklärt beispielsweise Fraunhoferlinien im Sonnenspektrum.
Die Anregungswahrscheinlichkeit p_GA(E_γ) wird durch eine Lorentzkurve beschrieben: p_GA(E_γ) ∼ 1/|1+(E_γ/ΔE_GA)²|. Meist kehrt das Elektron anschließend in den Grundzustand zurück und sendet ein Photon der Energie E_γ = E_GA aus. Dies kann spontan als spontane Emission, Fluoreszenz oder Phosphoreszenz geschehen oder durch ein zweites Photon gleicher Energie ausgelöst werden; letztere stimulierte Emission wird beim Laser genutzt.
Bei wiederholter Anregung kann eine Besetzungszahloszillation zwischen G und A entstehen, die Rabi-Oszillation. Resonanzen erlauben dadurch in der Spektroskopie, atom- oder molekültypische Energieniveaus und damit Gase zu identifizieren. Die drei Zapfentypen des menschlichen Auges enthalten Opsin-Moleküle mit unterschiedlicher spektraler Empfindlichkeit; bei Resonanz mit geeigneten Photonen lösen sie Signalkaskaden aus. Auch Elektronenspinresonanz und Kernspinresonanz beruhen darauf, dass ein passend oszillierendes Magnetfeld Spins zwischen zwei diskreten Energiezuständen umklappt; Anwendungen sind Materialuntersuchungen und Magnetresonanztomographie.
Kern- und Teilchenphysik
In der Kernphysik liegt Resonanz vor, wenn zwei Stoßpartner bei einer bestimmten kinetischen Energie kurzzeitig einen Compoundkern in einem möglichen Energiezustand bilden. Der Wirkungsquerschnitt, also ein Maß für die Wahrscheinlichkeit des Stoßprozesses, hat bei dieser Energie ein Maximum in Form einer Breit-Wigner-Kurve, die einer Lorentzkurve ähnelt. Der Compoundkern zerfällt wieder, doch seine Zerfallsbreite zeigt, dass er länger existiert als bei einer bloßen Begegnung im Vorbeiflug. Größere Kerne zeigen außerdem die Riesenresonanz, bei der Protonen gemeinsam gegenüber Neutronen schwingen.
Resonanzabsorption von Gammaquanten erlaubt unter Nutzung des Dopplereffekts den Vergleich von Anregungsenergien mit einer Genauigkeit von mehr als 10^12. Atomkerne können extrem hohe Gütefaktoren besitzen, ab 10^12; für 99Tc wird 6,8·10^24 genannt.
In der Teilchenphysik kann bei passender Stoßenergie im Schwerpunktsystem ein instabiles, aber vergleichsweise langlebiges gebundenes System oder ein andersartiges Teilchen entstehen. Dies heißt Resonanzproduktion. Der Wirkungsquerschnitt als Funktion der Energie zeigt dann ein resonanztypisches Maximum. Solche Systeme heißen Resonanzen oder Resonanzteilchen; aus der Halbwertsbreite beziehungsweise Zerfallsbreite lässt sich ihre für direkte Messung zu kurze Lebensdauer bestimmen.
