Schwebung

Grundprinzip der Schwebung

Eine Schwebung entsteht, wenn zwei Schwingungen mit nur wenig unterschiedlichen Frequenzen additiv überlagert werden. Die resultierende Schwingung hat eine periodisch zu- und abnehmende Amplitude: Sie wird abwechselnd lauter und leiser. Ursache ist, dass sich die Momentanwerte der beiden Ausgangsschwingungen je nach Phasenlage zeitweise verstärken oder abschwächen.

Das Superpositionsprinzip gilt unter anderem für Schallwellen, elektromagnetische Wellen und elektrische Signalströme. Je größer die Differenz der Ausgangsfrequenzen f₁ und f₂ ist, desto schneller wechselt die Amplitude. Bei einer Schwebung werden im Gegensatz zu Mischstufen keine neuen Frequenzen erzeugt und keine Frequenzen verschoben.

Frequenzen und Schwebungsperiode

Für zwei harmonische Schwingungen gilt:

y₁(t) = ŷ₁ sin(2πf₁t)

y₂(t) = ŷ₂ sin(2πf₂t)

Sind die Amplituden gleich, also ŷ₁ = ŷ₂ = ŷ, ergibt sich durch Addition:

y_R(t) = ŷ(sin(2πf₁t) + sin(2πf₂t))

Mit den trigonometrischen Additionstheoremen folgt:

y_R(t) = 2ŷ · sin(2π((f₁ + f₂)/2)t) · cos(2π((f₁ − f₂)/2)t)

Dabei ist f_R = (f₁ + f₂)/2 die Frequenz der Überlagerungsschwingung, also der Mittelwert der beiden Einzelfrequenzen. Die Frequenz der Einhüllenden ist f_S = |f₁ − f₂|/2. Die eigentliche Schwebungsfrequenz ergibt sich aus dem Betrag der Einhüllenden:

f_Schwebung = |f₁ − f₂| = 2f_S ≪ f_R

Damit kann die Schwebungsfunktion auch geschrieben werden als:

y_R(t) = 2ŷ · sin(2πf_Rt) · cos(πf_Schwebungt)

Die Schwebungsperiode beträgt T_Schwebung = 1/f_Schwebung. Sie ist der zeitliche Abstand zwischen zwei Punkten minimaler Amplitude, den Knoten, der Schwebungsfunktion. Je näher f₁ und f₂ beieinanderliegen, desto größer ist die Schwebungsperiode. Sind die Amplituden nicht gleich, spricht man von einer unreinen Schwebung; dies ist von der Schwebung unreiner Intervalle zu unterscheiden.

Akustische Wahrnehmung und Klangbeispiele

In der Akustik sind Schwebungen deutlich hörbar. Werden zwei Töne mit nur geringfügig unterschiedlichen Frequenzen gleichzeitig gespielt, nimmt man einen Ton wahr, dessen Frequenz dem Mittelwert der beiden Frequenzen entspricht. Seine Lautstärke ist moduliert, das heißt, sie schwankt mit der Schwebungsfrequenz |f₁ − f₂|.

Bei zunehmendem Frequenzunterschied kann das Ohr den immer schnelleren Lautstärkeschwankungen nicht mehr folgen. Der Klang wirkt zunächst rauer. Bei noch größerem Unterschied spalten sich die beiden Töne in zwei Einzeltöne auf. Überschreitet die Schwebungsfrequenz die Hörschwelle von ungefähr 20 Hz, wird sie als Differenzton hörbar.

Ein Klangbeispiel überlagert einen Sinuston mit konstant 440 Hz mit einem zweiten Sinuston, dessen Frequenz von 440 Hz auf 490 Hz steigt. Wie Schwebungen wahrgenommen werden, hängt außerdem stark von der Tonhöhe ab. Beim Halbtonintervall e–f beträgt die Frequenz von f in jeder Oktavlage 6,6 % mehr als die von e. Die verwendeten Frequenzen sind: E 82,5 Hz und F 88 Hz, e 165 Hz und f 176 Hz, e′ 330 Hz und f′ 352 Hz, e″ 660 Hz und f″ 704 Hz sowie e‴ 1320 Hz und f‴ 1408 Hz. Die Töne werden jeweils einzeln und zusammen gespielt.

Bei 440 Hz und 440,5 Hz ist der Schwebungscharakter reiner Sinustöne deutlich, während kaum zwei getrennte Töne hörbar sind. Bei Tönen mit ausgeprägten Obertönen können dagegen zwei getrennte Töne deutlich wahrgenommen werden. Ein weiteres Beispiel verwendet zwei chromatische Halbtöne mit einem Frequenzunterschied von 4 %.

Schwingungsformen und unreine Intervalle

Schwebungen können mit verschiedenen Wellenformen untersucht werden: Dreieckschwingung, Rechteckschwingung, Sägezahnschwingung und Sinusschwingung. In den Beispielen haben zwei Schwingungen zunächst dieselbe Startfrequenz von 110 Hz. Nach 4 Sekunden wird die Frequenz einer Schwingung allmählich erhöht, innerhalb von 8 Sekunden um 50 Cent. Danach bleibt sie 6 Sekunden konstant, wird anschließend rascher als zuvor um 100 Cent verringert und nach einer weiteren stabilen Phase bei −50 Cent wieder auf die Ausgangsfrequenz geändert. Die andere Schwingung bleibt konstant bei 110 Hz.

Bei unrein intonierten Intervallen entstehen Schwebungen häufig durch nahe beieinanderliegende Obertöne oder durch einen Oberton und eine Grundfrequenz. Für wichtige Intervalle gelten folgende Berechnungen:

• Oktave: f_Schwebung = |2 · f₁ − f₂|
• Quinte: f_Schwebung = |3 · f₁ − 2 · f₂|
• große Terz: f_Schwebung = |5 · f₁ − 4 · f₂|

Bei reinen Sinustönen ist die Schwebung in solchen Beispielen kaum wahrnehmbar, weil sich die Amplitude nur wenig ändert. Ein hoher Obertonanteil macht sie deutlich hörbar. Schwebungen spielen deshalb bei reiner, mitteltöniger, wohltemperierter und gleichstufiger Stimmung eine wichtige Rolle. Bei einer reinen Terz ist keine Schwebung zu hören, bei einer gleichstufigen Terz dagegen eine erhebliche, als Reibung empfundene Schwebung. Die Schwebungen mitteltönig gestimmter Quinten sind so gering, dass sie nicht als Missklang empfunden werden.

Täuschung und Anwendungen

Die gewöhnliche Wahrnehmung von Schwebungen beruht im Allgemeinen auf realen physikalischen Vorgängen und nicht auf einer akustischen Täuschung. Eine Ausnahme sind binaurale Beats: Dabei erhält jedes Ohr über Kopfhörer eine andere Frequenz. Die Wahrnehmung der Schwebung entsteht erst durch die Signalverarbeitung im Gehirn.

Schwebungen werden unter anderem praktisch genutzt:

• Beim Stimmen eines Instruments nach Gehör wird so lange nach einer Referenzfrequenz, dem Kammerton, eingestellt, bis keine Schwebung mehr hörbar ist. Dann gilt der Ton als „schwebungsnull – er stimmt“.
• Als Klangeffekt kann eine Schwebung einen Ton beleben, etwa durch einen zuschaltbaren Tremoloeffekt oder ein spezielles Register in einer Pfeifenorgel.
• Bei der Tremoloharmonika in Wiener Stimmung und bei den meisten Handzuginstrumenten wird der Ton mit zwei Durchschlagzungen erzeugt, die gegeneinander in Schwebung gestimmt sind.
• Beim Bambus-Idiophon Angklung beruht die Tonharmonie auf zwei bis vier gleichzeitig geschüttelten Klangkörpern, die in Schwebung stehen.
• Ein Leslie-Lautsprecher-Kabinett erzeugt mithilfe des Doppler-Effekts periodisch schwankende Frequenzen. Durch deren Überlagerung mit dem Originalton entsteht eine Schwebung.

In der Metrologie wird Laserlicht mit ungefähr bekannter Frequenz mit einem Frequenzkamm überlagert. Die dabei entstehende elektronisch messbare Schwebung ermöglicht eine wesentlich genauere Bestimmung der Laserfrequenz.

Störend ist die Schwebung, wenn Instrumente mit annähernd sinusförmigen Tönen, etwa Flöten, eng benachbarte Töne spielen. Die Töne „reiben sich“. Beim Unisono-Spiel zweier Blockflötenanfänger kann bei extremen Unsauberkeiten sogar in der Tiefe ein sehr penetranter Differenzton hörbar werden.